规范理论和基础物理学的几何化，本文主要内容关键词为：物理学论文,几何论文,基础论文,理论和论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N031 文献标识码：A文章编号：1007-8444(2010)01-0020-08
在20世纪，有两个探索(如何)描述自然界基本相互作用的研究纲领：由爱因斯坦广义相对论首创的几何纲领和量子场论纲领。按照几何纲领，相互作用是通过连续的经典场而实现的，这些场与时空的几何结构诸如度规、仿射联络和曲率是紧密联系在一起的。这种几何化相互作用的概念虽然加深了人们对引力的理解，但不能推广到物理学中的其他地方。确实如此，电磁理论、强弱核相互作用在总体上走向不同的方向。直至20世纪20年代，随着量子电动力学的出现，开创了基本相互作用的量子场研究纲领。按照这个纲领，相互作用是通过量了场来实现的，量子场则以局域耦合和场量子的传播为基础，但与时空的几何学毫无关系。
这两种纲领之间的概念上的区别，在本体论与相互作用机制上是如此深刻，以致我们必须询问继续讨论基本相互作用的几何化问题的正当的理由是什么。不过笔者即将讨论寻求一种量子作用和时空几何化结构的密切关系的可能性。实际上，我们的中心问题是规范场论及其几何化解释，在讨论此问题之前先回顾一下规范理论和量子理论之间的关系，并且解释一下，为什么没有对规范理论的真正理解就达不到对量子场论的真正理解。
回顾一下量子场是定域化的算符场。算符场的局域性激发或退激发，是由分立的场量子的产生和湮没所构成的。量子场的这种新奇性质对量子场论相互作用机制的形成产生了深远的影响。这些相互作用是借助于场量子的局域耦合，即场量子的产生与湮没以及我们所知道的虚量子的传递来实现的。这种系统阐述是植根于通过局域耦合概念而建立的算符场的定域激发概念。由于不确定原理，定域激发的结果不是单个动量量子，而必须是所有动量量子的适当组合的叠加。因此相互作用是被描述为并非单个虚量子的传递，而是虚量子所有适当组合的叠加。但是，这些为定域激发假设所隐含的虚量子，看来是具有任意高动量的非实体量子，从它们与实量子的相互作用到物理量的计算，它都将导致任意大的贡献。那就是著名的量子场论的发散困难，它是不可避免的。量子场论若要被看作一个自洽的理论，就必须克服这个严重的困难，也就是必须重整化。
正如近20年代来理论进展所显示的，尤其是描述基本相互作用的各种量子场理论，只有在引入规范不变性概念之后才能被重整化①。因此，为使量子场论发展为一个成功的研究纲领，它就必须与规范理论相结合。因此，量子场论的解释不可避免地和规范场的解释联系在一起。为了有助于后面的讨论，现在总述一下规范理论最初提出的情况。还在重整化的考虑没有进行之前，就开发出两种完全不同的思维训练方式，一次是在20世纪50年代，更早一次在1920年前后。
现代规范理论，由杨振宁与米尔斯于1954年所首创(见Yang & Mills，1954 a与b)。如下文所示，它完全是在量子论纲领的框架中出现的。二战之后越来越多的新粒子被发现，并且这些基本粒子的各种可能的耦合被提出。因此，从很多被考虑的可能性中挑选出一种独特形式的一些原理已成为必要。这个由杨振宁和米尔斯提出的原理是基于规范不变性的概念，因此称为规范原理。
这个规范不变性的观念源于1918年，根据下面的考虑应归功于韦尔(见Weyl，1918 a与b)：按照广义相对论的要求，坐标系统只能定域地加以定义，同样长度标准或标尺也将只能是定域的。因此，必须在每个时空点建立一个分立的长度单位。韦尔称这样一个单元标准系统为一个规范系统。在韦尔看来，一个规范系统像一个坐标系统一样，对于描述物理事物同样是必要的。由于物理事件独立于我们所选择的描述框架，韦尔坚持认为，规范不变性就像广义协变性一样，必须被物理理论所满足。然而，韦尔最初的标度不变性刚提出不久就被抛弃，因为它的物理推断呈现出与实验相矛盾的结果。例如，正像爱因斯坦所指出，韦尔的概念意味着具有确定频率的光谱线不能存在。
这里的最基本线索在于，波函数的相可能是一个新的局域变量。以前对韦尔最初想法的异议不再适用，因为相不直接涉及时空量的测量，例如矢量的长度。于是，在没有电磁场时，相变的量能被赋值为一个任意常量，因为这并不影响可观察量。当有电磁场存在时，在每一时空点上相的不同选择，通过把势
解释为一个在不同点上与相有关的联络，而容易地加以调节。一个相函数的特殊选择将不影响运动方程，因为相变和势的变化恰好相互抵消。因此，从前归咎于势的表现任意性，现在被理解成不影响方程对波函数的相的任意值的选择。这正是所谓规范不变性的真正意义。
现在，有三点是十分清楚的。首先，规范不变性的正确解释如果没有量子力学则是不可能的。第二，在规范理论与广义相对论的理论结构之间存在一个惊人的相似性，也就是，以电磁场、局域相函数、电磁势和规范不变性为一方，又以引力场、局域切矢、仿射联络和广义协变性为另一方的类比。第三，正如弗里德曼(见Friedman，1983)所指出的，不变性概念不同于协变性概念：如果一个理论在变换群作用下其几何体是不变的，则这个理论是在变换群下不变的。而一个理论是协变的则是指，如果在变换群作用下，理论中的方程的形式不变。考虑到这种精细微妙的区别，这里的规范不变性应称为规范协变性，并且规范理论中所包含的对称群实际上不是不变群，而是协变群。顺便提及，这一评语对本文其余部分一概适用。不变性和对称性仅被用于协变性的意义上。例如，如果理论中方程或定律的形式在变换群作用下不变，则这个理论就被说成是在相关可观察自由度的不同表象中，在变换下对称的。
任何规范理论的核心是规范对称群和它在决定理论动力学时的关键作用。它可能有助于给出一些定义。如果一个对称性的表象在每一时空点都是同样的，则这个对称性是全域的。如果一个对称性的表象从这一点到那一点有所不同，则是局域的。因此洛仑兹对称性是全域对称，而广义坐标变换的对称性则是局域对称。更进一步，如果相关可观察自由度在本质上是时空的，则这种对称性就是外部的，否则就是内部的。
现代规范理论正是从局域相对称到一般定域化的内部对称性的推广。这第一步是由杨振宁和米尔斯所采用的，当时他们想要寻找假定同位旋守恒定律的后果，同位旋被设想为在进行相互作用时与电荷相类似。同位旋守恒是核力对电荷的独立性这一经验发现的重新表述。它假定(按海森伯说法)，质子和中子是在一个抽象的同位旋空间中的同一个粒子的两个状态。既然在量子电动力学中电荷守恒与相不变性有关，那么通过类比，人们就会猜想强相互作用在同位旋转动中有不变性。同位旋不变性决定了同位旋方向没有物理意义。这样，在质子与中子之间进行区分完全是一个任意的处置。然而，这种任意性却具有全域的性质，也就是说，一旦在一个时空点上作出选择，那么在所有其他时空点上的选择也就确定下来。但正如杨振宁和米尔斯所认识到的，这与量子场论的要求是不一致的，在那里一切事情都是局域地定义的。
按照规范场纲领，各种基本相互作用都可以用规范势来描述，因此基本物理学的几何化问题可以归结为规范理论的几何化问题。
在讨论核心观点之前，让我们暂时停下来检查一下规范原理的普遍性。因为规范原理是普遍适用的主张，在涉及外部对称性时受到了质疑。这里有两个问题：(i)引力相互作用是否被外部对称性，也就是被广义协变性所支配？(ii)我们能否被外部对称性而获得一个引力子？
早在1917年，爱因斯坦关于从广义协变性连同等效原理引出广义相对论的原初主张，就受到克莱契曼(见Kretschmann，1917)的批评。后来它又受到嘉当、惠勒(见Misner,Thorne,Wheeler,1973)和弗里德曼(见Friedman，1983)等其他学者的挑战。这些批评表明，广义协变性原理并没有物理内容，因为任何非广义协变理论总可以重铸成广义协变形式。我们所要做的唯一的事只是用协变导数取代普通导数，在理论中增添仿射联络，并声称存在一个坐标系统，在那里仿射联络的分量
恰好等于零，并且原有的形式体系是有效的。
然而在笔者看来，引力相互作用实际上是由局域外部对称性所支配的。正如这些批评所承认的那样，在非广义协变理论的改造中，=0，但这意味着时空是平坦的并且外部对称是全域的。无论如何，真正的广义协变性等价于局域对称性，这是可以与引力相融通的弯曲时空所满足的唯一一类对称性。因此，这些改造理论所假定的广义协变性是不合法的。
第二个不无争议的问题是，许多企图用不同的对称群发现引力的量子理论的尝试也已经做过。在这些尝试中，赫尔和他的合作者的工作看来令人信服地证明(见Hehl等，1976)了彭加勒群也就是洛仑兹变换群和平移群，能导致最似真的引力规范理论，只要有效地加以解释。目前所有基于局域彭加勒群的早期尝试都不能被重整化。然而，大约在十年前，一种更强有力的对称性，也就是超对称登上了舞台。局域超对称导致了超引力理论，这种理论被认为能统一引力和其他作用(见Van Nieuwenhuizen，1981)。尽管对引进超对称可能使超引力能够重整化(或许只是有限的)有些过分乐观，现在看来还没有一个超引力理论能导致一自洽的量子理论。然后，大约在5年前产生了超弦理论(见Green与Schwazz，1981，1985)它把超引力当作一种低能近似，如果时空是十维的，它还能避免发散困难。说超弦理论是否能提供一个成功的理论还为时过早，无论如何，这看来不能获得一个引力的规范理论。
现在让我们回到中心议题，即基础物理学的几何化。这里的出发点是引力的几何化：让彭加勒局域的对称性消除时空的平坦性，并要求引进与引力相关的时空几何结构，比如矩阵、仿射联络和曲率。
对于其他相互作用，人们确信都可以用规范相互作用来描述。我们发现，相应理论的理论结构可以恰当地类比于引力的情况。存在着内部对称性的空间：电磁学中的相空间，像一个环；同位旋空间(isospace)像一个三维球的内部；还有强相互作用的色空间，等等。在每一时空点上的内部空间被称为纤维，这个内部空间与时空的联合称为纤维丛空间。然后，我们发现局域规范对称性可消除时空的“平坦性”，因为我们假定物理系统的内部空间的方向在不同时空点是不同的。因此局域规范对称也要求规范势的引入，这相应于规范作用，以便联络在不同时空点的内方向。我们也发现，规范势在规范理论的纤维丛空间中所起的作用，恰好等同于仿射联络在广义相对论的弯曲时空所起的作用。如果我们仅凭引力相互作用是与弯曲时空的几何结构，也即与仿射联络相联系，就承认它是几何化了的，那么我们为什么不能说规范相互作用的几何化呢？
批评者可能回答说，这不是真正的几何化，因为规范理论的几何结构仅仅定义在纤维丛空间，并且纤维丛空间仅仅是一个数学结构，总体来说不同于真实的时空。这里，丛流形只是时空与内空间的一个平凡积，两个因子空间互相毫不相干。因此，这种几何化只是无意义的文字游戏。
初看起来，这里问题的焦点似乎仅在于，应当把什么称作几何化存在着不同的解释。但笔者认为情况并非如此，这一点的进一步考虑远非单纯的用语之争，而是对我们加深理解基本物理学有深远的潜在影响。为了支持这一主张，将开始进一步讨论一个简单的问题：什么是几何学？在狭义相对论之前，唯一的物理几何是三维空间的欧几里得几何；其他的几何虽然在逻辑上是可能的，但实际上也仅仅被看作一种精神虚构。伴随着狭义相对论出现了在四维时空中的闵可夫斯基几何，今天没有人否认这是一种真正的几何。这个信念的一个重要理由是，闵可夫斯基几何所在的四维时空不只是被定义为三维空间与一维时空的平凡积，更重要的是洛仑兹转动已使空间与时间指标一体化。在四维时空中黎曼几何是不同于闵可夫斯基几何的。试问它是否也是一种真正的几何学，或者只是以闵可夫斯基几何为背景的一种描述引力的数学技巧呢？
广义相对论给我们的教益之一是，引力相互作用的存在必然反映在时空的几何特征之中，即使我们以闵可夫斯基几何作为起点，并按量子场论形式(在其中引力被描述为无质量旋-2场)重新表述广义相对论，而最终的理论，正如Deser(见Deser，1970)所表明，总是涉及曲率度规而不是原先假定的平直度规。平直度规与曲率度规之间的关系，在这里十分类似于在量子场论中的裸电荷和壳电荷之间的关系。因此，黎曼几何应当被看作真正的时空几何。或者等价地，我们应当认识到，真正的时空几何的特征实际上受到引力的影响。这正是黎曼在其著名的就职演讲中的推测和爱因斯坦终生所坚持的观点。
然而，当涉及内部对称性，或者等价地，当涉及引力之外的其他相互作用时的情况又如何呢？在进入这一问题之前，让我们先勾勒一下广义相对论之后的几何观念的进一步演化。
1921年，爱丁顿引进了一个“作为时间、空间和事物的共同基础的世界结构的几何”观念(见Eddington，1921)。在这种最广泛的意义上，爱丁顿几何应包含与物质相关的元素和物质系统的相互作用机制。这种几何已被爱因斯坦和薛定谔在统一场论中以及卡鲁查和克莱因在五维相对论中有过探索(见Kaluza，1921；Klein，1926，1927)。而且正如我将要进行解释的，对爱丁顿几何的兴趣已在近10年来的规范理论的纤维丛方案(见Daniel & Viallet，1980)、超引力(见Van Nieuwenhuizen，1981)、现代卡鲁—克莱因理论(见Hosotani，1983)和超弦理论(见Green与Schwarz，1981，1985)中得以复兴。
这个方向上的进一步发展是由特霍夫特和波里亚可夫(见't Hooft，1974；Polyakov，1974)在1974年独立提出的对SU(2)规范理论的单极解。在这种情况下，单极解把物理空间与内空间的方向联系了起来，同样类型的相互关系也出现在规范理论的瞬子解之中。
一个超过
的纤维丛是时空与内部空间的积空间的推广，它允许在[纤维]丛空间作可能缠绕，因此引起时空与内部空间不平庸的融合。在数学上内外指标可以通过变换函数融合在一起，它在规范理论中的作用是通过推广了的相变换而实现的(见Daniel & Viallet，1980)。
如上所述，规范理论的纤维丛方案已发展到极致。现在清楚知道，与联系时空自由度的外部几何相类似，平行地存在着一个与内部自由度相联系的内在几何。这两类几何可以纳入同一数学框架之中。尽管有令人印象深刻的数学相似，更有令人印象深刻的内外自由度融合的可能性，然而两类几何相统一的实际图景(它与引力同其他相互作用的统一相关)仍十分模糊。
现在让我们回到基本物理学的最新进展：超对称和超引力、现代卡鲁查—克莱因理论，以及超弦理论。超对称是一种联系玻色子和费米子的对称性。在量子场论中，玻色场是1维的而费米场则是3/2维的，为此，作用量是无量纲的(用单位
=c=1单位)。原因在于，玻色场的作用量中有两次导数，而费米场仅有一次导数。很难看出，二次超对称变换是否必定导致维数的差距。只因维的对象不同于场本身，克服维数差距的有效方式是求导。因此，任何整体超对称模型中，我们总能发现在双重变换关系中，并单纯是在维的基础上。
因此，在数学全域超对称性类似于对变换算符开平方根，这样，实际上它不是一个内部对称性，而是彭加勒群到所谓“超彭加勒群”的一种放大，这等于是时空向一个超空间的扩展，以包括额外的自旋反对称坐标与通常坐标。
在局域理论中变换算符在各点都有不同，这恰恰是一种广义坐标变换的概念，并使我们料想到必定存在引力。诚然，在局域对称不变性要求引导下并采用“诺特方法”，我们实际上能得到无质量自旋为3/2的超对称规范场，也就是引力微子；并能得到无质量自旋为2的时空对称规范场，也就是引力。因此超对称的局域规范理论意味着引力的局域规范理论。这正是这样的超对称理论被称为超引力的理由。
在简单超引力中，超对称产生元的数目N是等于1。假如N＞1，我们就得到推广的超引力。推广的超引力理论的一个特殊性质是，它在与引力相关的时空对称性之外，附加有一个与所有自旋同样的粒子相关的全域U(N)内部对称性，并因此与超对称性毫不相干。已经证明，内部对称性可以被局域化，这样的话，非引力相互可以被并入其中。最令人振奋的发现是，在N=8模型中超常局域SU(8)对称很有希望，因为局域SU(8)群能产生为大统一理论所需要的自旋1与自旋1/2的束缚状态。尽管有这些进展，然而超对称和超常内部对称的关系目前仍未搞清楚。因此，引力和其他相互作用之间的关系，以及外部几何与内部几何之间的关系，在超引力的语境中仍不清楚。
下一个我想讨论的理论是现代卡鲁查—克莱因理论。在最初的卡鲁查—克莱因理论中，低能实验条件下卷缩了的一个空间额外维度，被嫁接到已知的四维时空上去，以适应电磁学的需要。在卡鲁查—克莱因理论复兴后，考虑到体现在大统一理论中的对称算符的数目和推广的N=8超引力，额外空间的维数就变为7。据推测，七个额外空间维在低能情况下作为超球体而卷缩了。这个七维球包含许多附加的对称性，这些对称性是要在力场的规范对称性的基础上进行模拟。这意味着，内部对称性是与额外卷缩空间维相关联的几何对称性簇(=流形)，并且所有各类与内部对称性相关联的几何都是真正的空间几何，也就是几何学是与额外空间维相关联的。
在这种情况下，内部几何与外部几何之间的关系问题似乎变得完全不相干的。但在更深的意义上这个问题仍然意味深长。当我们讨论规范理论的几何化时，真正的问题症结究竟是什么？只当四维时空的几何结构，实际上与引力或超引力以外的规范相互作用相关时，或者等价地说，只当它们与额外维相关的几何结构融合时，几何化论题才有意义。我们仍不知道这种情况是否存在，除非假定的卷缩尺度，即普朗克尺度能够达到。因此，在目前这仍是一个未解决的问题。尽管如此，现代卡鲁查—克莱因理论，还是借助于额外维度的几何结构，打开了一扇大门，以建立非引力规范势与四维时空的几何结构之间的相互关系。在这样的理论语境中，几何化的主张，虽不等同于但毕竟关系到引力与其他规范相互作用的统一，几何化在原则上是可验证的，它不能被指责为不可证伪，或与基本物理学的未来发展没有关系。
与本文相关的基本物理的新近进展是超弦场论，这种理论是在1980年从20世纪70年代早期所提出的强子自旋弦模型演进而来。在弦模型中，一条量子弦不同于无结构的点粒子，具有无数个带有质量与自旋的态，态的增加没有上限；在这些态之间进行划分的质量标度为弦的张力强度T所规定。在并入超弦理论中，基态具有零质量并且实际上是超引力点场理论的基本态，超弦理论因此被解释为包括引力和由T所规定的自然质量标度的理论，T是普朗克标度，
。
正像最初的自旋弦模型一样，超弦也要求十维时空。因此，与物理相关，额外的6维必定是卷缩的并且很小，这类似于在卡鲁查—克莱因的超引力点场论方案中所采用的观念。无论如何，在超引力点场论语境中，额外维度使发散难题比四维情况更糟。有些超弦量子场论看来根本不存在无穷大。这里关键之点在于存在着在点场论中所缺乏的由高质量态所提供的抵消机制，这种机制在能量接近于普朗克标度时被激发，此时额外维是卷缩的。
在10维量子超弦理论中存在着引力反常与杨—米尔斯反常，这是对杨—米尔斯电荷守恒和对能量—动量守恒的违背。消除所有反常的要求，势必导致要求在引力与杨—米尔斯相互作用之间有一种紧密的关系。例如，在一种超弦理论的低能近似中，杨—米尔斯区(sector)的存在要求引力区的存在，以及杨—米尔斯相互作用与引力的统一导致规范耦合常数g和引力耦合常数K之间的关系式
。而在另一个类型的理论中，关系式就改为K=常数·
，在超引力点场论中，杨—米尔斯相互作用与引力之间这样直接的关系是不存在的，而且杨—米尔斯相互作用与引力之间的相互影响还是理解反常如何相消的关键。
杨—米尔斯作用与引力的统一的另一方面，可以在理论的几何约束中看到：
超弦理论与通常的卡鲁查—克莱因方案相区别的最显著特征之一是，10维理论中的杨—米尔斯群提供了可望在实验上得到的内对称性，维度卷缩产生不了额外的规范不变性，而在通常的卡鲁查—克莱因方案中，规范对称性被假定为出现在卷缩的内部空间之中。例如在11维超引力理论中，所有被观察的四维杨—米尔斯对称性都被假定出现在卷缩的7维空间的对称性之中。
从上述简要的回顾中，我们发现有三种非引力规范相互作用几何化方案：
1、纤维丛方案，在其中规范相互作用是与内部空间的几何结构相关联的，因为有可能获得时空与内部空间的不平凡的融合，规范相互作用也就与时空几何具有某些间接关系。但是，内部空间的本质仍然是一个令人苦恼的问题：物理实体与时空同样是真实的吗？抑或只是一个数学虚构？
2、卡鲁查—克莱因方案，在其中引进了在低能实验情况下卷缩了的额外空间维，并且借助于规范对称性，规范相互作用的形式被确定下来，恰好是卷缩空间的几何对称性的表现形式。这里，规范相互作用与时空几何之间的媒介不再是恼人的内部空间而是虽然卷缩但真实的额外空间维。这种卷缩空间真实性的假定是实质性的和原则上可检验的，即使由于它的特殊性质，要将它与纤维丛方案中的内部空间作出区分是困难的。
3、超弦方案，在其中引进额外卷缩空间维，是与恰当再现规范对称性情况出于不同的考虑。因此，卷缩维的性质与结构全然不同于卡鲁查—克莱因方案中的。例如在卷缩维中不存在对称性，就不同于对称性的出现；规范相互作用是与作为整体的十维空间的几何结构相关联，还是仅与额外维相关联。此外，在超弦方案中，在引力与非引力规范相互作用之间可能存在某些直接可检验的关系。
因此，按照笔者的意见，基本相互作用的几何化这一论题，具有科学与哲学的双重意义，它提升了时空与所有类型的基本相互作用(不只限于引力)的关系问题。如果只因有了爱因斯坦的广义相对论，它把时空与引力联系在一起，才使我们关于时空的动力学性质与弯曲时空的结构的知识成为可能，那么这个几何化论题必将为拓展我们的知识并加深对时空的理解提供一种新的可能性。它预言了高维时空的存在和它的一些性质及结构。它在引力与非引力相互作用之间建立了某种直接关联，等等。
然而，对于我们理解量子规范作用的本质而言，几何化的意义何在？答案可能就恰好包含在广义相对论[的几何化]对于我们理解引力本质的意义之中。
桂起权译自H.R.Brown与R.Harre合编的《量子场论的哲学基础》一书第七部分，牛津Clarendon出版社，1988年版。中文摘要和关键词是译者所加。
注释：
①规范不变性与重整化的关系是一个深刻的课题。一个有趣的问题是：对于一个理论的重整化而言，规范不变性作为必要而不充分条件，其更深刻的理由何在？
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