中图分类号：G626.5文献标识码：A文章编号：ISSN1672-6715 （2019）06-095-02
课标要求：通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。在教学过程中，进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。
一、教学分析
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
二、教学目标
1、知识与技能：
(1) 师生共同探究基本不等式；
(2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明；
(3) 会简单运用基本不等式。
2、过程与方法：
通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。
3、情感、态度与价值观：
(1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；
(2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。
三．重点难点
重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程。
难点：基本不等式 等号成立条件及应用。
四、课时安排
2课时
五、教学方法：
讨论法、演示法、启发法、练习法等
六、教学设想
（一）创设情景，提出问题；
设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:
右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式 。在此基础上，引导学生认识基本不等式。
(二)抽象归纳：
一般地，对于任意实数a,b，有 ，当且仅当a＝b时，等号成立。
特别地，当a>0,b>0时，在不等式 中，以 、 分别代替a、b，得到什么？
设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.
答案： 。
【归纳总结】
如果a,b都是正数，那么 ，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。其中 称为a,b的算术平均数， 称为a,b的几何平均数。
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(三)理解升华：
1、文字语言叙述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、符号语言叙述：
若 ，则有 ，当且仅当a=b时， 。
怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）
“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：
当a=b时，取等号，即 ；
仅当a=b时，取等号，即 。
3、探究基本不等式证明方法：
如何证明基本不等式？
（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。）
方法一：作差比较或由 展开证明。
方法二：分析法（完成课本填空）
设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。
要证 ①
只要证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证 ④
显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。
点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.
(四)探究归纳
思考：
例1:
活动：教师引导学生通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.本题中的已知条件给出了x＞1，因此可以考虑用基本不等式.本例教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.
点评：学生由问题中条件不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.
跟踪练习1：
点评：学生基本掌握
结论：
若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；
若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。
简记为：“一正、二定、三相等”。
(五)反思总结，整合新知：
设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.
老师根据情况完善如下：
一个不等式：若 ，则有 ，当且仅当a=b时， 。
两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”
七、教后反思：
数形结合是我们认识数学的重要思想。本课的设计思路是：“从‘赵爽弦图’引出基本不等式——利用代数知识证明基本不等式——从几何和代数两个角度发掘基本不等式的变形形式——数学建模，利用基本不等式求最值——实际应用，利用基本不等式指导生活实践”。从几何图形中提炼和挖掘数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践. 在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程。在思维拓展中，利用课本变式，引导学生用基本不等式求最值，训练了学生的建模思想，体会了不等式的应用；最后围绕电脑屏幕问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；以上种种正好体现出新课程的新理念。
论文作者:孙立柱
论文发表刊物:《基础教育课程》2019年6月12期
论文发表时间:2019/10/21
标签：不等式论文; 学生论文; 等号论文; 数学论文; 方法论文; 思想论文; 归纳论文; 《基础教育课程》2019年6月12期论文;