美国数学教育中的提出问题研究综述，本文主要内容关键词为：美国论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、背景
在数学活动中，“提出问题”(Problem posing)是指通过对情境的探索产生新问题，或在解决问题过程中对问题的再阐述(re-formulation)。（注：Edward A.Silver.On Mathematical Problem Posing.For the Learning of Mathematics,1994.1）由于提出问题是数学活动的一种基本特征，因此，一些杰出的数学家和数学教育家，如弗罗伊登塔尔(Freudenthal,1973)、波利亚(Polva,1954)、希尔弗(Siver,1994)等认为，让学生自主提出数学问题应成为数学教育的一个重要方面。
20世纪80年代，随着建构主义学习理论和以问题解决为核心的数学教育改革运动在美国的掀起，作为问题解决的一种重要手段，提出问题也随之成为美国数学教育界关注的研究话题。不过，在课堂教学中，提出问题并未成为学生数学活动的组成部分，因为教师“很少对有关数学问题的产生、表达和提出的知识获取过程给予直接的关注”。（注：Gonzales,Nancy A.Problem Formulation:Insights from Student Generated Questions.School Science and Mathematics,1996.3）到了80年代末90年代初，全美数学教师联合会(NCTM)认识到了提出问题作为数学课程有机组成部分的重要性，因此，在《学校数学课程与评价标准》(1989)、《数学教学的专业标准》(1991)等数学教育改革文件中，对教师明确提出了增加提出问题活动的教学要求，即不仅应让学生解决预先提出的数学问题，而且还应重视学生提出数学问题的活动。认为这既有助于学生数学洞察力的培养，也有利于学生对一些重要的数学概念和数学活动本质的理解。于是，提出问题走进数学课堂，成为学生数学活动的一个有机组成部分。2000年，全美数学教师联合会在《学校数学的原则与标准》中进一步阐述了教师应该“有计划地要求学生基于各种数学情境提出自己感兴趣的数学问题，包括数学内部的和外部的问题”的要求。（注：National Council of Teachers of Mathematics(NCTM).Principles and Standards for School Mathematics.Reston,Va.:NCTM,2000）10多年来，提出问题不仅成为数学课程的重要组成部分，而且成为美国数学教育改革关注的一个重要话题。
二、提出问题的研究视角
综观20多年来美国数学教育中的提出问题，可以发现其研究视角大致有两个方面：一是以问题解决为视角的研究；一是以问题意识为视角的研究。前者将提出问题视为问题解决教学的一种手段，而后者则把提出问题视为一种相对独立的数学活动。
1.以问题解决为视角的研究
自20世纪80年代以来，由于受以问题解决为核心的数学教育改革运动的影响，有关提出问题的教学研究几乎从未离开过问题解决这个研究视角。在这种视角下，提出问题不是被看作教学的目标，而是作为问题解决教学的一种手段，因此，提出问题的教学研究主要探讨的是提出问题与问题解决之间的关系，如提出问题对问题解决有何作用、提出问题能力与问题解决能力之间关系如何等等。
在谈到提出问题价值与作用时，布朗和沃尔特(Brown & Walter 1990)认为：“提出问题是问题解决的有机组成部分。”“在解决数学问题的过程中，一个独创性的数学问题的重建离不开新的数学问题的提出，与此同时，一个人常常是在他产生和分析一系列相关的新的数学问题时，才会理解和欣赏数学问题解决的方法。”（注：Eric J Knuth.Fostering Mathematical Curiosity.The Mathematics Teacher,2002.2）希尔弗(1994)进一步指出，在很多情况下，人们之所以经常提到课程和教学中提出问题的重要性，其原因就在于提出问题的潜在价值，即提出问题能帮助学生成为更好的问题解决者。（注：Edward A.Silver.On Mathematical Problem Posing.For the Learning of Mathematics,1994.1）
虽然人们对提出问题在促进学生问题解决能力发展中的作用有多大并不十分清楚，但已有的研究成果还是从一个侧面揭示了学生提出问题与问题解决能力之间存在的某种关系。希尔弗和蔡(Siver & Cai,1996)曾对美国6-7年级学生的提出问题进行过实验研究，他们要求被试根据一个简明的数学情境提出三个能用情境所提供的信息解决的数学问题。结果发现，从测试成绩来看，学生的提出问题与问题解决具有很强的正相关性。（注：Edward A.Silver,& Jinfa Cai.An Analysis of Arithmetic Problem Posing by Middle School Students.Journal for Research in Mathematics Education,1996.5）蔡(1998)在对中、美两国6年级学生的提出问题与问题解决进行研究时发现，两国学生所提出问题都与其解题策略有关，而且提出较好问题的学生大都能更好地解决问题。（注：Jinfa Cai.The Investigation of U.S.and Chinese Students'Mathematical Problem Posing and Problem Solving.Mathematics Education Research Journal,1998.10）
2.以“问题意识”为视角的研究
在最近10多年里，对问题解决教学的反思以及知识经济社会对学校数学教育提出的创新人才的培养要求，使得提出问题的教学研究视角发生了明显的变化，即由以问题解决为视角的研究转向了以“问题意识”为视角的研究。这种研究视角的变化主要表现为：提出问题不是作为解决数学问题的一种手段，而更多地是被视为一种相对独立的数学活动。这使得研究问题转向了对学生问题意识与提出问题能力的培养。在这一研究视角下，布朗(Brown,1990)、沃尔特(Walter,1990)、冈沙雷斯(Conzales,1994,1996)、列农(Leung,1999)、吴(Wu,1999)、曼娄彻瑞(Manouchehri,2001)以及库斯(Knuth,2002)等学者对提出问题作了深入研究，其研究内容主要包括：对“问题”信息来源的分析，对提出问题的策略与方法的研究，对学生提出问题能力差异的比较以及对有关提出问题能力培养的教学设计等等。与此同时，研究对象也从中小学生扩展到了教师和即将走进教师职业的大学生。
三、提出问题的一般方法
布朗和沃尔特(1983)在对美国大学生和大学预科生的提出问题进行研究时发现，提出数学问题的一个很有用的方法就是通过对原有问题的条件和限定进行思考而自由改变来产生新问题，即所谓的“否定假设法”(what-if-not)。其实质就是系统改变问题的条件或目标。1990年，他们在《提出问题的艺术》(The Art of Problem Posing)一书中，对“否定假设法”的具体原则作了以下阐述：（注：郑毓信.努力培养学生提出问题的能力.数学教学通讯，2000.6）
(1)确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念；
(2)对所确定的对象进行分析，列举出它的各个“属性”；
(3)就所列举的每一“属性”进行思考：“如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？”
(4)依据上述对于各种属性的分析提出新的问题；
(5)对所提出的新问题进行选择。
为了对“否定假设法”作进一步的阐释，布朗和沃尔特在《提出问题的艺术》中还给出了许多例子。下面的例子（注：Eric J Knuth.Fostering Mathematical Curiosity.The Mathematics Teacher,2002.2）虽然与他们在书中的例子相比不太详细，但是，它对“否定假设法”的具体应用提供了一种帮助。
给出一个问题：1,1,2,3,5,8,13,21，…。你想到了什么问题？观察到了什么？
通过观察和分析，列举该数列所具有的一些基本属性：
“属性”一：排列的奇、偶交互性（奇、奇、偶、奇、奇、偶……）；
“属性”二：从第二项起，任何一项的平方与它的前项和后项之积极相差1（如
)；
“属性”三：两个相邻项之积与它们的前、后两项之积相差1（如，3×5=2×8-1；5×8=3×13+1)。
改变原有问题的“属性”，提出新的问题：比如，如果起始项不是1,1，而是10,7（这时就可以得到一个新的斐波纳契数列：10,7,17,24,41,65,106，…），那么，新数列中的任何一项的平方与它的前、后两项之积的差有何特点？两个相邻项之积与它们的前、后两项之积的关系又如何？
在这个新的数列中，可以发现它的各项仍然具有奇、偶交互（即偶、奇、奇、偶、奇、奇……）的排列特性，而且，
，……。这是否意味着任何一项的平方与它的前项和后项之积相差121？两个相邻项之积与它们的前、后两项之积也相差121？
接下来，对上面产生的新问题作进一步的思考：在上面的新数列中，121这个差与所选择的10,7的起始项有关吗？如果起始项是5,8或3,7，那情况会怎样呢？如果变化数列中项与项之间的循环规则，比如不是
那情况会怎样呢？……
在课堂教学中，虽然对一些不断提出来的数学问题进行解答可能会超出学生或教师的数学能力，但是，“否定假设法”无疑对学生问题意识和数学探究能力的发展起到了积极的促进作用。
作为提出问题的一般性方法，“否定假设法”在美国中小学数学教学中得到了广泛的应用。1991年，全美数学教师联合会在《数学教学的专业标准》中指出，数学教师“应该给学生提供从已给情境中提出问题或通过改变已给问题的条件提出问题的机会。”（注：National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).Professional Standards for Teaching Mathematics.Reston,Va.:NCTM,1991）这表明，“否定假设法”已经成为美国所倡导的提出问题的基本方法。
四、提出问题的教学模式
为了适应问题解决教学的发展需要，促进提出问题由课程理念向教学现实的转移，一些美国学者探索和开发出大量有关提出问题的教学方法、教学策略与教学模式。如，冈沙雷斯(1998)的“一项有关提出问题的教学设计”以及曼娄彻瑞(2001)的“‘四阶段’教学模式”，等等。尽管这些研究的立足点各有不同，但其最终目的都是着力于学生提出问题和解决问题能力的培养。
1.“一项有关提出问题的教学设计”：阶段式提出问题教学模式
1998年，美国新墨西哥州大学冈沙雷斯提出了“一项有关提出问题的教学设计”。（注：Nancy A Gonzales.A Blueprint for Problem Posing.School Science and Mathematics,1998.8）该设计从学生质疑技能的培养出发，阐释了提出问题作为一种课堂教学活动的五个发展阶段。它试图为那些希望将提出问题融入课堂教学活动中的教师和教师教育者提供一种教学模式，使他们通过提出问题的几个阶段性教学活动，培养学生的提出问题能力。
具体地说，该教学设计由以下五个教学阶段组成：
(1)培养学生的质疑技能。在教学中，教师给学生提供几个有待解决的数学问题，要求他们首先提出几个问题，然后，再解决相关的问题。冈沙雷斯认为，对那些缺乏质疑意识和探究能力的学生而言，提出问题教学的一个基本出发点就是要求他们问一些简单的问题，而后者也有助于学生监控自己的思维过程。
(2)提出一个相关的数学问题。在教师的指导下，学生重新回到已经解决的数学问题中，并在原有数学问题基础上提出一个变化的或拓展的数学问题。
(3)产生一个数学任务。即为学生提供一个缺少明确的数学任务或数学问题的“数学情境”(mathematics situations)，要求学生根据其中的信息提示，创造或提出一个问题。其中，数学情境指的是“含有丰富的数据和信息的数学环境”（如统计图表）。
(4)寻找数学情境。通过报纸、杂志、期刊、商业目录或英特网等途径，让学生寻找几个数学情境（其中没有需要解决的数学任务）。在此基础上，要求学生从每一个情境中提出一个用已知信息就能解决的数学问题。
(5)生成数学问题。比如，采用“接龙”的活动方式：首先让一个（群）学生作一个“陈述”，接着，该（群）学生把创造“陈述”的任务传递给第二个（群）学生。依次下去，直至生成一个完整的数学问题。
2.“四阶段”，教学模式：单元式提出问题教学模式
“四阶段”教学模式（注：Azita Manouchehri.A Four-Point Instruction Model.Teaching Children Mathematics,2001.3）是由美国中部密歇根州大学数学教育专家曼娄彻瑞于2001年开发的一种以培养学生问题意识和探究能力为核心的教学模式。其目的在于给学生创建一个良好的学习环境，使他们通过提出问题和解决问题，进行面向真实的数学探究活动。
该模式主要用于每个知识单元后期的教学活动或与学生已有的数学话题有关的教学活动。它由四个相互衔接的课堂活动组成：
(1)大组式的提出问题：要求学生根据相关的数学话题或知识内容提出问题。时间一般为十到十五分钟。
(2)小组式的问题解决：要求学生对已经提出来的数学问题进行选择，并根据各自感兴趣的数学问题，组成几个问题解决活动小组。
(3)大组讨论与成果分享：将所有的活动小组集中起来进行讨论，同时，分享他们各自的数学发现。
(4)作业与任务的拓展：根据学生数学能力的个体差异，教师有针对性地让学生围绕已有的问题进行深入探究。其作用有三：首先，它可以使学生进一步拓展自己的数学思维；其次，如果学生没有提出某些基础性的数学问题，教师可以把它们作为家庭作业让学生去完成；再次，如果有学生提出的数学问题与现在的课程不相适应，那么，教师就会给那些学生分派一个具体的学习任务，让他们去探究，而不是对他们的兴趣进行阻挡。
五、提出问题能力的评价
苏德(Sowder,1993)认为，提出问题作为学生数学活动的基本特征，其本质在于给学生以“产生数学知识的机会，而不仅仅是吸收数学知识”。（注：Edward A.Silver.On Mathematical Problem Posing.For the Learning of Mathematics,1994.1）然而，人们对“提出问题与创造力之间的一般关系并不十分清楚”。（注：Edward A.Silver.On Mathematical Problem Posing.For the Learning of Mathematics,1994.1）尽管如此，对“问题”的创造性的关注却一直是人们评价学生提出问题能力的基本着力点。比如，巴克(Balker)在研究中，曾要求被试根据提供的一系列与现实情景相关的故事，提出用已有信息能解决的数学问题，并从“流畅性”(fluency)、“灵活性”(flexibility)和“独创性”(originality)等三个方面对被试的反映进行分析和评价。（注：Edward A.Silver.On Mathematical Problem Posing.For the Learning of Mathematics,1994.1）其中，流畅性指的是提出的问题或产生的疑问的数量，灵活性指的是问题或疑问的种类，独创性则指的是问题的新颖性。盖泽(Getzels)和杰克逊(Jeckson)则根据学生用以获取解决方法的步骤的复杂性（如使用的数字和代数运算的类型）给被试提出的问题进行评价。
与上述评价方法不同的是，冈沙雷斯(1996)（注：Gonzales,Nancy A.Problem Formulation:Insights from Student Generated Questions.School Science and Mathematics,1996.3）对学生提出问题能力的评价主要立足于学生对“问题”信息的处理方式。他在对21名初等教育专业大学生和30名数学专业大学生进行研究时，曾要求被试根据一张有关收入与纳税方面的饼形图（图中没有呈现具体的数学问题）创建和提出数学问题。通过分析，冈沙雷斯将学生对“问题”信息的处理方式进行了分类，即直接使用、改进、拓展、补充以及其他与已有情境无关的信息处理方式。相应地，把学生产生或提出的“问题”信息的来源(Sonrce of Information)分为了以下五种：
1.已知的信息(Given)，即来自已有情境的数学信息。
2.改进的信息(Modified)：提问者基于已有情境进行修改和改进的“问题”信息。
3.拓展的信息(Extended)，即仅仅增加了原有情境的信息量的问题信息。
4.附加的信息(Added)：由提问者自己提供的信息。
5.不清楚的信息(Unclear)：这是一类在信息来源上具有开放性的问题信息。由这些信息构成的大多是一些没有意义的和不能解决的数学问题。
在此基础上，冈沙雷斯根据学生的问题信息处理方式对不同专业学生创建或产生的数学问题进行了评价。进一步地说，具有创造性思维品质的学生在产生或提出数学问题时，大多采用的是“改进”“拓展”和“附加”的信息处理方式，其问题信息的来源主要是“改进的信息”“拓展的信息”和“附加的信息”。而那些缺乏创造性的学生所采用的大多是“直接使用”或者是其他与已有情境无关的信息处理方式。
六、结束语
美国数学教育中的提出问题经历了从专家、学者的积极倡导到成为数学课程的重要组成部分、从课程理念到成为教学现实的发展过程。20多年来，有关提出问题的教学研究不仅为数学教师的提出问题教学提供了大量可以参考和借鉴的资料，而且也有力地促进了美国提出问题教学和数学课程改革的发展。
当前，随着新一轮基础教育课程改革的实施，提出问题已成为我国数学课程的重要组成部分。（注：中华人民共和国教育部.全国制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001.7）尽管有关提出问题的教学研究引起了国内数学教育界的普遍关注，但是，在教学实践中，提出问题并未成为数学教师自觉“实施”的行为。如何使提出问题实现由课程理念向教学现实的转移？美国数学教育中的提出问题无疑给了我们这样的启示，那就是，将提出问题有机地融入到数学活动之中，使之成为教师激发学生数学思维的教学手段和学生进行面向真实的数学探究活动的重要工具。