对“几何直观”及其培养的认识与分析，本文主要内容关键词为：直观论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准（实验稿）》）提出了与课程目标和内容有关的六个核心概念，其中的“数感”“符号感”“空间观念”等都对我们理解与认识数学课程及其教学带来了较大的影响.《标准（实验稿）》又在原来的基础上对核心概念有了新的补充，“几何直观”就是新的核心概念之一，对它的理解与认识是很好地实施数学课程的基础.
一、对“几何直观”的认识
对于何为“直观”，可能有很多说法，但本质基本相同.直观就是当人们接触事物时，借助于观察、经验、想象等所产生的对事物及其关系直接的感知与认识.而几何直观则是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生的对事物的性质或数量关系的直接感知与认识.几何直观是一种运用图形认识事物的能力.
《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（以下简称《标准（修改稿）》）指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”《标准》言简意赅地阐释了“几何直观”的含义，也阐明了它的价值和作用.
关于“几何直观”的意义，20世纪最伟大的数学家之一希尔伯特（Hilbert）在名著《直观几何》一书中谈到：图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果.这就是几何直观带给我们的好处.荷兰数学教育家弗莱登塔尔也指出：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”
从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学内容紧密相联.很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，必须从两个角度认识它们，否则就不能很好地理解、掌握.只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、直观，变得可以运用它们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”.
借助图形描述事物，就可以把抽象的问题直观化，使人们更容易了解其内在的性质和规律；另外，利用图形还可以找到解决问题的途径和方法.反过来，能否恰当地用图形描述对一个抽象问题的理解，也是检验对事物认识或对知识理解与否的一种方式.
几何直观在研究、学习数学中都是非常重要的.几何直观是借助图形对事物的认识，那么，对图形的学习与认识以及运用图形的意识和能力就是几何直观的基础了.因此，无论是在“图形与几何”领域的学习还是在其他领域的学习中，都应重视几何直观的培养.
二、教学中对几何直观能力培养的思考
先给读者展现两个小案例.
案例1 这是一节“圆周角”的起始课，从引入概念、剖析定义中的关键词到探索并证明圆周角定理……一切进行得比较顺利.在巩固概念的环节，教师的一道看似平常的小题，却让初次认识圆周角的一名学生不知所措了.
问题：已知：如图1，∠AOB=100°，问∠ACB的度数.
问题出示片刻后，教师开始提问，下面就是
的回答.
：∠ACB=50°.
的回答似乎验证了教师出示此题目的意义，也给了教师进一步提问和阐释的机会.
师：这个角是什么角，它与已知角是什么关系，那么，找一找，和它在同一弧上的圆心角是哪个角呢？你知道这个角的度数为多少了吗？
在教师的引导下，学生终于找到了要求的角与已知角的关系，并求出了这个角的度数.
在上面的教学片断中，学生由于对圆周角的概念还不十分熟悉，认为所求的角与已知的角是同弧上的圆周角和圆心角的关系，对这个问题的错误回答反映出了学生初学概念时理解上出现的问题，教师对学生的引导也是对概念的进一步巩固.然而，在解答学生出现的问题的过程中，不知读者是否感觉到还缺少些什么，学生对该角大小的回答只考虑了刚刚学过的圆周角与圆心角的关系，教师的回答也是仅仅从定义和两个角的关系这些角度考虑的.
然而从直观上看，所求的角的大小与50°有多么大的差距啊！学生为什么在下结论前没有注意到这一点，而教师也忽略了这样一个指出错误的显而易见的理由.如果学生不是视图形的特征而不顾，应该不会把那样一个角说成是50°，但遗憾的是，教师对图形的直观作用视而不见，师生双双被定义和逻辑束缚了手脚.
案例2 这是一节反比例函数的练习讲评课.教师带领大家一起来看下面这个问题的解答.
经询问，教师得知很多学生的解答方法是将3个点的横坐标代入，然后比较3个数的大小，教师在肯定了学生的解答和答案后，就继续其他问题的解答了.也就是说，这样的一个题目的完成完全转变成了代数的运算和数的比较大小.
但是，对于这个问题的解答，是不是还应该引导学生从另一个角度理解呢？如果能够结合函数的图象，观察到所给出的三个点在图象上的关系，就能够得到答案，不仅是解题速度的问题，而且可以将这样的问题进行一般性的推广，考虑问题的角度，应该是对函数性质更全面的复习与把握，应该是学生学好函数内容的关键之处，但如果只关注寻找问题的正确答案，而忽视了对它多个角度的分析，就失去了一个机会.函数学习中，借助图象解决问题的思路和方法是很重要的，教师也都赞同这一点，但是在遇到具体问题时，我们应该如何处理，如何让学生体会到图象的意义？这还需要教师对它的真正认识.
以上两个例子的一个共同之处，就是在能用图形说话的时候，教师却没有意识到，也使得摆在眼前的可借助的直观可惜地“溜”掉了.
在数学的学习过程中，养成用图形说话的习惯是培养几何直观的途径，同时，养成画图的习惯也是十分重要的.
上面所举的例子，是用图形说明一个具体的问题，除了这样的情形，在一部分知识内容学习之后，梳理知识之间的联系、用图形表达它们之间的关系，是用图形说话的另一种方式.教学中，教师呈现知识之间的网络图，可以使学生很好地把握知识之间的联系，如果让学生尝试着自己去画出表达知识之间联系的图形，那么对学生整体理解和把握知识、运用图形表达自己的理解是更加重要的.
当然，只要教师能够对几何直观有充分的认识，在教学中就会有很多培养几何直观的机会.在数与代数的学习中，用图形描述数的关系，可以多角度地认识和理解知识，体会数的知识与形的知识之间的联系.
因此，几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.
几何直观包括在已有的图形中，利用其蕴含的信息，发现问题、解决问题；也包括在没有图形的情况下，根据已有信息绘制图形进行解释和说明，并进一步解决问题.对于后者，教师所熟悉的“数形结合”中的利用图形分析、解决代数问题就属于其中，但是我们常常看到一些典型案例有“为结合而结合”的味道，而关于前者可能不被教师所注意，因此也就出现了上述教学中的几何直观的“溜走”现象.
三、教材的编写与几何直观的培养
培养学生的几何直观能力，在教学的过程中，就需要对学生适时地引导，也需要有相应的素材来提供这样的机会，为学生利用图形思考、分析、解决问题搭建合适的平台，这其中，教材的编写要发挥应有的作用.
在北师大版新世纪数学实验教材中，我们能够发现在不同领域的内容呈现中对几何直观能力培养的关注.
以函数内容的呈现为例.我们知道，表现变量之间的关系的形式是多样的（图形、表格和解析式），其中以图形（即函数图象）的方式表现变量之间的关系能够很好地反映其对应的本质，也是使学生体会函数本质的不可或缺的方面.教材在它年级下册中，专门安排了一章“变量之间的关系”，对以图形的形式展示变量之间的关系也给予了关注，有读图描述对应关系，看图讲故事，情景与图形的对应，等等.总之，用图形说明函数的关系和本质为学生理解函数提供了直观、丰富的认识基础，也是将抽象概念直观化的一个成功案例.
此外，教材在一些数与代数的课程内容处理上，也常常借助图形说明问题，例如，对于“有理数的加法运算”，运用了如下页图2所示的图解形式.
而下页图3所示的拼图与表示等活动，则是在推导多项式与多项式相乘的公式时，以图形对其进行解释的一个片断.
所有这些编排的出发点，都是希望能够借助图形等直观的方式帮助学生更好地理解相应的课程内容，同时，也在向学生展示着如何利用图形说明一个问题或一个道理.
“几何直观”与其他的核心概念一样，既被表述在课程目标中，又与课程内容的学习密切联系着，它们成为沟通目标与内容的桥梁.在《标准（实验稿）》中明确了“空间观念”核心概念之后，“几何直观”将给人们对“图形与几何”的学习目标的认识带来不一样的理解，除推理能力（包括演绎推理和合情推理）外，我们对几何课程的价值的理解又有了更深刻的认识.
然而，核心概念在课程实施中的贯彻与体现，远不像知识技能那样显性和易于评价.如何在教学中选择合适的方式实现新课程的要求，还需要我们的不断思考和探索.