双分数随机利率环境下汇率连动期权定价*
刘淑琴 薛 红
（西安工程大学理学院 西安 710048）
摘 要 假定股票和汇率价格服从双分数布朗运动驱动的随机微分方程，利率满足Vasicek模型，利用随机分析理论和保险精算方法，建立其下的金融市场数学模型，得出双分数随机利率环境下汇率连动期权定价公式，对分数布朗运动环境下汇率连动期权定价公式进行了推广。
关键词 双分数布朗运动；随机利率；汇率连动期权；保险精算
1 引言
当前期权渐渐吸引了国内国外许多投资人的眼球，其定价也越来越引起人们的重视。因此学者们也对不同期权进行了研究，文献［1～3］分别讨论了重置期权，回望期权，亚式期权的定价问题。现汇率连动期权作为期权的一种，是进行全球投资的一种金融期权形式，不仅依赖于外国股票的价格，而且依赖汇率变化。因为国标的资产和汇率的变动都是随机过程，定价比较困难，所以许多学者对此期权也进行了研究。迄今为止，有关汇率连动期权的研究也有许多，文献［4～12］主要利用鞅方法和保险精算方法等不同方法分别讨论了布朗运动环境下有关汇率连动期权定价模型，并给出了相应的定价公式；以上学者是在布朗运动环境下研究的此期权，然而我们发现，分数布朗运动具有较好的“厚尾”和长程依赖特性，因此用分数布朗运动取代了标准布朗运动。文献［13～14］利用不同的方法讨论了标的资产服从分数布朗运动下汇率期权定价问题；但是近年来，发现双分数布朗运动没有独立性和平稳性，使用范围比较广，即可描述平稳又可描述不平稳的现象，比分数运动是更一般的高斯过程。文献［15］国外学者首次提出了双分数布朗运动，它是更一般的Gauss过程，它的增量与增量之间无独立性，无平稳性的特征，相对分数布朗运动适用范围更加广泛，所以可以更好地应用到金融市场当中。随后文献［16～20］基于双分数布朗运动驱动环境下讨论了各种期权定价模型，结果都优于分数布朗运动环境下的模型。期权定价的方法有多种多样，但适用范围较广，限制因素较少的是由文献［21］是由 Mogens Bladt与 Tina Hvid Rydberg于1998年第一次提出的保险精算方法。在文献［22］中闫海峰等人也讨论了此方法的优点。文献［23］中讨论了欧式期权和交换期权在随机利率及O-U过程下的定价方法。基于诸多学者研究的基础上，因此本文在股价和汇率满足双分数随机利率驱动的随机微分方程的大前提下，利用此方法推导出汇率连动期权定价公式。
2 金融市场数学模型
假定利率rt，股票价格St，汇率价格 Xt分别满足随机微分方程：
其中 a，b，c，μt，σ 为常数，
，
都为双分数布朗运动，并且它们的相关系数都为δ。
设
是（Ω，F，P）上的二维双分数布朗运动。令
那 么
是 定 义 在（Ω，F，P）上相关系数为δ的双分数布朗运动。从而方程（1）、（2）满足：
引理1 随机微分方程（3）的解为
证明：可由双分数
公式得证。
欧阳鹭英是我们在厦门新结识的朋友。从2015年4月开始，在她真诚、热情的帮助下，我和几位厦门的同行学者进一步揭开了中国音乐史上那段像迷雾一般的李树化的历史。①这一次见面，又会有什么新的收获呢？我充满了期待。
[11] 杰里·布罗顿 林盛译，《十二幅地图中的世界史》[M]，杭州：浙江人民出版社,2016年，P48.
定理1具有损益
的汇率连动看涨期权在时刻的保险精算价格：
证明：由双分数
公式可证。
定义1［20］价格过程
在 [t，T]的期望收益率
定义为
。
引 理 3［23］ 设 两 随 机 变 量 ，
，则对任意实数 a，b，c，d，k，有
同理
在 [0，T]上的期望收益率为
。
在概率空间 P 下，
在[0，T]上的期望收益率为
。
其中：
3 汇率连动期权定价
3.1 第一种汇率连动期权
第一种汇率连动期权的损益
，其中T为到期日，k（本国货币）为执行价格。用C10(k，T)表示到期日为T，执行价格为k的欧式看涨汇率连动期权在0刻的保险精算［12～14］价格：
由于
引 理 4［23］ 设 三 随 机 变 量 ，
，则 对 任 意 实 数a，b，c，k，有
降水量是衡量一个地区降水多少的数据，指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度［5］。降水观测是研究流域或地区水文循环系统的动态输入项目，是水资源最重要的基础资料之一，对于工农业生产、水利开发、江河防洪和工程管理等具有深远的意义。
引理2 随机微分方程（4）的解为
第二种汇率连动期权的损益
，其中T为到期日，k（本国货币）为执行价格。用C20(k，T)表示到期日为T，执行价格为k的欧式看涨汇率连动期权在0时刻的保险精算价格：
证明：首先
由于
其中：
(五)从率先基本实现现代化的视角看，要求社会治理先行先试、加速转型。率先基本实现现代化，是实现“中国梦”的内在要求。社会现代化作为社会发展、社会转型和区域社会竞赛的交集，具有长期性、曲折性、复杂性等特征。当前，社会治理创新总体上滞后于经济社会发展，特别是经济社会转型的叠加效应以及“先成长先烦恼”的现实境遇，使社会治理压力表现得更为突出。所以，要以追求整个社会治理系统运行成本的最小化和运行效率的最大化为根本目标，以治理功能的均衡发展和政策与民众行为的有效衔接为基本要求，以先进的科技信息技术为重要手段，积极稳妥推进社会治理的现代化。
除了以上的传统入学教育，在入学教育中还要注意对学生进行心理健康教育、恋爱观教育、性知识教育、各种安全教育、贫困生教育、诚信教育、感恩教育基础文明教育。
故结论得证。
3.2 第二种汇率连动期权
其中：
表示标准正态随机变量的分布函数。
其中：
根本原因分析是通过科学、系统的分析方法查找事件的事实与真相，确认事件根本原因，并采取适当的纠正行动来防止事件重发。根本原因分析作为事件调查分析最为有效的方法，尽管针对不同类型的事件，如设备事件、人因事件和组织管理事件等，所采用的分析技术和使用的工具有所不同，或基于对事件调查和分析目的不一样，但总的调查工作都应在对事件时序清晰认识的基础上进行。
证明：首先
则
数字媒体技术专业核心能力就是学生在长大后应该具备的，这儿不一样是指各种专业知识和技巧，更多的是指为利用现代化技术进行专业核心能力学习的技巧等。学生通过数字媒体技术专业核心能力的发展，建立学习的方式和方法要求，才能在未来的生活中不断适应社会的发展，另一方面，也提升了我国教育的国际竞争力。
由于
故结论得证。
4 结语
当前有越来越多的证券投资商以及各种商业银行发行了汇率连动期权，但由于股价以及汇率的变动都是随机的变动过程，对其定价相对来说有一定的难度，因此本文利用保险精算进行贴现定价方法在双分数随机利率下定价了此种期权，不论金融市场处于以上何种情况，本文给出的汇率连动期权公式都能使用。
可以看出该犯罪为结果犯。从构成要件分析：首先，犯罪客体是计算机信息系统的正常使用及其中数据的安全。犯罪对象仅限于正在使用的计算机信息系统中存储、处理、传输的数据。脱离计算机信息系统存放的计算机数据，如光盘、U盘中的计算机数据并不是本罪的保护对象。其次，犯罪的客观方面：本罪的危害行为是非法获取前述计算机系统中计算机数据和非法控制计算机信息系统的行为。再次，主体是一般主体，单位不构成本罪。最后，主观方面表现为故意，过失不构成本罪。
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Quanto Option Pricing M odels in Bifractional Stochastic Interest Rate
LIU Shuqin XUEHong
（Schoolof Science，Xi'an Polytechnic University，Xi'an 710048）
Abstract It is assumed that the stock price and exchange satisfies stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian motion.The interest rate satisfies the Vasicek model，by using the stochastic analysis theory for bi-fractional Brownian motion and themethod ofactuarialmathematics，the financialmarketmathematicalmodel is built.And the pricing formula ofquanto option under bi-fractional stochastic interest rate is obtained.The resultof the quanto option pricing formula in fractional Brownianmotion isextended.
Key W ords bi-fractional Brownianmotion，stochastic interest rate，quanto option，actuarialmathematics
中图分类号 F830；O211
DOI： 10.3969/j.issn.1672-9722.2019.08.006
*收稿日期： 2019年2月12日，
修回日期： 2019年3月26日
基金项目： 陕西省自然科学基础研究计划“双分数跳-扩散过程随机分析理论及其应用研究”（编号：2016JM1031）资助。
作者简介： 刘淑琴，女，硕士研究生，研究方向：随机分析及金融工程等。薛红，男，博士，教授，研究方向：随机分析及金融工程等。
Class Num ber F830；O211
标签：双分数布朗运动论文; 随机利率论文; 汇率连动期权论文; 保险精算论文; 西安工程大学理学院论文;