在高中微积分教学中培养学生问题意识，本文主要内容关键词为：微积分论文,培养学生论文,意识论文,高中论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在比较我国与西方发达国家的数学教育时，人们的结论差不多都是：中国学生数学基础扎实，但问题解决能力不强，特别欠缺的是问题意识和创新精神；发达国家（特别是美国）学生基础不好，特别是运算能力、逻辑推理能力不强，但他们的动手能力强，特别是问题意识、交流能力很强.这样的结论从一定角度看可能是对的（实际上，美国学生也不都是运算能力、逻辑推理能力弱）.我们需要更深入地思考的是：如何看待我国数学教育的现状？如何借鉴国外的教育经验？
因为深度参与我校“中美高中实验课程项目”的管理和数学教学工作，与美国高中数学教师的长期直接接触、使用美国原版教材进行AP课程教学实践，使笔者对美国高中数学教育有了直接深度接触的机会，从切身感受中得到启发，也引发了许多思考，使自己对我国高中数学课程及其教学的看法逐渐清晰.笔者的基本观点是，美国的数学课程是先进的，美国数学教师的教学思想也是值得我们好好学习的.我国数学课程需要大力改革，在传统初等数学内容上，我们应该减少重复训练，因为这种训练所得到的“基础扎实”代价太大，而且用处不大；要加大以微积分为代表的高等数学内容的分量，并以这些内容为载体，培养学生的问题意识，发展他们的问题解决能力，进而培育他们的创新精神.
本文以自己的AP课程教学实践为基础，在呈现教学中的一些做法的过程中，就如何培养学生的问题意识阐述一些观点.
一、培养阅读教材的习惯
笔者认为，培养学生的问题意识应从培养阅读教材的习惯开始.这也是培养学生自主学习习惯的第一步.
因为在义务教育阶段受到“应试教育”的长期影响，相当多的学生不喜欢读教材.他们习惯于看习题集详解，通过模仿、看解答等方式来解决作业中遇到的问题.这样，虽然解答了大量题目，但学生对概念并没有真正理解，对知识的来龙去脉也不清楚，数学思维也没有受到真正的锻炼，而且还养成了疏于思考、找捷径完成作业的不良习惯.因此，笔者认为，要培养学生的问题意识，必须注重阅读教材，让学生首先学会在阅读教材的过程中发现问题、提出问题，通过对阅读中发现的问题的解决而促进概念的理解和掌握.
在教学实践中，笔者通常会安排读、问、议、再问四个环节.即，学生先阅读教材，向同伴提出疑问，经过讨论而明确问题后，再提出问题.这里的同伴通常采用同质分组，相邻的组必须是异质的，以保证学生合作学习时临近的组之间可以互通有无.当然，教师要在学生阅读教材的过程中，指导他们掌握阅读、提出问题的方法.例如，关键词、关键句在哪里？概念是如何定义的？涉及哪些已经学过的知识？反映了这些知识的怎样的关系？为什么要这样定义？换个方式行不行？能用哪些例子来解释等等.而且要鼓励学生不轻易放弃自己的思考，在似懂非懂、似是而非中明确问题所在.
例如，极限定义一节，学生在阅读后一般总会提出：“为什么要用ε和δ语言定义极限？”显然，这样的问题太笼统，说明学生的理解是表面的，还没有进入到概念的实质.为此，笔者不是马上讲解，而是让学生进行小组议论，自己通过巡视、倾听，注意搜集学生的问题以及解决情况，有时也适当点拨、参与议论，这样既使学生获得了进一步明确问题的机会，也使自己知道了学生的疑点所在，使后续教学做到有的放矢.“再问”环节是各学习小组分别提出问题，这是小组内的共性问题.此时是每一个小组面向所有学生和教师提问题.这一环节中，笔者注重让学生提出问题的同时，还让他们自己来回答问题，使之成为学生之间的问答.这个过程中，教师的激励、诱导很重要，要使学生由无疑可问到敢于质疑、善于质疑，这是培养问题意识的重要一环.教师要善于捕捉学生之间有价值的问答，及时给予肯定与激励，进一步激发学生思维的火花，从而生成新的问题，使学生在问答之中不断深化概念的理解，并获得积极的情感体验，营造奋发向上、互相分享、互相鼓励的积极快乐的学习氛围.本节课中，通过学生互问互答产生了如下问题：
怎样用代数语言表达x无限接近于α？
怎样用代数语言表达f（x）无限接近于L？
如何说明函数f（x）在x无限接近于α的过程中，能够任意地接近于L？
该怎样理解“任意给定”？
该怎样理解ε和δ的关系？等等.
显然，这些问题是学生阅读教材并分析极限定义的关键词后，对刻画极限定义所需要的距离、任意性，相对确定性产生的多值问题，以及自变量的变化对函数值变化的影响、“总存在”的那个正数与任意给定的正数之间的关系等进行深入思考后提出的，这些问题的提出表明学生对极限概念内涵的理解在不断深入.
其实，“如何用代数语言表示x无限接近于α”涉及两个方面的问题，一是从“接近于”α，说明它们之间有差距，该怎样表示这一差距？二是如何表示“无限接近”？前一个问题自然是用绝对值表示距离，不过这是一个学生做得到但不一定想得到的问题，实际上这是数学思想方法的问题.第二个问题，要把“无限接近于α”转化为“两者之间的距离可以无限小”，再转化为：“对于给定的δ（δ＞0），x总位于开区间（α-δ，α+δ），即0＜|x-α|＜δ，这里|x-α|＜δ只表示α-δ＜x＜α+δ，而0＜|x-α|则要求不包含x=α.”这是很难理解的.
最终，学生要从图象、数值、代数符号、语言等四方面完成定义的描述.从图象上看，动点横坐标x到定点α的距离在某一个范围内时，就能保证函数值f（x）到定值L的距离可以任意小.从数值上看（就教材中的实例说明），横坐标x（用具体数值说明）到α（用具体数值说明）的距离在某一个范围内时，就能保证函数值f（x）到定值L的距离可以任意小.从代数符号上看，对于任意给定的一个小的正数ε，我们总能找到δ＞0，当0＜|x-α|＜δ时有f（x）-L|＜ε从语言描述上看，对于任意给定的一个小的正数ε，我们总能找到δ＞0，使得当x在区间（α-δ，a+δ）内且x≠α时,f（x）在区间（L-ε，L+ε）里.
随着学生对函数极限定义认识的深入，笔者再通过问题引导学生思考：“在ε-δ定义中，你怎样理解ε‘任意给定’和δ‘存在’的对应关系？”使学生认识到，ε-δ方法是用“静态”的定量形式描述一个动态的极限过程.“对于一个任意给定的正数ε，
δ（ε）＞0，当0＜|x-α|＜δ时，有|f（x）-L|＜ε”，形式上是一个“静态”的描述，但当ε趋向于零时，总会有与之对应的δ存在，ε与δ的一系列“静态”对应从本质上刻画了一个动态的极限过程.可见正数ε的“任意”和δ的“存在”的对应关系，反映了当x趋近α时，函数f（x）趋近L的静态与动态的关系过程，巧妙地解决了用静态表达动态的难题.
二、鼓励学生多问“为什么”
学生学习定积分会感觉其定义繁琐，不容易看到其中蕴涵的数学思想方法.笔者在教学中鼓励学生思考一系列的“为什么？”在不断解决这些“为什么”的过程中体会变量求和思想.
以“求曲边梯形的面积”为例，定积分的定义实际上是通过“四个步骤”，把“不能求的面积”转化为“能够求的面积”.其中，关键是第一步的“分割”和最后一步的“取极限”.这样，针对这两个步骤提出相应的“为什么”：“为什么要分割？”——将一个曲边梯形分为若干个小曲边梯形，以便用矩形面积近似代替，进而能求面积，并使误差不那么大；“为什么要取极限？”——当分割无限加细时，小曲边梯形与替代的矩形无限接近，面积的误差无限缩小，总量近似值的极限即为曲边梯形面积的精确值.在解决这些“为什么”的过程中，学生对于“以直代曲”、“以局部研究整体”、无穷分割等思想的理解逐步加深，并在潜移默化中对微积分思想的奥秘和力量有所体验：它使人们的思维进入到无限小分析领域，研究的问题从有限到无限，由静止到运动，由常量到变量，由孤立到联系，从而使数学进入到一个全新的时代，也使数学在运动变化的真实世界中发挥了前所未有的作用.类似地，二重积分如何解决？——无非是变量从一个到两个，问题的形式和解决的方式是相同的；三重积分呢？——又多一个变量而已.如此，从一重积分到二重积分、三重积分，就形成了共同的思想方法基础.不仅如此，对于两类曲线积分和两类曲面积分，也可以继续沿用这样的思想方法，顺利地引出相应的定义.至此，七类积分的全貌已有，教师再引导学生反思并归纳出积分的本质——对可变量的求和，就使得学生从一系列的“为什么”的解决中真正体验到定积分的真谛.
三、引导学生从错误中提出问题
在学习微积分过程中，学生出现的许多错误都是思想认识上的问题，这是因为理解微积分的知识需要较高的辩证逻辑思维水平，这样的认识错误与他们在初等代数、几何中出现的错误有很大的不同.因此，无论是在理解概念中出现的问题还是在解题中出现的错解，都是宝贵的学习资源.笔者特别注意把这些问题和错解收集起来提供给学生讨论，让大家找出存在的问题及其原因，这是培养学生问题意识的契机.
当学生看到不同的答案时，自然就会思考“到底哪个是错误的？”“哪里出现了错误？”“为什么会出现错误？”等等.此题的错误在于对牛顿-莱布尼兹公式的适用条件没有理解，没有把握住其适用条件所反映的分类思想是出现错误的关键.学生从自己的错误中不仅再一次领会了牛顿-莱布尼兹公式的适用条件，还学习了如何从错误中得到启发而提出新的问题，这也是培养学生问题意识的捷径.
四、开展研究性学习活动
开展研究性学习活动对于培养学生的问题意识是非常有效的.我国在新世纪开始的课程改革也特别提倡研究性学习，但由于应试教育愈演愈烈，研究性学习形同虚设.另外，因为对这一学习方式不太熟悉，所以也缺乏有效的教学手段.我们采取的方式之一是撰写小论文，通过这一活动来培养学生的问题意识，逐步形成独立思考的习惯.这一活动不追求在短期内出多少成果，而是重在培养学生学以致用、用数学知识去探讨、发现、研究一些数学问题或实际问题.我们强调文章内容的“原创性”，在学生经历思考、借鉴、整合而形成文章的过程中，体现出活动的价值.
考虑到学生所学习的教材是全英文教科书，他们的英文水平相对较高，故每届学生都要求用英文撰写研究性学习成果.布置该作业之前，先向学生说明研究性学习的必要性，并就如何实施作必要的指导，包括撰写小论文的目的、格式、如何选题、如何引用参考资料等，以此激发学生的兴趣、主动性和创造性，使学生体会探求知识的神圣感，充分认识养成严肃认真的科学态度的重要性等.另外还提醒学生注意，选题要注意从易处着手，文章短小能说明问题即可.日常学习遇到的数学问题是开展研究性学习取之不尽的源泉，由于其出处即是学生学习过程中遇到的问题，对学生有较大的吸引力.
指导学生修改论文是提高研究性学习效益的重要举措.学生上交论文第一稿时，笔者通常都会在充分肯定其努力与付出的同时，指出其在科学性方面和语言表达方面存在的问题，然后让学生自己反复修改论文.每一次修改，对学生都是一次历练，是一个思维和表达能力的培养过程.当然，选什么问题？为什么选？选后怎么做？如何更清楚、准确地阐述研究过程和主要观点？这一系列的问题对学生而言，都是问题意识养成的必经之路.
最后，用爱因斯坦语录结束本文：“提一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新问题，新的可能性、从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”培养学生的问题意识是每一位数学教师的责任.