具有机会约束的多阶段可信性M-AD投资组合优化论文

具有机会约束的多阶段可信性M-AD投资组合优化

张 鹏*, 黄梅雨, 彭壁玉

(华南师范大学经济管理学院,广州 510006)

摘要: 基于可信性理论,考虑交易成本、借贷约束、阈值约束和基数约束等现实约束,提出了一种新的具有机会约束的多阶段可信性均值—绝对偏差(M-AD)投资组合优化模型,运用可信性均值和绝对偏差度量资产的收益和风险;基于可信性理论,将该模型转化为确定型的动态优化问题;提出一种新的前向动态规划方法,以获得最优投资组合策略;最后,通过实证研究验证了该模型和算法的有效性. 研究结果表明:基于机会约束理论,该模型在给定的置信水平下,收益率不会低于某个预先给定的值.

关键词: 机会约束; 可信性理论; 多阶段投资组合优化; 均值—绝对偏差模型; 前向动态规划方法

1952年,MARKOWITZ[1]提出了均值—方差投资组合理论,该模型分别使用均值和方差度量投资组合的收益和风险. 随后,考虑到实际问题的多样性和复杂性,学者们对均值—方差模型进行改进,如运用绝对偏差[2]、半绝对偏差[3]、VaR[3]和半方差[4]等来度量投资组合的风险,这些改进模型保持了均值—方差模型的优点并克服求解大规模均值—方差模型的难题.

上述研究基本上都假设资产的收益是随机变量,但由于投资环境的复杂性,随机收益的参数或概率分布无法准确估计,专家开始运用历史信息和主观信念来估计证券的收益,也就是说,资产收益可能被视为模糊变量. 因此,模糊集理论[5]被广泛应用,如:QIN[6]提出随机模糊均值—绝对偏差投资组合选择模型. 随后,学者们将单阶段投资组合模型拓展到多阶段,如:在模糊集理论的基础上提出了借贷利率不同的多阶段模糊投资组合优化模型[5,7];不同类型的多阶段模糊投资组合优化模型[8-11];具有交易成本、熵约束和基数约束的多阶段均值—绝对偏差投资组合优化问题[12-13];具有最小交易量限制和借贷约束的多阶段均值—半方差投资组合模型[14].

尽管可能性理论被广泛应用于投资组合研究,但可能性测度不满足自对偶性. 为了克服该局限性,文献[15]提出了可信性测度和不确定性测度,这2种测度都满足自对偶性. 之后,许多学者扩充了可信性理论,如:提出了可信性多阶段均值—方差投资组合优化模型[16];运用可信性理论研究了具有基数约束的多目标均值—半方差投资组合优化问题[17-20];提出了具有基数约束的可信性均值—半绝对偏差投资组合模型[18];在运用变动参数概率分布刻画不确定参数模型的基础上提出了一种新的可信性参数优化方法[19];基于可信性理论,研究了混合不确定的随机模糊均值—绝对偏差投资组合优化模型[21].

她不知道自己为什么要这样问,她分明亲眼看到钱包安全地回到了他手上。一会罗漠的短信回过来,收到了,照片保存得很好,谢谢你。

在不确定环境下,机会约束可以为决策者提供一个适当的安全边际,具有一定的优越性,因此,越来越多的学者将机会约束应用于投资组合的研究中. 机会约束最先由CHARNES和COOPER[22]提出,通过指定不确定约束的置信水平来处理不确定性. 之后,HUANG[23]在可信性理论的基础上通过给变量预先设定一个置信水平来实现资产收益率的最大值;TAVANA等[24]提出了以随机模糊变量为研究对象的具有机会约束的投资组合优化模型;MEHLAWAT和CUPTA[25]研究了具有机会约束的可信性多目标模糊投资组合优化问题;OMIDI等[26]提出了一种具有机会约束的不确定投资组合神经网络模型.

定义4 [30](a ,α ,β )为三角可信性变量,δ 为置信水平,ξ 的可信性分布μ ξ (x )如式(10)所示,则其反函数为

1 预备知识

令模糊变量的隶属度函数为μ ,对于任意x R,μ (x )表示=x 的可能性. 对于任意一个集合B ,对B 的可能性测度和必要性测度[27]分别定义为:

Pos{ξ

(1)

Nec{ξ

(2)

式(1)和式(2)都被证明满足非负性和单调性,不满足自对偶性,但自对偶性在实际问题中非常重要,因此,文献[28]将可信性测度定义为:

Cr{ξ

第二天,即便上县里汇报工作后都马不停蹄急急忙忙地赶回来参加义务劳动,有时刚拿工具没掀几下就到吃饭时间了……慢慢地,凭票排队打饭菜的工作人员所剩无几。我初步算了一笔账,每天三桌,每桌最低标准二十元,一天生活开支至少需六十元,不到一百天就抵销了。但是领导们都说这不是钱的问题,是在搭建党建工作的平台,是对整党活动第二阶段“边整边改”的态度问题,是实践能不能出真知的问题,是一个单位齐不齐心的问题,它关系到“边整边改”能不能收到实际效应。

(3)

定义1 [28]为模糊变量,的期望值定义为:

在路基加宽的过程中,由于旧路基经过长时间使用,已经被车辆基本压实,而新路基施工之后的一段时间之内,受到材料与荷载因素的影响,会出现沉降现象,这就导致新旧路基之间的衔接面相互脱离,不能保证加宽施工质量符合要求,严重影响公路路基加宽施工结构的使用强度,对其使用寿命造成危害。

(4)

Cr{ξ ≤a +(β -α )/4-r }=

定理1 [28]为期望值有限的模糊变量,则对于任意实数和μ ,有

第t 期投资组合x t 的净收益率表示为

国家空间规划体系的改革工作要取得良好的改革效果,首先需要在一些条件比较成熟的地区进行试点工作的开展,并根据该地区的实际发展情况进行“空间综合规划”的编制。在拥有这一整体规划的指导下对该地区土地利用规划相关的内容进行修改指导,并对各专项规划的标准进行统一处理。在进行空间综合规划的过程中可分为全国层面上国土空间发展战略规划、跨省域行政区域规划、省域层次空间发展战略规划以及地方层次空间发展战略规划四个层次。

(5)

定理2 [28]设ξ 和η 是相互独立的模糊变量,且期望值有限,则对于任意实数和μ ,有

E(ξ +μη )=E(ξ )+μ E(η ).

(6)

定义2 [29]设模糊变量ξ 的期望值为e ,则其绝对偏差AD为:

AD(ξ )=E(|ξ -e |).

(7)

第t 期投资组合x t =(x ft ,x 1t ,x 2t ,…,x nt )的可信性绝对偏差表示为

AD(ξ )=E(|ξ -e |)=Cr{|ξ -e |≥r }dr .

(8)

定理3 设模糊变量ξ 的期望值为e ,对任意非负实数,有

AD(ξ )=AD(ξ ).

华西医院在培训中加入了“树立标杆”的环节,选择在医疗、教学、科研或管理中某一方面有亮点的科室进行经验交流,以标杆科室引领和带动全院科室管理水平上台阶。如胸心外科的《先心病学科交叉汇报》、呼吸内科的《按系统整合课程教学的探索与实践》、神经外科的《多学科融合的探索与实践》等。用身边人、身边事使教育润物无声,在干部队伍中形成了“比、学、赶、帮、超”、见贤思齐的文化氛围。

(9)

证明 由定义3可推导出

AD(ξ )=E(|ξ -e |)=Cr{|ξ -e |≥r }dr =

使用单刃刀具时必须将试件卡紧固定好,并配合一个导向间隔装置,确保切割间距准确性。切割时注意刃口的锐利和切割力的大小,以正好切透漆膜,刚好触及基材为施力标准,避免用力过大使切口过深,造成基材破坏而带来的影响。目前,多以手工法切割涂层,这点对经验要求较高,通常要配合其它手段来验证这个度。

dt =

Cr{|ξ -e |≥t }dt =AD(ξ ).

证毕.

(a ,α ,β )是三角模糊数,其隶属度函数可以表示为:

(10)

基于以上研究,本文提出了一种新的具有基数约束、机会约束、借贷约束、交易成本和阈值约束等现实约束的多阶段可信性均值—绝对偏差投资组合优化模型;在可信性理论的基础上,将该模型转化为确定的动态优化问题,并提出一种新的前向动态规划算法以计算模型的最优解;最后,运用上海证券市场的实际数据验证该模型和算法的有效性.

加强外事管理制度建设。根据党中央、国务院及相关部委有关外事管理文件精神,结合水利部工作实际,研究制订国际会议、证照管理等办法,健全外事管理制度体系,规范有关程序和要求。加强因公出国境计划管理,严格按照批准的计划执行。继续定期举办外事联络员培训班,充分发挥外事联络员的桥梁和纽带作用。

(11)

定理4 [30]函数μ 1():(0,1)是可信性反函数,当且仅当该函数关于连续且严格单调.

定理5 [30]假设ξ 12,…,ξ n 是独立不确定变量,其可信性分布函数分别为μ 12,…,μ n . 如果f 是严格增函数,则ξ =f (ξ 12,…,ξ n )有如下分布函数:

R),

(12)

且有可信性反函数:

(13)

由式(3),事件{≤r }的可信性可以表示为

我国商业银行中人力资本与企业价值关系的实证研究—以我国16家上市商业银行为例………李勋来,杨海云(4,10)

(14)

定理6 设(a ,α ,β )为三角模糊数,的可信性期望值可以表示为

(15)

证明 由定义1可以推导出

证毕.

由中国建筑材料检验认证中心、国家水泥质量监督检验中心编著的《水泥实验室工作手册》,已由中国建材工业出版社出版。该《手册》增补了近年来制定和修订的有关水泥产品和检验方法的新标准,同时增列了国家有关标准法和计量法的内容,对不符合国家计量法的一些表示方法进行了纠正。

由此可以得到

根据定义1,LIU[28]推导了2个定理:

一方面,多数教师仍然难以舍弃以教师为中心的教学观念,大多采用传统的灌输式教学,偏重理论知识的传授,忽视实践操作的引导,教学与应用、理论与实践脱节,导致学生兴趣不够浓厚,思维不够活跃,影响了学生的创新思维和创新精神的培养;另一方面,工匠精神主要通过师徒传承的方式发扬光大,但是高校教师和学生接触时间少,很少有机会就专业知识学习、专业技能训练等问题开展充分的交流,而学生受传统守旧思想的束缚,放不开手脚,存在思维定势,影响了知识的学习、能力的提高和素质的培养。

1-Cr{ξ ≤a +(β -α )/4-r }=

定理7 设(a ,α ,β )为三角模糊数,的可信性绝对偏差可以表示为

(16)

证明

AD(ξ )=E(|ξ -e |)=Cr{|ξ -e |≥x }dx -

投资组合x t 的绝对偏差表示为

当β ≥α 时,有

AD(ξ )=(1-Cr{ξ ≤e +r }+Cr{ξ ≤e -r })dr =

当β =α 时,有

70年代中期以来,随着计算机处理非数值信息技术的日益提高,汉语词汇统计也逐渐采用人机结合的办法,利用计算机进行自动统计分析,提高了统计的效率和规模。1976年中国“七四八”工程查频组首次利用计算机对汉字的频度进行统计,生成《现代汉字综合使用频度表》,为中文信息处理的国家标准GB2312-80《信息交换用汉字编码字符集——基本集》提供了科学的基础数据[2]。

AD(ξ )=(1-Cr{ξ ≥e +r }+Cr{ξ ≤e -r })dr =

两组功能区切除患者术前术后KPS分值比较均为P>0.05;两组术后KPS分值均提高,P均<0.05;观察组术前术后KPS分值之差较对照组大,P<0.05。见表2。

当β ≤α 时,有

AD(ξ )=(1-Cr{ξ ≥e +r }+Cr{ξ ≤e -r })dr =

证毕.

2 多阶段投资组合决策模型

2.1 问题描述与符号说明

假设有n 种风险资产和1种无风险资产可供选择,风险资产的收益率为三角模糊数. 假设投资者用初始财富W 1进行第1阶段投资,投资者将其财富投资n +1种资产进行T 时期持续投资,他的财富将在每个时期的开头进行调整.x it 表示第t 期第i 种风险资产的投资比例;x i0 表示第1期第i 种风险资产的初始投资比例;x t 表示第t 期投资组合,其中x t =(x ft ,x 1t ,x 2t ,…,x nt ),x ft =1-(x 1t +x 2t +…+x nt )表示第t 期无风险资产的投资比例;表示第t 期无风险资产投资比例的下界,且表示第t 期第i 种风险资产的收益率;r pt 表示第t 期投资组合x t 的收益率;r bt 表示第t 期无风险资产的借款利率,r lt 表示第t 期无风险资产的贷款利率;u it 和l it 分别表示x it 的上界和下界;r Nt 表示第t 期投资组合x t 的净收益率;W t 表示第t 期的初始财富;c it 表示第t 期第i 种风险资产的单位交易成本;K 代表第t 期投资组合中风险资产的数量.

2.2 收益、风险和约束条件

根据文献[28],假设第t 期第i 种风险资产的随机收益率R it =(a ititit )是三角不确定变量.

第t 期投资组合x t =(x ft ,x 1t ,x 2t ,…,x nt )的可信性均值表示为

(17)

时,r ft =r lt ;当时,r ft ≥r bt .

定义3 [29]设模糊变量ξ 的期望值为e ,则其可信性绝对偏差为:

(18)

其中,r 0t 为投资者预先设定的值,δ 为置信水平.

第t 期无风险资产的借贷约束为

提水泵站是在新建水源大口井中取水,将水泵置于井内,水泵底端距井底0.8 m,水泵出口接DN 75出水管,出水管用夹板卡住支撑在盖板上。

(19)

假设交易成本为第t 期投资组合x t =(x ft ,x 1t ,x 2t ,…,x nt )和第t -1期投资组合x t-1 =(x ft ,x 1(t-1) ,x 2(t-1) ,…,x n(t -1)),则第t 期第i 种资产的交易成本为

C it =c it |x it -x i(t -1)|,

(20)

因此,第t 期投资组合x t =(x ft ,x 1t ,x 2t ,…,x nt )的总交易成本为

(21)

E(ξ +μ )=E(ξ )+μ .

(22)

第t 期和第t +1期财富变化表示为

(23)

Cr{|ξ -e |≤x }dx =Cr{|ξ -e |≥x }dx =

ADt (x t )=ADt (r 1t x 1t +r 2t x 2t +…+r nt x nt ).

(24)

为了计算投资组合的基数约束,引入0-1决策变量. 若在第t 期选择第i 种风险资产进行投资,则z it =1,否则z it =0,其中,i =1,…,n ;t =1,…,T . 故基数约束可以表示为

(25)

上下界约束可以表示为

l it ≤x it ≤u it

(26)

其中,u it 和l it 分别表示x it 的上界和下界.

对一个理性投资者来说,他在寻求投资组合预期收益率最大化的同时还会尽可能降低风险,所以需要在收益和风险之间做出权衡,引入风险偏好系数θ ,那么

F t (r Nt ,ADt (x t ))=

(27)

其中,0≤θ ≤1. 风险偏好系数θ 越大,表示投资者越厌恶风险;当θ =1时,表示投资者只关心风险,不管收益;当θ =0时,表示投资者只关心收益,不关心风险.

2.3 多阶段投资组合优化模型

多阶段可信性均值—绝对偏差模型为

(28)

模型(28)的目标函数即为求终期财富的最大值,约束条件由上至下分别为财富积累约束、机会约束、借贷约束、基数约束、x it 的上界和下界,其中,i =1,…,n ;t =1,…,T . 模型(28)的经济含义为在满足上述5个约束条件的前提下追求终期财富的最大化.

根据文献[31],若r 1t ,r 2t ,…,r nt 为相互独立的三角可信性变量,x it ≥0 (i =1,…,n ),则

(29)

其中,

根据定义4和定理5,式(18)可以转换为

(30)

根据式(29)、(30),模型(28)可以转换为

(31)

其中,i =1,…,n ;t =1,…,T .

3 前向动态规划方法

模型(31)为具有路径依赖的动态优化问题,是“NP hard”问题,本节提出前向动态规划方法以求解该模型.

模型(31)在第t 期的子问题为:

(32)

其中,i =1,…,n ;t =1,…,T .

令y it =|x it -x i(t -1)|,模型(32)可以转换为

(33)

其中,i =1,…,n ;t =1,…,T .

该模型为具有路径依赖的混合整数动态优化问题,下文将运用一种新的前向动态规划方法(算法1)对其进行求解.

算法1 前向动态规划方法

步骤1:令t =1,由于W 1及x 0=(x 10,…,x n0 )已给出,则运用CPLEX求解模型(33),可得第1阶段的最优化结果为同时可以得到:

步骤2:如果t =m (m ≥1 且 m Z+),由于已给出,则运用CPLEX求解模型(33),从而得到时期m +1的最优解与此同时,可以得到

步骤3:如果t =T ,可得否则,t =m +1,转步骤2.

4 实证研究

假设投资者从上海证券交易市场上选择了30支股票进行投资,股票编号分别是:S1(600000),S2(600005),S3(600015),S4(600016),S5(600019),S6(600028),S7(600030),S8(600036),S9(600048),S10(600050),S11(600104),S12(600362),S13(600519),S14(600900),S15(601088),S16(601111),S17(601166),S18(601168),S19(601318),S20(601328),S21(601390),S22(601398),S23(601600),S24(601601),S25(601628),S26(601857),S27(601919),S28(601939),S29(601988),S30(601998). 投资者用初始财富W 1=1进行5期连续投资,每期投资之初可调整其财富的分配比例. 假设30支股票每期的收益率、风险和周转率为三角模糊数. 本文收集2006年4月—2017年3月月末的收益率作为样本数据,并以每3个月为1个周期进行处理,使用文献[18]的估计方法处理历史数据.

设单位交易成本c it =0.003 (i =1,…,30;t =1,…,5);无风险资产投资比例的下界为无风险资产的借款约束r bt =0.017,贷款约束r lt =0.009 (t =1,…,5),投资比例的下界为l it =0,上界为u it =0.3 (i =1,…,30;t =1,…,5);第t 期投资组合中风险资产的个数K =2,…,7,置信水平δ =95%或δ =99%.

由表1可知:当θ =0.6,K =3,r 0t =0.1,δ =95%时,第1期的最优投资策略为x 131=0.300,x 191=0.300,x 271=0.208,x f1 =0.192,其余的资产投资比例为0,即投资者以30%、30%、20.8%和19.2%的比例分别投资于资产13、资产19、资产27和无风险资产,此时的终期财富值为2.072 229. 第2~5期的最优投资策略不再详细论述,详见表1.

表 1投资组合的最优投资比例( θ = 0.6, K = 3, r 0t = 0.1, δ = 95%)

Table 1 The optimal investment proportion of portfolio (θ =0.6,K =3,r 0t =0.1,δ =95%)

由表2可知:当θ =0.6,K =3,r 0t =0.1,δ =99%时,第1期的最优投资策略为x 161=0.136,x 191=0.300,x 241=0.300,x f1 =0.264,其余的不投资,即投资者以13.6%、30%、30%和26.4%的比例分别投资于资产16、资产19、资产24和无风险资产,此时的终期财富值为2.011 866. 第2~5期的最优投资策略不再详细论述,详见表2.

结合表1和表2可以看出:当δ 递增时,终期财富值递减,此时无风险资产的投资比例递增.

由表3可知:(1)若δ =95%或δ =99%,当2≤K ≤6时,投资组合的终期财富值随着K 值的增大而增加;K ≥6时,终期财富值不变;当0≤K ≤2时无可行解. (2)当2≤K ≤6时,δ =95%时的终期财富值大于δ =99%时的终期财富值.

由表4可知:若风险偏好系数θ [0,1],当δ =95%或δ =99%时,终期财富值随着θ 的增大而减少;当0≤θ ≤0.6时,δ =95%和δ =99%的终期财富值相同;当0.65≤θ ≤1时,δ =95%对应的终期财富值要大于δ =99%对应的终期财富值.

表 2投资组合的最优投资比例( θ = 0.6, K = 3, r 0t = 0.1, δ = 99%)

Table 2 The optimal investment proportions of portfolio( θ = 0.6, K = 3, r 0t = 0.1, δ = 99%)

表 3不同置信水平的最优终期财富值( θ = 0.6; r 0t = 0.1)
Table 3 The optimal terminal wealth value with different confidence levels( θ = 0.6; r 0t = 0.1)

表 4不同置信水平的最优终期财富值( K = 6; r 0t = 0.1)
Table 4 The optimal terminal wealth value with different confidence levels( K = 6; r 0t = 0.1)

5 结论

本文假设资产的收益服从三角可信性分布,运用可信性均值和绝对偏差分别度量多阶段投资组合的收益和风险. 在考虑交易成本、借贷约束、阈值约束、基数约束和机会约束的基础上,提出一种新的多阶段投资组合优化模型;基于可信性理论,将该模型转化为一个混合整数动态优化问题;由于交易成本和基数约束的存在,该模型是具有路径依赖的混合整数动态优化问题,属于“NP Hard”问题,本文设计了一种新的前向动态规划法来获得最优投资组合策略;最后,比较了不同风险资产数量K 及风险偏好系数θ 的取值在不同置信水平下终期财富的变化. 实证研究表明:当2≤K ≤6时,终期财富值随着K 值的增大而增加,且δ =95%时的终期财富值大于δ =99%时的终期财富值;当θ [0,1]时,终期财富值随着θ 的增大而减少. 这为风险偏好程度不同的投资者如何进行投资决策提供了一种新思路. 另外,多阶段的最优投资策略主要集中在少数几种资产,所以,如何实现分散化投资值得进一步研究.

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Multiperiod Mean -Absolute Deviation Credibilitic Portfolio Optimization with Chance Constraint

ZHANG Peng*, HUANG Meiyu, PENG Biyu

(School of Economics and Management, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

Abstract : A new multiperiod credibilitic portfolio selection model with fuzzy chance constraint is proposed, taking into account such real constraints as the borrowing constraints, the threshold constraints and the cardinality constraints as well as the transaction costs. The credibilitic mean and credibilitic absolute deviation are used to measure return and risk of portfolio selection respectively. Based on credibilitic theories, the model is transformed into a dynamic optimization problem. Because of the transaction costs and the cardinality constraints, the model is a mix integer dynamic optimization problem with path dependence and a novel forward dynamic programming method is designed to obtain the optimal portfolio strategy. Finally, numerical experiments are included to showcase the applicability and efficiency of the model in a real investment environment. The result of the research shows that, on the given confidence level, the return of portfolio selection cannot be less than the preset value.

Keywords : chance-constrained programming; credibilitic measure; multiperiod portfolio optimization; mean absolute deviation model; the forward dynamic programming method

收稿日期: 2018-08-06

《华南师范大学学报(自然科学版)》网址:http:∥journal.scnu.edu.cn/n

基金项目: 国家自然科学基金项目(71271161);广东省科技计划项目(2018A070712030)

*通信作者: 张鹏,教授,Email:zhangpeng300478@aliyun.com.

中图分类号: O221.2;F830.91

文献标志码: A

文章编号: 1000-5463(2019)03-0094-09

【责任编辑:庄晓琼 责任校对:庄晓琼 英文审校:程杰】

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