从系统的高度看教学知识的个案研究_数学论文

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孙维刚老师在《全班55％怎样考上北大、清华》一书中，写给任课教师这样一句话：“总是站在系统的高度教学知识”.这句话是他几十年教学经验的结晶，它蕴含着：置知识于系统中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入本质，因为联系和规律就是本质；着眼于数学思想方法的渗透，因为数学思想方法能沟通数学知识之间的本质联系.

从思想层面上看，“站在系统的高度教学知识”正是系统思想的体现.系统思想是把研究对象放在系统的形式中加以考虑的一种思想，对于一个系统而言，“整体大于各局部总和”，系统思想主要表现出整体性和最优化意识.

数学学科本身是一个大系统，数学内容具有明显的整体性，不同数学知识之间，存在逻辑与方法上的联系，还具有存在于数学结构之中的“相对位置”关系.数学的整体性，使得数学教师应站在数学系统的高度教学.

在这个指导思想下，本人在近几年的高中数学教学中，尝试“题组教学”，解决一些典型问题，收到良好的教学效果.

案例1 集合与不等式中的字母取值问题.

“集合与不等式中的字母取值问题”是高中数学新教材第一册（上）第一章“集合与简易逻辑”中重点、难点问题.为了化解难点，把握重点，可以在一元二次不等式单元复习或第一章小结复习或期中、期末复习中，编拟题组，沟通表面上看似不同的题目之间的本质联系，发展学生数学思维的深刻性，优化学生的思维品质.

题组原题设集合A=｛x｜x[2]+4x=0｝，B=｛x｜x[2]+2（a+1）x+a[2]-1=0｝，若A∩B=B，求实数a的取值范围.

分析化简A=｛0，-4｝，已知“A∩B=B”等价于“BA”，由此集合B的情况可分4种：①B=；②=｛0｝；③B=｛-4｝；④B=｛0，-4｝，从而转化为方程x[2]+2（a+1）x+a[2]-1=0的根：①无实数根；②只有零根；③只有-4根；④根为0和-4，进而求实数a的取值范围.

变形1 把原题“A∩B=B”改为“A∪B=B”，其它条件不变，求实数a的取值范围.

分析已知“A∪B=B”等价于“AB”，而B的元素至多有两个，因此B=A=｛0，-4｝，转化为原题中④的情况.

变形2 把原题中集合A、B改为

A=｛x｜x[2]+4x≤0｝，

B=｛x｜x[2]+2（a+1）x+a[2]-1＜0｝，

其它条件不变，求实数a的取值范围.

分析化简A=｛x｜-4≤x≤0｝，已知“A∩B=B””等价于“BA”，（往下用“一次函数图像法”分析之）

设f（x）=x[2]+2（a+1）x+a[2]-1，其图像对称轴方程为：x=-（a+1），由于“BA”，即集合B对应区间应被区间[-4，0]覆盖，故二次函数f（x）的图像如图：

变形2' 把原题中集合A、B改为

A=｛x｜x[2]+4x≤0｝，

B=｛x｜x[2]+2ax+a[2]-1＜0｝，

其它条件不变，求实数a的取值范围.

分析此题除了可用变形2中的“二次函数图像法”之外，还可用“数轴法”且更加简便这主要是因为B中的二次三项式可以因式分解.化简B=｛x｜a-1＜x＜a+1｝，由于“BA”：

案例2 复合函数的单调区间、值域问题.

第二章函数部分涉及到的复合函数主要由二次函数、指数函数、对数函数生成，有关复合函数的题目散落在这一章同步练习题中.这类题对于学生来说，难度较大，教师如果是碰到一题讲一题，花时又花力，学生却可能是做一题忘一题，解题思维的训练是间断的，不利于学生对此部分知识及所蕴含的思想方法形成整体认知结构.因此，这部分习题应以“题组”的形式出现，时间选在对数函数内容教学之后.该题组由一道题和它的4个变形构成，教学方式采取重点讲清原题，其变形引导启发学生类比迁移，从而达到省时省力，事半功倍之效，同时学生通过这一题组的强化训练，思维能力提高了一个层次.以下是这一题组再现：

专题求复合函数的单调区间、值域（一）