几何概型中“殊途各异”问题的研究，本文主要内容关键词为：几何论文,殊途论文,概型中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在新课程的推进过程中，教师应注意培养学生的“创新精神”，而创新中必不可少的就是学生的“发散思维”.从小学开始，我们就经常向学生传达一种理念，那就是对于一道数学题目，学生在求解过程中尽可能多思考几种方法，这种“一题多解”的训练能很好地训练学生的发散思维能力.事实上，“一题多解”也就是“殊途同归”在数学领域的反应.但在讲授新课程高中数学必修3概率中的几何概型问题时，我们偶尔会遇到这样的情况：当采用不同的解题思路时，学生会得到截然不同的结论，这时学生对应用几何概型解题的认知就出现了困难，并让学生感到困惑，这也同时产生了教学上的难点.如何向学生解释这种“殊途各异”的现象，让学生理解这种在数学史上称为“贝特朗奇论”的现象，对学生的发散思维的培养、创新能力的提高有着重要的意义，所以解决几何概型中的“殊途各异”的现象就成了摆在所有教师面前的一个课题，同时如何避免因为此类“殊途各异”问题给平时教学带来麻烦也是需要所有教师解决的问题.下面我们就从“贝特朗奇论”开始我们的讨论.
贝特朗奇论：所谓贝特朗奇论的提出是因为在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答.然而Joseph Bertrand在19世纪末提出的一个问题改变了人们的想法.他在巴黎出版的《概率论》一书中列举了一个会产生不同结果的几何概型问题.他对几何概型的不确定性提出的批评大大推动了概率论向公理化方向的发展.
实例1（贝特朗奇论）：
问题：在半径为1的圆内随机取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形的边长
的概率等于多少？
那么，贝朗特奇论是如何产生的呢？
我们看到在同一问题中之所以有三种不同的答案，是因为我们在取弦时采用了不同的等可能性假定.在第一种解法中，学生假定端点在圆周上均匀分布；第二种解法中，学生则假定弦的中点在直径上均匀分布；第三种解法中，学生又假定弦的中点在圆内均匀分布.不同的等可能性假定使得各个解法中的概率空间变得不同，进而产生了不同的结果.
我们用计算机模拟了这三种假定中弦的中点和弦本身的分布情况（三种情况各进行了5000次模拟实验，得出下面的结果）.如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布.那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了.虽然我们看到的图像中弦的分布基本上是均匀的，但我们可以看到前两种假设情况下的弦的中点在圆心处有不同程度的集中分布情况，只有解法3中的弦的中点在圆内才是近似均匀分布的.它们的分布情况如下.
当然像“贝特朗奇论”这样典型的“殊途各异”问题在实际教学中是不容易见到的，此类问题并不会在所有的几何概型问题中出现，即使出现了有时也是很难被发现的.比如下面实例中所举的问题中解法1和解法2甚至会给我们带来“一题多解”的印象.
实例2：在圆周上任取三点，求三点落在同一半圆上的概率.
其中A、B、C在圆O同一半圆上的情况，即∠ABC、∠ACB、∠BAC中有一个角为钝角的情况：
由此我们可得到
当然上面的两种解法在本质上是相同的，所以得到的结论也是一样的，但这种“一题多解”仅仅是表象，如果我们建立不同于解法1和解法2的等可能性假设，那么我们就会发现这实际上是一道“殊途各异”的几何概型问题.
解法3：如图3，我们假设在圆周上任取三点构成三角形，该类三角形的重心在圆内均匀分布，因为圆周上任意三点在同一半圆上的充要条件是它们所确定的三角形的重心到圆心的距离不小于圆的半径的三分之一，所以如果将事件“三点落在同一半圆上”记为A，则
表示事件“三点不在同一半圆上”.
两种不同结论产生的原因分析：
以上三种解法之所以产生两种不同的结果是因为我们所用的“均匀分布”的含义不同，解法1和解法2中的假设是所取的点在圆周上是均匀分布的，而解法3是假定构成三角形的重心在圆内均匀分布，在不同的假设前提下结论虽然不同，但都是正确的.
综上所述，我们就能了解到当我们面对几何概型问题时要时刻关注等可能性假设的不同会不会带来“殊途各异”的情况，不能仅仅关注在同一种等可能假设的前提下用多种方法解决问题，造成“一题多解”的假象.如果要在问题中避免因为等可能假设不同而造成的“殊途各异”问题，那么最好的办法就是像下面的实例3一样将不同的等可能性假设作为问题的一部分明示出来，从而解决问题.
实例3：如图4，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°（易错）.
（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；
（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.
解（1）：设CM=x，
则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.
我们看到在此题的两问中，第一问的等可能性假设是“点在线段BC上均匀分布”；第二问的等可能性假设中均匀分布实际上是角度，所以在第二问中角度变化相同的大小，在BC上点M移动的距离是不同的，因此两种不同的等可能性假设会导致的结论不同.
从上面的三个例题可以看出，在几何概型的问题中，从不同的角度看术语“随机”、“等可能性”、“均匀分布”等会产生不同的概率空间，从而导致产生不同的但都正确的结论，这就要求我们在讨论几何概型的问题时更关注“等可能性假设”是否等价，在出题时最好明确指明各种术语的含义，避免因不同的实验来产生不同的概率空间.对日常教学来说，教师要引导学生将几何概型问题关注的重点从追求一题多解转变到分析产生不同结论的根源上，也就是说要引导学生去思考几何概型问题如果产生了不同的答案其原因是否是“本质上这些问题的出发点就是不同的”.这样学生才有可能真正理解几何概型问题“殊途各异”的含义：对于不同的问题“殊途”当然“各异”.