单调回归模型及其在退化数据中的应用，本文主要内容关键词为：单调论文,模型论文,数据论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212.7
引言
在产品的退化数据的研究中(Lu and Meeker(1993))提出研究退化方程
(1)
其中
是第i个产品在时刻
某一特征退化量，α是固定参数，
是随机参数。模型(1)中的η(t,α,β）常常称为退化轨道，只有极少数产品的退化轨道能够根据某些物理的定律得到，而大多数情况下人们是不知道的，简单地，有时用线性的退化轨道来近似，比如随机斜率的退化模型(Zhuang(1994))
y=α+βt+ε
利用单调回归，可以提出更加灵活的模型
y=α+βm(t)+ε(2)
其中m(t)是一个单调函数，α，β可以是随机的，α反映着初始的观察，β控制着退化的斜率。
有关限制的回归，如单调，凸函数等限制，人们在实际也经常遇到，比如儿童的生长曲线，单调变换等，有关这方面的研究人们也提出许多方法(Ramsay(1988),Kelly and Rice(1990),Mammen(1991))，一般都是将单调回归化为有限制的最优化问题。Ramsay(1998)提出了一种广泛的单调函数类
，建议从这种函数内中选择一个函数来近似回归。本文我们从这一函数类出发，假定其中的ω(s)是一个有固定结点的样条函数，为了防止模型过分地拟合数据(overfitting data)。我们用惩罚最小二乘(penalized least square estmate(PLSE))估计其中的未知参数，并得到了参数估计的强相合性及其依分布收敛于正态等大样本性质。
本文第二节阐述模型的由来；第三节是模型参数的估计及其性质；第四节计算方法；第五节给出模拟例子及该模型在金属疲劳试验中的的应用。
一、模型的由来
二、模型的参数估计及其性质
三、计算方法
（一）结点的选择
给定结点的数目，建议选择均匀结点。Ruppert,D.(2002)详细研究一般惩罚样条回归结点的选择，连续的或单峰的回归函数只需要较少数目的结点；对于非连续回归函数，常常需要较多数目的结点，最好在非连续点有个结点。另外选择结点还应该保证未知参数的个数不超过总自由度，即所有的未知参数都是可估计的。模型(4)中的
是单调回归函数f的两阶导数与一阶导数的比，即使ω(s)是不连续的，而估计出来的单调回归函数也是连续二阶可导的。模拟研究发现ω(s)的仅取一个结点的一次样条函数就能得到很好的近似效果，这样未知参数的个数也在能够接受的范围。
（二）光滑参数λ的选择
光滑参数λ的选择可以通过交叉验证(cross validation)CV的方法。即：最小化
第一步为最优化解给了一个初值，第二步可以用一些标准的软件来求，比如MATLAB中的fminsearch函数。为了提高效率，也可以用改进的Gauss-Newton迭代法来求。
四、模拟与实例
考虑如下非线性单调回归
（一）金属疲劳的例子
金属裂缝的增长的例子(Ln(1993))，在这个实验中有21个样本，每个样本初始裂缝长度都是0.90（单位：英寸in)，当裂缝增加到1.6时我们认为失效发生。Lu(1993)建议用如下非线性混合模型
表1 模型(10)和(11)所预测出的产品寿命
按照Lu(1993)的模型(10)我们用非线性的最小二乘估计，计算得到每产品的退化轨道如图2(a)（图略），预测出每个产品的寿命如表1第一行。在实际中，有关产品的退化，经常遇到由有关的专业知识也无法找到产品的退化轨道模型，有时既使能够提出一个退化轨道，也常常是刻画产品某一方面的原因所引起的退化，而物质的退化常常是受多方面的原因，要找到一个全面刻画产品退化的模型是十分困难的，常常需要用一个经验模型来近似。由于产品的退化都是单调的，不可逆转的。我们可以用前面的单调光滑的方法来估计产品的退化轨道，以求得到产品退化的一个经验模型，由模型(7)取
由(11)式得到的金属疲劳的退化轨道，为了与物理模型相区别，称为经验模型或统计模型，计算结果如图2(b)（图略）。
回归曲线与y=1.6的交点对应的时间点称为产品的寿命如图2中的星号。结果如表1。由(10)式(11)时预测出的21个样本的平均寿命，中位数，样本标准差的比较如表2。
表2 模型(10)式和(11)式所寿命预测的比较
模型
均值 标准差中位数
(10)式0.12420.02370.1776
(11)式0.12560.02570.1172
（二）结果分析
注1 经验模型与物理模型(Lu(1993))在区间[0,0.12]是十分接近的如图，经验模型对平均寿命的估计(0.1256)和物理模型对平均寿命的估计(0.1242)十分接近。
注2 模型(7)中的
实际上是对回归函数二次导数与一次导数比值的一种估计，由模型7来看即使是一个不光滑的样条函数。得到的单调的回归函数也可以是光滑的，模拟研究发现，常常一次样条就够了。另外，也可以用其它样条基，如B样条基。对于本例计算结果相差不是太大。
注3 对于本例参数λ对估计的影响不是很大，这是因为模型(11)中
的估计近似地等于0。本文用的是λ=10。
注4 本文得到的经验模型只是在物理模型难以得到的情况下的一种选择，若能够得到物理模型我们还是建议使用物理模型，因为物理模型的外推相对还是可靠的。
致谢 感谢审稿人提出的建设性的意见。