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在初三数学复习中，我们做过这样一道题：若关于x的分式方程
无解，则a=＿＿。（2009年牡丹江市初中毕业学业考试数学试题）
正确答案是1或-2。但是却有许多同学的答案不完整。
他们是这样解的。
错解去分母，得
x(x-a)-3(x-1)=x(x-1)。
显然x=1即1-a=0时，方程无解，所以a=1。
x=0时，3=0方程无解。得a=1。
这引起了我们的思考，参数a的值是怎样漏掉的？
一、方法探讨
例题1 方程
无解，试求k的值。
解 去分母，得3=(x-1)+k。
显然，x=1，即k=3时，方程无解。
评注 此题方程的无解，即意味着方程有增根，利用增根是整式方程的根求出k。
例题2 方程
无解，试求k的值。
解去分母，得
x(x+1)+k(x-1)=x(x-1)
显然，x=1，即2=0时，方程无解。
显然x=-1，即-2k=2，k=-1时，方程无解。 又整理后，得
(k+2)x=k,k+2=0，即k=-2，方程无解。
评注 此题方程的无解，除了意味着方程有增根，还需要看去分母后变成的一元一次方程是含有字母系数的，从而求出A值。而例题1中去分母后变成的一元一次方程的系数是具体的数。
二、原因分析
对照上述错解过程，发现大多同学的思维漏洞在于对“分式方程有增根”与“分式方程无解”的联系与区别理解不到位所致。
原题的正确解法如下：
去分母得
x(x-a)-3(x-1)
=x(x-1)。
显然x=1时，即a=1。方程无解；
原方程进一步化简为：
可知当a=-2时原方程也无解。
综合得a=1或-2。
点评 分式方程化为整式方程后，需注意：
①若整式方程的解同时满足分式方程，则这个解也是分式方程的解；若整式方程的解不是分式方程的解，则这个解是分式方程的增根；
②如果整式方程的所有解都是分式方程的增根，则这个分式方程无解；
③若整式方程无解，则这个分式方程无解。
三、探讨Ⅰ：“有解”与“无解”的区别
又整理后，得
。
当k=0，-3x+2=0，原方程有解；
当k≠0，此时，△=9-8k＜0，
。
综上所述，k的值为。
点评 要注意对有解、无解的分析。
四、探讨2：“增根”与“无解”的区别
例题4 （江苏扬州市中考题）若方程
有增根，则它的增根是()
(A)0(B)1(C)-1(D)1和-1
解 去分母，得
当x=1时，6-2m=0，m=3；
当x=-1时，6=0，方程①无解。
所以选B。
点评 本题容易错误地选D。要注意到使最简公分母为零的未知数的值，同时是所化整式方程的解才是增根。
例题5 方程
会产生增根，试求k的值。
解 去分母，得
2(x+2)+kx=3(x-2)。
化简为：
。
当x=2时，k=-4，方程会产生增根；
当x=-2时，k=6，方程会产生增根；
当k=1时，整式方程无解。
所以k=-4或6。
点评 由于公分母是(x-2)(x+2)，要使方程产生增根，公分母必是0。此时x=2或x=-2。
五、探讨3：“有增根”与“求增根”的区别
例题6 （四川巴中市中考题）如果方程
有增根x=1，则k=＿＿。
解 去分母，化简得：
代入x=1，得k=1。
点评 没有必要再代入x=-1。
例题7 （天津市中考题）若关于x的方程
有增根，则a的值为＿＿。
解 去分母，化简得：
代入x=1，得a=-1。
代入x=-1，得a=1。
综合得a=-1或a=1。
六、探讨4：“分式方程只有一个实数根”与“整式方程只有一个实数根”的区别
例题8 （湖北荆门市中考题）当k的值为＿＿时，方程
①只有一个实数根。
解 去分母，化简得：
当△=4+4k=0时，则k=-1。
而当k=1时，k=3，
此时，由方程②得
从而x=1，x=-3，
当x=-3时，k=3，满足方程①。
当x=0时，k=0，
此时，由方程②得
，
从而x=0，x=-2，
当x=-2时，k=0，也满足方程①。
从而k的值为-1、3、0。
七、探讨5：“分式方程的解”与根的取值范围的联系
例题9 若关于x的方程
的根大于0，试求a的取值范围。
解 去分母，化简得：
依题意有
，得到a的取值范围是a＜2且a≠-2。
点评 满足a≠-2是容易忽视的地方。
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