“非标准分析”的逻辑建构及其后现代数学方法论意蕴，本文主要内容关键词为：方法论论文,意蕴论文,后现代论文,非标准论文,逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N031 文献标识码：A 文章编号：1000－8934(2014)06－0095－08 微积分的发明是数学史上一次伟大的创造。然而，在诞生之初，其知识的合法性却是一波三折。虽然在诞生之日起一百多年，微积分的理论效力和应用性已不容置疑，但其知识结构中“无穷小量”概念的知识合法性问题却始终让数学家无法心安理得。如何解决“无穷小量”悖论？在微积分诞生之后的几个世纪里。数学界产生了两个不同的方案，首先是“标准分析”，其次是“非标准分析”。两种不同的逻辑建构，展现着数学思想方法的不同内涵。而“非标准分析”由于其另辟蹊径的逻辑建构和多元主义指向，不仅“标准分析”范式中难以克服的悖谬被新的知识类型所超越，而且成为建构新的微积分基础的重要工具，同时彰显了特有的后现代数学方法论意蕴。 一、微积分诞生之初的逻辑悖谬及其理论的严格化 在数学史上，无限小的概念是微积分得以建立的一个前提。而正是这个无穷小概念，使得微积分的理论构造一波三折。在微积分诞生之初，人们在研究物体运动变化时，先把它看作是可以无限减少的量，这时它比零大，同时又把它看作零而忽略不计，即认为它是零。在牛顿撰写于1676年发表于1704年出版的《光学》的附录中，有一篇题为《求曲边形的面积》(De quadratura curvarum)的论文，[1]其中谈到了如何依据曲线下面积的函数求原曲线的例子。 如图1，已知的一条曲线为y，曲线下的面积为z，且z=
……(1)。
当x变化时，得到无穷小增量“o”，牛顿称为“瞬”。
在(4)式舍去含有无穷小量的项，得
……(5)(5)式表明，面积在x点的变化率是曲线x处的y值；反之，如果曲线是
，那么在它下面的面积
。 在牛顿的推导中，先把x变为x+o，把
变为
，从(3)到(4)，两边同除以o，这只有在假定o不为零时才可能。因此o不应为零。但从(4)到(5)，o似乎又只有零才可能。这里面就包含着一种矛盾。1734年，英国哲学家贝克莱(Berkeley)在写给异教徒数学家哈雷(Edmund Halley)或者是任何一个怀疑上帝的数学家的《The Analyst》中，(其原文题目为《分析学家或写给一位异教徒数学家的评述》(The Analyst or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician)[2]指责牛顿使用的无穷小量。他说牛顿所得的变化率实质上是0/0，它“既不是有限量，也不是无穷小量，但又不是‘无’……只是‘消失了量的鬼魂’”。[3]虽然贝克莱的言语有些刻薄，但基本观点却是正确的。牛顿的微积分(牛顿称之为流数术(method of fluxions))确实没有一个坚实的基础，其无穷小量的确构成了一种悖论，这一点牛顿自己也意识到了。尽管后来牛顿做过试图避免悖论出现的一些努力，如不使用无穷小量的说法而采用“消失的可分量”等，但效果仍旧不佳，还留有无穷小量的痕迹。 与牛顿的具有强烈物理背景的微积分思想不同，莱布尼兹作为微积分(calculus)的另一位主要发明人，更喜欢从一般的数学语言角度(如发明了dx，dy等后来一直被使用的微积分符号)去解决并处理相关问题。但两者的共性是，在定义导数和微分时，都不可避免地采用了诸如dx，dy等无穷小量的概念。莱布尼兹曾多次为无穷小量的使用进行辩护，莱布尼兹曾这样论述道：“如果当我们说到无穷大(或者更严格些说，无限制的大)或者无穷小量(即在我们的知识中是最小的)时，就理解为我们意味着无限大的或者无限小的量(即要多大就多大，要多小就多小，使得任何人得到的误差可以小于某个指定的量，那就足够了。”[4]102这样的规定和解释当然不能令人满意，因为无穷小量有时候在运算中是被当做零加以处理的，它就不是要多小就有多小了。在微积分的实际计算中，无穷小量常常呈现为一阶、二阶甚至高阶的形式，在复杂的多级无穷小量并存的运算中，无穷小量的舍弃和保留的正当合理性就更成问题。为了克服上述问题，莱布尼兹甚至创造了连续性原理来为无穷小量的合理性进行论证：“我们不是把无穷小设想为简单绝对的零，而是看做是一个相对的零……那是一个保持着正在消失特征的消失着的量。”[5]然而，基础的牢固性并没有建立起来。由于缺乏严格的理论支撑，上述辩护常常显得勉为其难。 那么，如何给微积分奠定一个令人满意的、严格的知识和逻辑基础呢？经过魏尔斯特拉斯、柯西等众多数学家的努力。严格的微积分基础，以实数理论和极限理论的完善为标志被建立起来了。而极限理论的核心之一就是著名的ε－δ方法。以极限这一微积分中最基本的概念来说。在函数极限的概念中，为了表明f(x)的极限存在且为A，就需要证明：
ε-δ方法借助于潜无限思想，赋予ε和δ这一对正实数一种彼此关联、相互依存的属性，而这种关联性是把在求极限过程中的自变量增量与函数增量联系起来，使得原本采用的“要多小有多小”这样模糊的说法有了一个量性的逻辑关系，避免了增量为O的尴尬和由此产生的矛盾。通过s和6的动态辩证关系，使得刻画变量之比这种极限过程在潜在无限的思想得以充分体现，而极限存在的本质也得以凸显。ε－δ方法虽然在概念表征和解决问题时显得繁复，但好处是完全摆脱了微积分创立初期的不严格性，因此被数学家视为令人满意的极限思想的数学表达。 二、模型论基础上“非标准分析”的逻辑建构 所谓“标准分析”的称谓，就是指由柯西、威尔斯特拉斯等数学家消除了微积分诞生之初由“无穷小量悖论”带来的微积分认识困惑，建立起具有严格的数学与逻辑基础的微积分理论。与牛顿、莱布尼茨时代的微积分观念相比，严格化的微积分理论当中一个重要观念是不再采用“无穷小量”这一术语，而是将其思想潜在地化解到具有严谨逻辑性的极限概念及其理论之中。严格的极限理论中蕴含着高超的数学思想和精妙的数学技巧，特别是其把实无限转化为潜无限的方法，既排除了“无穷小量悖论”，又展现了极限概念的本质，使微积分的整个理论体系有了一个坚实可靠的基础。 然而，“标准分析”却并非是通向微积分理论基础的不二法门。对于微积分来说，其可靠基础并非唯一的一个强有力证据来自于20世纪60年代美国数学家鲁滨逊(Robinson)创立的“非标准分析”。所谓“非标准分析”是与“标准分析”相对而言的。 “模型论”是数理逻辑的一个新分支，其研究对象是形式语言及其解释(模型)之间的关系。作为形式语言语法和语义关系的理论，“模型论”被鲁滨逊运用于对微积分理论的重构中。鲁滨逊采用“模型论”这一新的数理逻辑工具构造了一个“非标准模型”，其基本思想是引进非标准实数概念，把实数域R扩展为非实数域*R。*R是一个高阶非标准模型。且满足*N(非标准算术)所具有的如下4条性质： (i)每一数学概念对自然数系统有意义者对*N也有意义。特别地，加、乘和序对*N有定义。 (ii)每一数学陈述对自然数系统有意义且成立者对*N也有意义且成立：条件是，当提到任何特定的型的对象，例如集，关系或函数等，我们不把它们在*N内解释为该型的对象的全体，而解释为某一子集，即称为该型的内对象的集合。例如，若此陈述包含一短语“对于数的一切集”，我们把这解释为“对于数的一切内集”。同样，短语“存在一数集”，“存在一函数”，分别解释为“存在一内集”，“存在一内函数”。但*N的一切个体是内的：短语“对一切数”在*N内解释为“对*N的一切个体”。 (iii)*N内的内对象系统有以下性质：若S是一些关系的内集，则S的一切元是内的。更广泛些，若S为一内的n元关系，n≥1，且n元组(
)满足(属于)S，则
都是内关系。 (iV)*N真正包含自然数系统N；在*N内有一个体(按照定义于N与*N内的序关系)比N内一切数大[6]60 与R相比，*R具有R的若干性质，如*R也构成一有序域。与R不同的是，*R把无穷大和无穷小包括在内，成为其元素。*R有与实数系R十分不同的结构，它打破了“点无结构”的传统观念。在非实数域*R中，实数集R所具有的阿基米德性质不再具备。这是因为，虽然R是*R的一个子域，但*R包含了大于R中一切数的数，所以，在*R中有a，使得1+1+…+1＜a成立，这里不等式左端表示l的有限次叠加。这样一来，阿基米德性质就被破坏了。 按照这一思路，“标准分析”中的极限方法在“非标准分析”中则变为无穷小量方法。而为了建立非标准意义下的微积分概念，需要在非实数域*R中对连续性和微分法等概念进行界定。以连续性和导数的定义为例。 设f(x)是R内实变量x的实值函数，其定义域是开区间(a，b)，a和b是标准的，a＜b。过渡到*R，f(x)扩张到一个函数，它对*R内一切满足a＜x＜b的x有定义。我们约定仍以f(x)表示它。则有关于连续性的定理：
有了*R上的微分法和积分法，鲁滨逊很自然地建立了非标准的一般拓扑学、实变数函数、复变函数、线性空间、拓扑群和李群。到此，一般意义上的数学分析就被转换成为非标准意义上的分析，非标准分析系统完整的理论构造得以完成。 非标准分析诞生后，其思想方法被运用到了诸如泛函分析、测度与概率论、堆垒数论、随机分析、流体力学等十分广泛的数学领域并取得了新的成果。[7]数学家还把非标准分析的思想与扎德的模糊集合相结合，形成了“非标准模糊集合”的概念。[8]著名数理逻辑专家哥德尔对非标准分析的知识价值有很高的评价：“非标准分析不但常常能够简化初等定理的证明，而且对简化艰深结论的证明也同样有效。例如对于紧算子具有不变子空间的定理就能大大简化。……我们有理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。……在未来世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分学后，300年，第一个严格的无限小理论才发展起来。”[9] 三、“非标准分析”的后现代数学方法论价值 “非标准分析”从一个与“标准分析”截然不同的角度重新为微积分奠定了基础。这种按照不同的知识范式建立起来的具有相同效力的数学知识体系的努力，颇具后现代的数学方法论意蕴。本文所理解的具有后现代知识特征的数学方法论是指在方法论上不拘于“元叙事”立场的、不排斥曾被边缘化或打入冷宫的知识因子的、包容或兼容的多元主义理论指向和知识建构。以下从四个层次对相关问题进行一些探讨。 1.“无穷小量”的封杀与解禁 “无穷小量”出现悖论怎么克服？怎样才能让极限的计算获得一个让人认可的合法步骤？这当然是微积分知识能否立足于数学之林的首要问题。为了解决上述问题，在学理和逻辑上就存在两种基本选择。一是绕开“无穷小量”寻求一条新的逻辑通道；另一个是改造“无穷小量”，使其符合微积分的知识构造且不会出现悖论。“标准分析”选择了前者，而“非标准分析”选择了后者。柯西和魏尔斯特拉斯采用的是ε－δ方法。这一方法的特点是，通过自变量和函数之间潜在无限的辩证关系，来实现对各类变化与比值的一种控制，这样就绕过了“无穷小量”概念的实存性，巧妙地将其意义消解在实数和实数的要多小有多小的相互变化中。ε－δ方法在没有改变实数集合性质的前提下，解决了求极限时直接采用无穷小量所必然带来的逻辑硬伤，通过潜无限形式的数学表达，既保证了求极限结果的有效性和可计算性，同时又避免了悖谬，可谓一种充满数学技巧的思想方法。 然而，无穷小量毕竟在微积分的发明中起到了至关重要的作用，因此轻易地予以抛弃显然过于轻率。著名数理逻辑学家哥德尔就对莱布尼兹的无穷小量情有独钟。在哥德尔看来，“数学的未来将在很大程度上依赖于无穷小量的发展和应用”。[10]215而这一预测被鲁滨逊所发明的“非标准分析”及其所带动的发展迅猛的数学新领域所验证。鲁滨逊从莱布尼茨的相关表达中看到无穷小量的数学和逻辑合理性，从一个全新的方法论视角，通过包容无穷小量在内的新的实数模型的构建，推演出具有严格数学逻辑结构的与标准分析具有同等知识效力的非标准分析，之后，进一步被Hrbacek和Nelson等人发展并建立了(各种)非标准集合论(简称为NST)。[11]此外，非标准分析还获得了具有明确定义模型的公理化形式。[10]215 标准分析所选择的避开无穷小量的途径，在实际的数学知识进展中是容易想到的也较容易实施的。ε－δ方法的高度技巧性在于，一方面绕开了无穷小量，又不用对已有的实数理论和体系进行伤筋动骨的改造。因为事实上，尽管“无穷小量”本身能导致悖论，但在实际的微积分计算中，采用无穷小量仍是很有效的，通常并不会导致错误的计算。因此，数学家感觉需要做的仅仅是建立一个更为严密的逻辑基础，而不是完全否认采用无穷小量方法所获得的微积分知识。因此，标准分析的逻辑建构本身就是一种理论的严格化。在这一建构过程中，无穷小量概念的实体性被取消了。 在“非标准分析”的创立过程中，鲁滨逊特别注意到了莱布尼茨关于无穷小量具有理想元素和虚构性质的论点。莱布尼兹认为：“当我们谈到有不同次的无限大和无限小的时候，就象对恒星而言，把太阳看做一个点，对地球半径而言，把普通的球看做一个点；这样，恒星的距离对于普通球的半径而言，是无限地无限大，或无限倍的无限大。”[6]304虽然莱布尼兹并不认可无限大和无限小的客观实在性，但却相信可以以一种潜在无限的方式去接近它们。莱布尼兹在给友人的一封信中写道：“考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作是零，但是只要它们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。”[4]99然而，这种通过相对比较，在运算过程中对高阶或低阶小量进行舍弃的办法，其逻辑和数学的依据都是不充分的。因此，非标准模型的建立就成为必要。 由此，在微积分诞生之初，虽然缺乏严格性的但却十分有效的“无穷小量”概念在经历了严格化运动中被“标准分析”封杀的命运之后，又重新在“非标准分析”中以一种严格的逻辑形式被“解禁”并再次“复活”。虽然从数学知识创新的角度看，“非标准分析”似乎并未给人们提供更多的经典微积分定理，但其思想在拓扑学和测度论当中的应用(如非标准拓扑和非标准测度论)却导致许多新的理论成果。 2.“悬置”知识的“重置”与知识构造的多元化 “悬置”是胡塞尔现象学中的一个重要概念。我们借用这一概念来表述数学知识演化的某种曲折性，即一个数学概念在诞生之初因其内在逻辑尚不完善或与已有知识的不协调性所导致的数学共同体对于其知识合法性的存疑，进而将该概念搁置起来的现象。被悬置了数百年的“无穷小量”概念在数学知识建构的历史逻辑和构造逻辑的统一中获得了一种新生。这是一个重要的启示，即“元叙事”这一极具现代性的观念可能只是人类知识建构的一种初始性或原初性的体现，而许多被悬置的知识形式可以从“后元叙事知识”的构造逻辑中衍生出来，即被“重置”。这本质上昭示了一种多元主义的数学创造机制。如图2所示。
图2 悖谬知识的悬置、复活与重置 这种多元主义的数学创造机制的一个典型表现形式就是理论与方法的多元对应。“非标准分析”不能仅仅理解为只有对微积分理论重构的价值，还要看到其方法论的普遍性。中国科学院李邦河院士指出：“总的说来，凡是涉及有无限个元素的数学结构，都可以有效地应用这一方法。这是数理逻辑的深入发展向各个领域的数学家提供的一个有普遍意义的新方法。鉴于此，‘非标准分析’这一名称似乎不能反映它的实际内容，而且容易造成误解，或许代之以‘非标准方法’要更加恰当些。”[12]2鲁滨逊的非标准分析除了在模型论的新基础上复活了莱布尼兹无穷小量方法之外，还可以成功地应用于其他数学领域，如拓扑空间、泛函分析、微分方程、概率论、代数数论、数理经济等等。[12]1这就证明了一种新的数学理论所蕴含的广泛的方法应用领域。 从本体论的视域看，“非标准分析”的出现，也使得那种数学具有唯一不可变动的基础的信仰(如柏拉图主义和基础主义)再次受到了质疑。“非标准分析”表明，数学理论的基础依赖于数学家所采用的理论视角。在数学中，并不存在早已存在的、惟一的和不变的某种基础。从认识论角度看，数学命题正确与否的判断是与所选取的概念和结构相关的。从“标准分析”到“非标准分析”，微积分的发展显示出人们在认识数学的过程采用多重视角的价值。 从方法论的角度看，即使是同一数学领域，可以采用的数学方法也可以大相径庭。不同的数学方法之间并无绝对的优劣之分，而是取决于其理论框架的选取。例如实无限方法虽然在“标准分析”中陷入困境，但在“非标准分析”中却可以获得新的生命力。采用公理化方法研究非标准分析也成为一种选择。[13]因此，在数学发展的道路上，并非是“自古华山一条路”，而常常是“条条道路通罗马”。而微积分这一现代性数学的典范，其本身的发展历程就提供了一个超越现代性观念的知识范例。把上述种种例证加以归纳，可以得出一般的知识类型(选取A、B、C作为其一般表示)与所采用方法(选取A、B、C作为其对应的一般表示)的原初性对应被拓展为一种交叉对应的关系。图3显示了建构同一知识类型的多种方法，以及同一方法应用于多种知识类型的可能性。如此被网状连接的知识与方法，不仅增强了数学知识结构的韧性，也提高了其有机的多样性统一。如此建构的数学知识结构，无论对于已有知识的整理，还是对新知识的创建，都是十分有利的。
图3 知识类型与方法的单一对应到多元对应 “非标准分析”的出现，显现出了与某些后现代思想相契合的知识特征。按照标准分析的标准。非标准分析属于数学知识建构过程中异于经典知识的“异类知识”。并且非标准分析是把标准分析中已经摒弃的概念加以复活的。这就充分证明，关于知识的单一标准和占据强势的宏大标准常常是以遏制异己思想为代价的，而被边缘化、被贬抑的局部叙事或异端，或许恰恰是知识延拓的新疆域。 3.差异性的广延与悖谬的重生 我们认为，“非标准分析”构成了一个典型的具有后现代色彩的数学思想与知识创新的案例。即采用一种广深的差异性来构造知识的可能性和有效性。传统上，数学中的“元叙事”和“宏大叙事”常常自诩为惟一的和绝对正确的，而事实上，无论是知识建构的方式和知识的基础，都有可能是多样和广泛的。当知识以一种形式被创造之后，往往并不能立刻取得其逻辑一历史生成的理想完美知识形态。微积分就是这样一种知识典范，其中逻辑重建在数学知识的整理和整合过程中起到了极为重要的作用。 在微积分的重建中，一度被打入冷宫的“无穷小量”在容忍悖谬的认知态势中由于其“局部合理性”而被重置于差异性的“系谱”中。正是这种差异性在其知识的逻辑构造中扮演着极为关键的角色。现在看来，无穷小量悖论之所以产生，并不是无穷小量本身有多么怪异和可怕，而是无穷小量与已有标准数系之间在“齐一”的数系结构中形成的差异性造成的。在经典的数系中，无穷小量是一个没有合法知识地位的“怪物”(拉卡托斯语)。而在非标准分析中，由于实数域的超幂扩张，无穷小量获得了其在新数域中的合法性。因此，差异性有时候不仅不是一种悖谬，相反可以成为一种前行的力量。数学活动的实践表明，正是差异性造就了数学知识新的建构可能性。设想一下，如果抱住只有整数和整数的比(即非整数有理数)才是数的信念不放，那么如何才能走向实数和复数的广阔领域。如果数学家恪守欧氏几何的平行公理，那么今天的几何学会是多么的苍白和贫乏。同样，在微积分诞生之初，无穷小量的概念曾让数学家的头脑备受折磨，急欲打入冷宫而后快。但许多数学家却没有想到，这一引起悖谬的数学概念却能在鲁滨逊的“非标准分析”中获得了新生。而破除某些被视为不可撼动的关于知识的元观念就成为悖谬知识获得新生的认识论前提。 “非标准分析”的成功构建表明，对无穷小量这一含混甚至可能导致荒谬的概念进行重新分析，萃取其合理内核，扩展新的知识因子并赋予严格的数学阐述，是数学创造可以选择的一种有效途径。我们可以把“非标准分析”的理论构造看作是一个黑格尔“否定之否定”论断的典范。虽然无穷小量在使用之初遇到了难以克服的逻辑悖谬，但是，正如鲁滨逊所言：“无论如何，在微积分学的形成阶段无限小是被广泛运用的。”[6]2从数学知识的历史进程看，绕开无穷小量是一条可以选择的道路，这就导致了一种对无穷小量的否定。而鲁滨逊在非标准分析方向的努力，则可以看做是对ε－δ方法的一种否定。这样一个辩证过程，似乎验证了知识发展的曲折性与殊途同归。在经历了一个“否定之否定”的辩证过程之后，人们对微积分的本质有了更为深刻的理解。在“非标准分析”的知识建构中，数学知识合理性的历史自然进程与逻辑进程获得了统一。 推而广之，纵观数学史，一个基本的事实是，每当不少数学家感觉数学的知识基础有危机，甚至感叹数学大厦将倾覆的时候，也许恰恰是数学知识范式即将发生重大转换的时刻。正如第一次数学危机(不可公度线段的发现)导致数系的拓展(无理数得以产生)，第三次数学危机催生了公理化集合论一样，为了解决第二次数学危机(即无穷小量悖论)，数学之树结出了甚为丰富的知识硕果。因此，差异性的广延与悖谬的重生常常是发生数学革命的一个典型征兆，其认识论意义和方法论意义都是不可小视的。 4.微积分：在“标准分析”和“非标准分析”之外的理论建构 由于“非标准分析”的成功建立，微积分不再仅仅具有“标准分析”这样一种思想方法的内涵，而是变成了一种多元的理论构造。无独有偶，在微积分的理论建构过程中，方法论上的“条条大路通罗马”要优于“自古华山一条路”被一再验证。“标准分析”和“非标准分析”虽然已经构成了微积分理论建构的两个对偶体系，但并非除此之外再无它法。其中特别值得指出的是中国科学院林群院士和张景中院士采用公理化方法重建微积分基础的可喜尝试和成就，被国内学者称为“第三代微积分”[14]这两种另辟蹊径的做法也是对微积分知识建构多样视角观点的一种强有力的支持。林群教授的基本思想是，不再直接运用极限概念来建立导数的概念，而是采用一致不等式的概念来定义导数。但用一致不等式来定义导数仍然有极限的影子。张景中教授通过定义差商有界函数、甲函数和乙函数等方法，尝试了一条接近导数概念的新思路。[15]2010年，林群院士出版了《微积分快餐》一书，[16]张景中院士出版了《直来直去的微积分》一书，这两本书都对第三代微积分的思想进行了系统的阐述。对上述种种重建微积分的方法，中国数学家的创意可谓独具匠心且别具一格，无疑是通达微积分王国可以选择的路途。由于这一理论建构的思路提出的时间不久，其发展前景虽暂时无法预料却也未可限量。从已经取得成果看，通过上述思想所进行的大学微积分教学实践是成功的。这个事例从一个侧面解释了数学知识建构的多元主义方法的实效性和有效性。图4表明了微积分理论构建的历史-逻辑进程。
图4 微积分理论建构的历史一逻辑进程 也许有人会质疑，数学知识的多元建构究竟有什么意义呢？既然已经有了一条通达数学真理的道路，何必要寻求多条呢？对于这个问题，我们的认识是，数学知识的多元建构至少有以下若干重要价值：第一，数学知识的多元建构不仅仅是增加了一个整理已有知识的工具，而是具有数学知识创造的重要价值。通过知识的多元建构，增加了数学知识的网状连接，而这种网状知识结构是有利于新的数学知识的持续生成和构建的。例如“模型论”中的“力迫法”(forcing method)最初创立者是美国数理逻辑专家科恩(Cohen)。20世纪60年代初，科恩通过创立“集合论力迫法”①解决了连续统假设和ZFC公理系统的协调性和独立性。稍后，鲁滨逊把力迫法引入模型论，创立了模型论中的有限力迫和无限力迫两种方法。[17]后来各种模型论力迫法层出不穷，模型论也因此获得了更大的发展。 模型论虽然是数理逻辑的分支学科，但自从诞生以来，不仅是在“非标准分析”，而且在诸如拓扑学、泛函分析、微分方程、概率论、代数学等许多数学学科中均有重要的应用。这些都表明，数学知识之间越是具有丰富和多元的表征，就越有助于推进知识之间广泛联系，也就越有利于知识的创新和再创造。 第二，多元知识建构具有数学方法论的重要价值。在知识的多元构造中，多元视角所展示的许多差异性会导致数学知识的延拓和变异。多种视角下对于数学知识的透视，会引发新的数学方法的发现和创造。数学方法是进行数学研究的必要手段，丰富的数学方法论库，就等于是给数学发展增添了一种可能，开启了一扇窗户。在建构一种特定知识所形成的方法，很有可能在其他领域派上用场，这种情况在数学的历史上是屡见不鲜的。因此，多种方法比单一方法所具有的优势是极其明显的。 第三，多元知识建构具有十分重要的数学教育价值。如所周知，严格的极限概念教学在大学数学教学中一直是一个难点。许多学生对ε－δ方法的精髓和实质难以把握，从认知心理学和数学认识史的角度看，这其实也是很正常的。毕竟，ε－δ方法作为一种理论构造，是微积分概念诞生后很长时间才出现的，因此其被接受的难度也是相对较大的。而为了使大学生更好地认识微积分的实质，采用多元的理论构造是一个可以选择的教育途径。正如林群院士和张景中院士在大学数学教学中所做的实验表明的那样，采用不等式来定义导数或通过定义差商有界函数、甲函数和乙函数等方法导入导数概念，大学生(甚至高中生)一样可以很好地接受甚至比以往的传统模式接受得更好。如果能够给学生提供介入并看待数学知识的不同视角、途径和方法，让学生以一种最适合的方式接受数学教育，这本身就是一件具有重要意义的数学教育实践。 收稿日期：2013－11－13 注释： ①力追，是定义在模型和句子之间的一种关系。
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“非标准分析”的逻辑建构与后现代数学方法论的启示_数学论文
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