从ICME报告看数学教育心理学的研究趋势_数学论文

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      “以学论教”是所有学科教育研究的共同特点和核心任务.数学教育心理学虽然属于数学教育研究的年轻领域，但从20世纪80年代开始就已经成为最活跃、研究成果最为丰富的领域.除了每年一届的国际数学教育心理学（Psychology of Mathematics Education，简称PME）大会外，国际数学教育大会（ICME）也有大量的活动涉及数学教育心理学的研究内容.本文主要根据ICME-11、ICME-12以及ICME-13的相关文献，梳理数学教育心理学研究领域的国际趋势.

      每届ICME大会中几乎所有的活动均涉及数学教育心理学，近三届ICME的论文情况见下页表1.

      从ICME-11和ICME-12的这些报告可以看到，“数学教育心理学”是一个焦点问题，在各年级数学教育的方方面面都有其用武之地，也渗透了其发展过程中所产生的一些研究方法.

      二、研究趋势

      虽然ICME不像PME那样依据数学教育心理学的研究领域来安排大会的各种活动，但作为四年一届的最高级别的数学教育国际会议，其会议论文也能大体反映各领域四年间的重要研究成果.本文的目的就是依据近两届ICME的论文情况，大致描述数学教育心理学的国际研究趋势.

      1.数学问题解决始终处于聚光灯下

      尽管早在20世纪80年代就提出了以问题解决为核心的学校数学课程，有关数学问题解决的研究层面逐渐拓展，覆盖了有关问题本身、解题方法、问题解决过程模型、影响问题解决的因素、问题解决的评价、问题解决的教学等.但ICME的论文作者还是以很高的热情关注数学问题解决，包括著名研究者及其成果的介绍，学生数学问题解决活动展示，等等.

      例如，ICME-12的RL“来自波利亚和克鲁切茨基的启示”[1]，介绍了两人的研究成果并进行了评述.作者认为波利亚所提出的问题解决四个阶段给了数学教育者很好的建议，能提升学生的数学问题解决能力；而且以问题和建议的形式揭示了许多有用的思维习惯.而克鲁切茨基通过对具有数学能力的学生的分析，提出对拓展数学问题解决能力具有很好的启发价值的途径.

      研究者不仅关注学校数学教学中的问题解决活动，ICME-12的另一项RL研究[2]还结合信息技术，通过web上的问题了解学生的校外数学问题解决活动，关注其中的数字化工具以及学生的数学表征.

      2.持续关注数学中的推理、证明与论证

      长久以来，对于数学推理和证明的研究大都局限在将之作为数学教学的内容（不少国家的中小学数学课程标准都有证明的要求）或衡量学生数学学习水平的一项高级指标上.涉及数学论证过程的特点[3]、学生学习证明的困难[4]-[6]、教师对数学证明的看法[7]、动态几何软件对几何推理教学的影响[8][9]，社会角度的数学推理与证明[10]等.

      例如，文[3]基于图尔明（TOULMIN）概念域，从理论上刻画了学校数学论证过程的特征，并讨论了其教育启示.文[7]了解了6位高年级职前中学数学教师对数学证明的看法，包括他们对什么构成证明以及如何评价证明的有效性的观点，同时研究了在他们的观点以及实践之间是否存在联系.文[8]指出，动态几何环境（Dynamic Geometry Environments，简称DGE）中的拖拽模式逐渐被理解成为有益于数学推理的一个教学工具，尤其是在几何猜想形成过程.究其原因就在于DGE拖拽模式对不变量的敏锐辨别能力.因此是可以用来帮助学生形成推理的猜想的.文中还用一个案例介绍了用该模式进行欧式几何探究的原则.

      

      非常有趣的是，在ICME-12的RL中“通过创造性的或模仿式的推理来学习数学”[11]，提出了把数学推理和证明作为一种学习和理解数学的途径的新观点.该报告先给出了一个研究框架，用于分析与死记硬背式学习和模仿式推理有关的学习困难，并介绍了基于该框架的一些研究发现，从而引出通过创造性的推理来更有效地学习的研究与设计框架，同时还展示了一些正在进行的相关研究.

      3.概念及其表征仍是数学教育心理学研究的基本任务

      数学概念的抽象性与学习者认知发展水平的不匹配使得数学教育研究必须关注概念表征的直观化，ICME-11的TSG-20和ICME-12的TSG-16均以数学教与学的直观化为主题，囊括了理论研究和课程设计及具体课题的实践研究.

      文[12]站在理论角度梳理了现有的有关理解的5个维度：技能—算法、性质—证明、运用—建模、表征—隐喻、历史—文化，并以算术和几何领域的丰富例子举例说明各自的含义.

      文[13]分享了其在直观数学课程建设中所获的经验，包括课堂教学的如何组织，技术上的革新，学习资源的设计，教学模式的设计与易化等.

      文[14]用两对参与者在一个不定积分寻找最值的问题上所使用的直观化方法，描述了如何改变学生的直观化.该研究强调了教师和学生都应该注意使用直观化手段时的不同数学目的，以及相应的符号系统.

      4.动机、情感与态度仍是数学教育心理学研究的热点

      虽然“兴趣是最好的老师”“喜欢一个老师就会喜欢他所教的学科”这样的话耳熟能详，而“兴趣”这个话题为数学教育研究者所关注也已经超过30年的时间，在ICME-11的报告中也反映了“信念”从幕后走到了前台，但数学教师们可能在实际的教育教学中很少从这个角度考虑，或因为这样的目标过于空泛，或这样的目标很难操作、缺乏评价标准.

      实际上，研究领域有丰富的具体实例可以给我们启发.如ICME-11的RL中有一个从1年级到13年级的纵向研究[15]，向我们揭示了有必要打破“积极—消极”这个二分法，因为对于数学的“消极态度”这个黑箱也是有着不同的种类的.

      文[16]以非常规问题解决中的情感问题为焦点，用一个10岁学生解决几何体开放问题的案例揭示了情感的作用，从中得出任务设计、教师对热情与情绪的管理、与同伴之间的互动等的重要性.

      5.任务设计与分析成为培养高层次数学思维的抓手

      早在1987年，Resnick[17]就指出高层次数学思维的诸多特征，尤其是其中当时的数学课程所不具备的部分更是引起了研究者的关注[18][19].在近期ICME的论文中，有试图建立数学思维复杂性的理论框架的，大多以个别专题的案例研究尝试了用以培养学生数学思维的任务设计，如ICME-11的RL中介绍利用CAS（计算机代数系统）设计的任务，用于让中学生学会符号表征、意识到潜在的形式以及就表达式的等价性进行推理等[20]，ICME-12的TSG-22中的“早期代数思维”[21]等.应该说，任务设计与分析的研究更具有操作性，也能真正改变教学实践.也正因为如此，近三届ICME都专设了“任务设计、分析”的TSG.

      6.更多的人开始关心数学教育中的性别差异

      首次明确出现关注性别与数学教育的专题可以追溯到1976年的ICME-3，该专题的出现是因为从20世纪70年代左右开始，许多国家开始出现有关数学表现中的性别差异的研究文献，也有了一些新的法律文献或特殊的干预方法来调整所展现出来的数学成就上的不一致.但直至今天，仍有很多国家对于性别与数学学习这个话题是毫不理会的，或者因为政府部门没有意识到这个问题，或者大部分的研究团体认为其不重要.

      因此，ICME-11面向全体与会者的座谈会就意欲描绘各国针对性别平衡的政策立法的状态，并关注当前的研究及其数据收集工具，从而了解各国的数学学习中的性别差异是否消除了或还继续存在.ICME-12的座谈会则选择了以西方国家的研究数据为基础，广泛宣传有关性别与数学学习方面的研究发现以及共同的设想.

      7.数学素养成为学生学习成就的评价重点

      如果说问题解决是学校数学教育的核心问题，那么21世纪以前的数学学习成就评价与测量的重点就是学生的问题解决能力.而21世纪初期的数学教育国际比较研究项目PISA（The Programme for International Student Assessment）2000和PISA2003中就已经以“数学素养（mathematical literacy）”为重点评价内容.

      以往的ICME中没有这个主题的TSG，在ICME-12的TSG-6（Mogens Niss为该组主席）中第一次以此为主题.尽管关于数学素养的概念并不统一，有诸如“计算能力”“数量的读写能力”“数学精通”“数学能力”等相似概念和名称，但这并不妨碍研究者各自立场与角度的研究.

      文[22]介绍了OECD的新项目（Project for International Assessment of Adult Competencies，简称PIAAC），并将其中所使用的计算能力（numeracy）与PISA中的数学素养概念进行了比较.

      还有研究者从理论角度，对数学素养（mathematical literacy）与统计素养（statistical literacy）之间的差异进行了讨论，并藉由当前文献的分析得出将统计素养作为一项特殊能力的趋势.[22]411

      日本Sugiyama Jogakuen University的大学Yukihiko Namikawa从有关数学素养的出版物、国家标准课程中的数学素养以及对于教师而言的数学素养三个角度汇报了当前日本教育中数学素养观念的发展.[22]412

      尽管克鲁切茨基认为计算能力并非数学能力中的必要成分[23]，但它仍然被研究者John Hogan和Steve Thornton认为是在学校课程背景下发展学生数学素养的一个关键途径[22]410.

      研究者Lyn Webb等人[22]414提出，既然数学素养已成为国家政策，那么在教师培训中也就应进行与数学素养有关的方案调整.

      8.数学创造性与数学资优生的研究方兴未艾

      数学创造性与数学资优生作为数学教育中两条主要线索，有着各自的研究主题和结构，ICME-11的讨论组（Discussion Group，简称DG）中就专门设置了“在数学教育中提升所有学生的创造性”的DG-9.实际上他们是相互关联的，有着重叠的部分，所以ICME-12既设置了“数学教育中的创造性”的DG-2，也设置了“资优生活动与方案”的TSG-3，从而提供了让这两方面进行经验交流的机会.ICME-12更是为DG-2专门开通一个网站，以便参与者预先阅读投稿文章，并在会上对公布的如下关键问题进行深入的讨论：

      关键问题1 在数学教与学的过程中，创造性意味着什么？

      ·创造性应该如何界定、识别以及评价？

      ·创造是做数学中的无意识部分还是直觉部分？

      ·创造性是所有学生都能发展的还是只有资优生才有可能具有创造性？

      关键问题2 在数学课堂内外怎样才能形成或激励创造性的活动？

      ·数学创造性是能教的吗？

      ·为了培养创造性，教师应该做些什么？

      ·怎样使用技术来促进数学创造性？

      ·课堂外的哪些数学活动能用于发展数学创造性？

      ·创造性在评价、课程、数学竞赛以及数学教育的其他方面有怎样的作用？

      关键问题3 怎样才能平衡数学技能训练与数学创造性？

      关键问题4 为了在课堂中培养创造性，职前培养以及在职教师培训应该做些什么？

      悬而未决的研究问题还可以是：（1）我们所说的数学创造性是人的属性？一个题目？一种解法？一种过程？或者一种教学方法？（2）数学创造性与数学概念、问题解决、问题提出、创造力有怎样的联系？（3）（所有的）学生能达到创造性的高度，或都需要具有创造性吗？（4）拥有深入的数学知识是否是具有创造力的前提？

      9.脑科学的研究成果将逐渐影响数学的学习理论

      在《高等数学思维》中，David Tall借助了脑科学的研究成果，探讨从生物头脑向数学头脑发展的机制.[24]

      作为数学教育领域的国际大奖之一，2011年的克莱因奖花落美国.美国著名的数学问题解决专家阿兰·匈菲尔德（Alan Schoenfeld）在ICME-12上也因此作了一场题为“我们如何思考：有关人类在教学中的决策的理论”ICMI获奖者报告[25].报告用多个案例使得聆听者处于数学教与学的复杂活动（常规的/非常规的问题解决，常规的/非常规的数学教学等）中，聚焦于教学行为的决定因素，解释个人努力的效力.匈菲尔德在脑科学的研究基础上，建立起了教学决策的分析结构：瞬时决策是教师知识、资源、目标、信念、定向等因素的综合作用.

      因此，我们有理由相信数学学习理论的形成与创新必然受到脑科学研究越来越大的影响.

      ①这里未列入讨论组（DG）等其他活动中的数学教育心理学研究内容.

      ②此RL的作者Anna Sfard在其文章When the Rules of Discourse Change,but Nobody Tells You:Making Sense of Mathematics Learning from a Commognitive Standpoint中将commognitive作为communication和cognitive的混合，其假设基础为“思维是一种交流形式，学习数学就是改造和扩展某人的话语”.

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