基于“命题联想系统”的数学练习设计，本文主要内容关键词为：命题论文,数学论文,系统论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学练习设计是每一位数学教师必备的专业基本功，也是提高数学练习有效性的前提与基础.基于“命题联想系统”的数学练习设计，能有效促进学生将数学知识系统化、简约化、集成化、模块化，因而能逐步完善学生的数学认知结构.
之所以会关注并研究“基于命题联想系统的数学练习设计”问题，是缘于受“数学”的两个定义的启迪.
关于“数学”，《义务教育数学课程标准（2011年版）》开宗明义的第一句话是：数学是研究数量关系和空间形式的科学.这个定义足以统摄基础教育阶段的所有数学内容，因而在数学教育教学领域里最具权威性，也最有影响力.
自上世纪90年代以来，另一个关于数学的定义开始逐渐流行开来，并被越来越多的数学研究者和数学教育工作者所认可和接受，即数学是研究模式的科学.人们虽然可以将这个定义扩展为：数学是研究数量关系与空间形式的模式的科学，但似乎“数学是研究模式的科学”更加直截了当地揭示了数学学科的本质.正如徐利治先生所说：数学并不直接研究实际对象本身，而是舍弃实际对象质的研究，从量的关系上作形式化的描述和刻画.这种概括地或近似地表述出来的数学结构，就是数学模型.
确实，对研究对象作质的研究是物理、化学等学科的事，数学只研究对象的量的关系，并概括地表述为一种数学模型.例如，自然数是研究数（shǚ）数过程的数学模型，加法是研究合并与添加的数学模型，乘法是同数连加的数学模型……这样的例子不胜枚举.
那么，对数学练习设计的研究是否也可以从数学模型的高度来审视与把握呢？我们认为，通过系统的题组模块练习，可以让学生从练习中抽象出更上位的数学模型.而“命题联想系统”就是这样一个通过构建数学题组模块，促进学生的数学认知结构模块化、集成化的有效手段和工具.
二、何谓“数学命题联想系统”
什么是“数学命题联想系统”？我们解数学题往往是不断地转换，由题A想到题B，由题B想到题C……通过联想，把两个或多个命题按照一定的需要联系在一起，深深地印刻在头脑中，就形成了一个认识结构——命题联想系统.①这样的认知结构是数学所特有的，并具有显性化和算法化的特点.如果说解题模块具有基础性和程序性特点，能够使我们的思维更具规律性的话，那么命题联想系统则具有思维的广阔性和开放性（但又是具有可操作性的）.
对于学生来说，命题联想系统是通过不断内化而形成的数学认知结构；对于教师来说，命题联想系统则是基于对数学知识结构的深刻认识而形成的一种命题方法.基于命题联想系统的题组模块练习，能引导学生对数学知识的理解由此及彼、由表及里、由浅入深、再深入浅出，从而提高练习的效能，达到将相关数学知识融会贯通的目的.
三、“数学命题联想系统”的应用
根据知识点在数学知识体系中的地位和作用，有的知识属于核心知识，有的属于非核心知识.基于命题联想系统的数学练习设计通常都是围绕核心知识展开的.下面以“行程问题练习课”的设计与实施为例，具体谈谈如何运用数学命题联想系统进行练习的设计.
例题：甲乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，4小时后两车相遇.A、B两地相距多少千米？
显然，“行程问题”的核心知识是：（
+
）t=s.这也是行程问题应用题最基本的数量关系.根据甲乙两车的速度和及相遇时间，可以求出路程：（72+48）×4=480（千米）.基于核心知识，我们可以展开不同层面的命题联想.
（一）问题联想
1.师：刚才根据速度和与相遇时间，我们求出了路程；如果已知路程，我们还可以求什么呢？
生1：可以求相遇时间.
生2：也可以求甲车的速度或者乙车的速度.
教师导出题组模块（Ⅰ）：
（1）甲乙两车同时从相距480千米的A、B两地相向开出.甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，几小时后两车相遇？
（2）甲乙两车同时从相距480千米的A、B两地相向开出，4小时后两车相遇.甲车每小时行72千米，乙车每小时行多少千米？
（3）甲乙两车同时从相距480千米的A、B两地相向开出，4小时后两车相遇.乙车每小时行48千米，甲车每小时行多少千米？
2.在学生解题（列式略）的基础上，再引导学生归纳.
师：刚才这4道题，求的是4个不同的问题，比较一下它们的解法，你发现了什么？
生：它们的等量关系是一样的，都是（+）·t=s.
师：所求的问题不同，为什么等量关系却是一样的呢？
生：因为所求的4个问题是同一个等量关系中不同位置上的量，未知量的位置变了，但等量关系还是同一个.
师：因此，我们要学会在“变中找不变”，从而将复杂的问题简单化.
[命题联想点：通过“如果已知总路程，还可以求什么”的追问，引导学生展开联想，导出题组模块（Ⅰ）.这既让学生感悟到相关联的四个量，根据其中任意三个量，都可以求出第四个量，又在变式的基础上，让学生概括出其基本的等量关系没有变.这种“变中找不变”的数学思想，是设计题组模块练习的基本思路，能让学生从中感受到题组模块内在的规律，感受到数学的简约.]
（二）条件联想
师：这4道题不仅等量关系一样，而且都是“同时”出发，并且最后都“相遇”了.但是，日常生活中的行程问题一定都是“同时”出发，并且最后都一定会“相遇”吗？
生：不一定.
师：展开你们丰富的想象，还会有些什么情况呢？
生1：可能一个先出发，另一个后出发.
生2：可能两车没有相遇，还可能相遇后又继续行驶.
师：根据大家的想象，也可以将题目中的条件进行改变.
教师导出题组模块（Ⅱ）：
（1）甲乙两车同时从相距480千米的A、B两地相向开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，几小时后两车还相距120千米？
解：设x小时后两车还相距120千米，
（72+48）x=480-120
（2）甲乙两车同时从相距480千米的A、B两地相向开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，几小时后两车又相距120千米？
解：设x小时后两车又相距120千米.
（72+48）x=480+120
（3）甲乙两车同时从相距480千米的A、B两地相向开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米，几小时后两车相距120千米？
解：设x小时后两车相距120千米.
（72+48）x=480+120
（72+48）x=480-120
师：从“还相距”到“又相距”，再到“相距”，一连三变，但什么没有变？
生：等量关系没有变，还是（+v）t=s.
师：是的，虽然条件有所改变，但我们要善于在变中找不变，不变的就是其中的规律.
[命题联想点：以“是否相遇”为联想点，展开条件联想，仅仅一字之差，便导出了题组模块（Ⅱ）.这一字之差，既让学生在咬文嚼字中感受到数学的严谨，又让学生通过找寻解法上的共同点，感受到数学题组模块“万变不离其宗”的内在魅力.]
（三）等价联想
师：前一题组中的两车是“未必相遇”，有时候，两车也可能是“未必同时出发”.
出示题组模块（Ⅲ）：
客车和货车分别从相距580千米的甲乙两地相向而行，客车每小时行78千米，货车每小时行48千米，（
）.货车行了几小时后与客车相遇？
师：两车相遇了吗？
生：相遇了.
师：两车是同时出发吗？
生：看不出是不是同时出发的，因为还缺少条件.
师：是的，那就请根据下列方程补条件.
解：设货车x小时后与客车相遇.
（78+48）x=580-78×2.5
师：方程中的78×2.5表示什么？
生：表示客车单独行驶2.5小时的路程.
师：根据上面的方程，选择下列合适的条件，将题目补充完整.
①客车先行2.5小时.
②货车晚行了2.5小时.
③两车同时出发，客车中途停了2.5小时.
④两车同时出发，货车中途停了2.5小时.
生1：选择条件①，因为78×2.5表示客车先行了2.5小时.
生2：还可以选择条件②，因为客车先行2.5小时，也就是货车晚行2.5小时.
师：是的，先与后是相对的，只是换了个说法而已.
生3：还可以选择条件④，因为货车中途停了2.5小时，换句话说，就是客车单独行驶了2.5小时.
师：真好！学数学，常常要学会“换句话说”，学会透过现象抓住问题的实质.这样，我们就可以多题一解，就能把书越读越薄.
[命题联想点：围绕“是否同时出发”这个联想点，展开等价联想，即客车先行2.5小时就是货车晚行2.5小时，或货车中途停了2.5小时，导出题组模块（Ⅲ）.因为三个条件是等价的，所以能够多题一解.在引导学生如何“把厚书读薄”的体验中感受到数学思维的力量，感受到厚与薄的辩证关系.]
（四）情境联想
师：下面这组题变得有些面目全非了，请看！
教师导出题组模块（Ⅳ）：
（1）一个水池能容水72吨，两个进水管同时向池内注水，A管每小时注水4吨，B管每小时注水5吨，多少小时注满全池？
（2）学校买20套桌椅花了2400元，每张桌子75元，每把椅子多少元？
（3）师徒两人共同加工48个零件.徒弟先做了2小时，每小时做6个，然后和师傅一起做.师傅每小时做12个，还需多少小时才能完成任务？
学生列式后，教师组织反馈.
师：这几道题是行程问题吗？
生：是行程问题.
师（故作不解状）：怪了！难道是学校的桌子、椅子会走路？还是师徒加工的零件会走路？（生皆笑）
生：都不是，而是它们的等量关系和行程问题是一回事.
师：是的，表面上看，这组题所讲的事情与行程问题风马牛不相及，但是，不管题目所讲的事情如何变化，只要数量关系不变，它们其实是同一类问题.这就叫：换汤不换药——
生（齐）：还是那一套！
师（追问）：是哪一套？
生1：还是（+）t=s.
生2：不一定是（+）的和，可以是单价的和，也可以是工作效率的和.
师：是的，那一套是一个“模式”，我们还可以进一步写成：（a+b）c=d.孩子们，数学题目是做不完的，我们只有善于联想，触类旁通，既能举一反三，又能举三反一，才能抓住问题的本质.这样，我们就能把看似不同的题归结为一类题，不仅能一题多解，而且能多题一解，进而把书越读越薄，越学越轻松.
[命题联想点：跳出“行程问题”的具体情境，通过情境联想，导出题组模块（Ⅳ）.用情境的变化反衬和凸显出其不变的部分——数量关系；让学生感受到，不管具体情境如何变化，只要数量关系不变，它们就是一回事，是同一个模式、同一类问题，进而能从模式和数学模型的视角感受到数学是研究模式的科学.四个题组模块之间也因此而充满了内在的张力.]
基于命题联想系统的数学练习设计，通常要围绕核心知识进行联想——如问题联想、条件联想、等价联想、情境联想等.通过联想，展开核心知识的各种变式，在变式训练的过程中，引导学生梳理知识点，前后穿成线，左右连成面，上下融为体通过点、线、面、体，将看似零散的习题组成一个个题组模块，进而在引导学生不断将数学知识简约化、模块化、集成化的过程中，逐步完善自己的数学认知结构.
显然，基于命题联想系统的数学练习设计的价值并不仅仅局限于教师的教学设计或作业命题，更具价值的是，要在课堂教学的具体进程中引导学生参与“命题联想”的过程，通过参与知识的建构过程，能把数学的“知识结构”内化为个体的数学“认知结构”，能培养学生数学建模的意识与眼光，养成数学的思维方式，提高学生的数学素养.
①陈永明.数学习题教学研究[M].上海：上海教育出版社，2010.