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2013年南京市学科教学带头人评选活动中，课堂教学水平考核是重要内容.高中数学科的组织形式是，10名参评教师统一在南京市一所中学借班上课，课题是“等比数列的前n项和”和“两个基本计数原理”，其中7位教师执教前者.作为评委，笔者全程参加了这一活动.
“等比数列的前n项和”可能是公认的“不好上”的课题.其主要原因是，《普通高中数学课程标准（实验）》要求教学要“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式”.“错位相减”是推导等比数列前几项和公式的“核心技术”，在探索公式的过程中，让学生主动探究出这一“技术”存在着困难.因此，在数学教学活动过程中，如何启发引导学生，怎样让学生去思考，甚至让学生去想到这一“技术”，可能是本节课的最大看点.大凡执教这节课的教师，都比较重视并用心处理这一重要环节.这次执教该课题的7位教师也不例外，他们为此做了努力和有益的尝试，笔者深受启发，受益匪浅.这里，笔者试图给出自己的思考，并整体地把握这7节课，就一些典型案例（片断）进行分析，与上课教师商讨，与广大同仁交流.
一、教学内容认识
（一）从知识的视角分析
等比数列是重要的数学模型，日常生活中遇到的很多问题都可以用等比数列来刻画.等比数列的前n项和，是在建立等比数列概念、学习等比数列的通项公式后，对等比数列进一步的学习研究，其对完善自身知识结构，乃至于完善数列的知识体系，是不可或缺的内容.等比数列的前n项和公式，实质上就是构建一种算法，使求该数列的前n项和有确定的方法和步骤.给出一个等比数列，意味着各项都是确定的，则其前n项和是确定的（一般随n的变化而定）.求数列的前n项和具有一般意义，对将来可能学习的级数，乃至于研究无穷数列，都具有重要的基础作用.通过研究等差数列和等比数列的前n项的和，进一步深化对数列求和的认识，加深对等差数列、等比数列的理解，对领悟一般的数学思想方法无疑具有积极的意义.
（二）从方法与策略的层面体会
数列的前n项和公式，其结论具有一般意义，其方法具有思维价值按定义，
，要求出这个和（结果用含n的式子表达），“逐项相加”虽在理论上可行，但显然不是解决问题的一般方法，必须要寻找另外的“出路”.本质上讲，求较多项的和，要化多为少，即化较多的项为较少的项——消项，这是探索的大方向，是求和的一般策略.
具体到等比数列，怎么消？有什么经历经验可借鉴吗？在对等差数列的研究中，是通过“倒序相加”达到消项的目的的.那等比数列求和呢？虽不能照搬“倒序相加”，但坚持“消项”化简的大方向，去探索“错位相减”的方法，并通过探索的过程，掌握更多“消项”的技巧，对深化“化归思想”的理解有着十分重要的意义.例如，面对诸如求
的问题，无论是“裂项相消”——达到消项的目的，还是“分组求和”——利用化归的方法，都应该说是等差数列和等比数列求和的知识与思想方法的运用.进而，本节课教学不仅要教知识，教“错位相减”的技巧，更要教“化多为少”的消项策略与过程.
（三）从育人的功能思考
教育的根本目标是育人，“从数学学科教学的角度，作为‘人的发展’，就体现为发展人的认知力.”具体地，要让学生在数学活动的过程中，用科学研究的方法去学习，并在学习的过程中，深化对科学研究的一般方法的理解与掌握.就本节课的教学，需要把握哪些关键呢？
第一，让学生提出问题.提出问题比解决问题更重要.问题是由教师抛出，还是由学生主动提出，意义大不一样，显然，前者对于发展学生的认知力更重要.教学要创设恰当的情境，通过教师的启发引导，让学生产生研究新问题的倾向，并尝试自己提出新问题，提出“好的”问题.只要有可能，教师不应放弃任何让学生提出问题的机会，这是需要教师一以贯之、长期坚持的.本节课也不例外，后面笔者将给出具体的构想.
第二，教学生学习科学研究的方法.具体地，在提出问题的基础上，明确研究的方向，寻找研究的方法，拟定研究的计划，付诸研究的实践，评价研究的成果，反思研究的过程……这一切均应是学生自己探究的过程.
例如，在明确“求等比数列的前n项和”的任务后，怎样去研究探索呢？即通过什么途径，用什么方法去探索呢？首先，这是一个新问题，解决这个新问题暂时有困难，那么，一般遇到困难怎么办？——回顾联想，以前有无遇到过类似的问题，有什么经历经验可以借鉴？其次，探索的方向是什么，探究到哪一步就算是较好地解决了问题？另外，为了完成探究的过程，达到探究的目标，需要做怎样的努力……于是，学生联想回顾“求等差数列的前n项和”的探究过程，思考新问题的探究方向，拟定研究计划……探究自然展开了.教师的角色如何定位呢？教师要全程参与其中，时时关注事态的进展，不断地启发引导学生，完成一系列的探究过程.显然，这样的过程正是用科学研究的一般方法进行科学研究的一般过程.
二、探究过程构想
基于上述分析，就本节课的师生双边活动，笔者给出构想（如框图），并就深化学生的思维，做出如下思考.
过程比结果更重要，思考比套路更重要.笔者的观点是，即使学生确实想不到“错位相减”这一“关键技术”（教学实践表明，学生“想到”确有难度），但只要该想的都想了，该经历的都经历了，即明确了问题的探究取向，回顾了等差数列的学习过程，从本质上理解其中蕴涵的思想方法，并加以借鉴，用于新问题的探究，预期探究成果的形式，特别是在“消项”这一大方向上做了种种尝试……学生经历了这样的过程，教学就没有遗憾了.因为，这是在用科学研究的一般方法探究，并在这一过程中学习了科学研究的一般方法；这是在进行深刻的数学思考，其中蕴涵着学生的观察、分析、类比、概括，蕴涵着学生的创新创造.相对于经历这样的过程，数学活动能否得到理想的结果并不太重要.对于技巧性较高的“错位相减”，如果学生实在自己想不出来，在学生已充分的活动后，在学生处于“心欲求而未得”的愤悱状态下，教师告知讲解又何妨？
诚然，追求探究的结果也是应该的，但是，把探究出结果作为本节课的亮点、作为判断探究教学成功的重要标准，甚至为了结果，竭力去诱逼学生，强行把学生拉入自己的轨道，是否本末倒置了呢？
三、实际教学反思
在评课过程中，执教本课题的7位教师都表现出了较高的水平.教学设计独具匠心，教学实践精彩纷呈，每一节课都有自己的特色与亮点，可谓花开几朵，各表一枝.但是，“教学是遗憾的艺术”，笔者试图立足于上述思考，整体把握这7节课，并选取一些案例（片断）分析，指出其中可能存在的不足，与上课教师商讨.
（一）提出问题重于解决问题
案例1 创设问题情境.7位教师都是自己向学生提出了“求等比数列的前n项和”的问题.其中有5位教师是用“国际象棋盘放麦粒”的故事，从中提取求
，进而提出“求等比数列的前n项和”的问题.
用富有趣味的故事引入新课，对激发学生学习兴趣，突出数列与现实生活的密切联系，强化学生数学应用意识，显然有其积极的意义.但是，在此情境下的数学活动，由教师提出的问题，学生在欣赏故事的同时，被动地接受教师抛出的学习任务指向，这可能是其不足之处.另外，是否所有的问题情境创设均要来源于现实生活？从数学内部提出问题行不行？这么多教师均采用同一个情境引入，是否表明教师对情境创设缺乏深刻的思考和创新意识呢？
等比数列与等差数列是两个重要的数列模型，学生对等差数列学习研究的过程、方法，为学习研究等比数列打下了基础、提供了经验.就本节课研究“等比数列的前n项和”的需要，复习等差数列的知识，回顾其研究过程与方法，并从完善知识结构出发，启发学生自主提出问题，倒是自然而流畅.等比数列已研究了什么？下一步你觉得需要研究什么？有什么可借鉴的吗？回顾等差数列，等差数列研究了什么？怎么研究的……笔者相信，学生可能会自然地提出“求等比数列的前n项和”的问题，接下去的探究也就顺理成章地自然展开了.
是从数学内部提出问题，还是从现实生活情境中抽象出问题，并无优劣之分，关键是自然而恰当，并有利于学生产生探究的倾向，有利于学生自主提出问题，有利于学生自主探究学习.
（二）启发思维重于诱导结果
数学探究活动取得实实在在的“成果”，让学生得出结论，似乎成了探究教学成功的标志和教学的主要追求.在数学活动过程中，一些教师紧紧地“牵引着”学生，生怕学生走“弯路”，强烈地给学生暗示，希望“尽快”得到所要的结果.其实，这样的课堂的热闹是假繁荣，学生活动是伪探究，数学思维被异化为模仿了.
笔者赞赏教师A的精心设计：以经典故事设计情境，恰当铺垫，体现类比迁移，学生数学活动顺利，探究成果明显.但从教学要以发展学生思维能力为核心出发，笔者又有不同想法.
首先，启发不是告诉，引导不是引诱.纵观上述探究过程，教师A紧紧地把学生“引领”在自己设计的轨道上，三个故事步步深入，环环相扣，让学生“看出”什么，指向明显，步步紧逼.在这样的特定而“狭小”的空间中，加上教师的“悉心”引诱，学生发现“错位相减”几乎没有困难（课堂实况也表明这一点）.但是，学生的主动思考少了，主动思考的空间小了，他们在紧跟教师走，遵循教师的指令想，遵照教师的意图给出结果.
其次，求出
后再求
，再到一般等比数列的前n项和，学生的学习更多的是模仿，而不是思考，或者说不是深刻的思考.这样的过程，看似从特殊到一般的类比迁移，但如此直白、简单且一成不变的迁移，对发展学生的思维能力有多大帮助呢？某种意义下，只能说是“得到”了公式，“完成”了任务.
再次，整体回顾这一活动过程，学生思考了什么？从故事引出问题到“故事续集”解决问题，看出②式右端=①式右端×2，由②-①得
，再经过“故事再续集”引入字母q（公比由2变成q，且首项是q）的情形，在此基础上，引出更为一般的情形，整个过程可以简单概括为一次观察、两次模仿，特别是第一次模仿没有多大的思维价值，学生对等比数列求和的基本方法思考了吗？对等比数列与等差数列的求和基本思想感悟了吗？更谈不上遇到新问题怎么想，怎样从已有的知识与经验出发，寻找探索方法的方法论层面的思考了.
归根到底，究竟是教学生思考，让学生想他们该想的，经历他们该经历的，还是教结果，设计好套路让他们操作，逼他们学习模式，追求结果？二者孰重孰轻，哪个是真探究学习，也许是不言而喻的了.
（三）学生的学重于教师的教
可能因为是教学评比，一些教师更加注重自己的表现，有时过多地展示自己的教，在一些环节或过程中，不自觉地把自己的教置于学生的学之上.
案例3 每一位教师都用心制作了课件，不少教师还分为“情境创设”“数学探究”“数学理论”等栏目，学生活动什么，怎么活动，要得到什么结果，都设计得死死的.在课堂教学过程中，几乎都是教师在点鼠标、走程序.而对于学生的“意外”举动，对课堂上的精彩生成，教师大都“无动于衷”，对需要进行教学调整的，教师显得准备不足，处置欠妥.
案例4 课堂教学中的提问，出现了较多的师生一问一答式对话，有的时间还较长（约5分钟）.教师提问式的启发，完全是针对某学生个体，全然不顾其他学生.笔者注意到，在此情境下，一些学生起初还能注意二人的对话，后来或因思维跟不上，对话题慢慢失去兴趣，转而做自己的事了，课堂好似成了“二人世界”.
这样的课堂，由“独角戏”变成了“二人转”，某种意义下，这是教师在借用学生的嘴，用学生的讲代替自己的讲.教师常执著于被提问的学生，凡事要说出个究竟，对学生的回答不满意时，不断提示启发，引导学生说下去，直至说出“令人满意”的结果.这也许对该学生是有益的，但忽视了绝大多数学生的感受，没有顾及他们的需求——他们在想什么，他们在做什么，怎样让他们有自己的思考……不能把他们置于观众或听众的位置，更不能无视他们的存在.
案例5 在探究“错位相减”的过程中，面对问题情境，教师B问学生有何想法，当一名学生脱口说出“两边乘公比相减”时，教师大喜过望，当即“翻译”“解释”：“很好！他的意思是……”教师滔滔不绝地讲了起来，把错位相减“技术”讲得清清楚楚……
这是学生的活动吗？这是学生的真实想法吗？全体学生都经过探究思考的过程了吗？可能不是.学生给出的答案是对的，可他是怎么想起来的——挖掘交流思考的过程与方法是最重要的.不去追问，不去深化学生的思考，而是借题发挥，趁机把自己想讲的强加给学生，数学探究活动不经意间被教师的讲解告知所替代.如此，教师不仅抢了学生的镜头，课堂又成了一言堂，还抢走了学生思考交流的机会.学生“正中下怀”的回答固然令人期待，但其背后的真实情况是什么？是学生提前看了教材还是课堂突发灵感，抑或来自独立的思考……怎么想的，怎么想到的，让全体学生都去思考，并创造交流的机会，难道不更重要吗？教师为什么要缩短甚至跳过这样重要的过程呢？
“不好上”的课题更具挑战性，上好“不好上”的课更需要智慧，研究“不好上”的课题更具价值.在本次活动中，笔者向参评教师学习了很多，并聆听了专家的精彩点评，收获很大.笔者愿把自己的思考与广大同仁交流，并希望得到批评指正.
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