期权的日历差套期策略和单一期权策略的数学分析，本文主要内容关键词为：期权论文,策略论文,数学分析论文,日历论文,差套期论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F8 文献标识码：F
引言
期权的交易策略是非常丰富多彩的，它是期权投资者必须掌握的一门专业性很强的技艺，投资者在对市场作预测的基础上正确运用期权策略，才能获取预期的资本收益，因此，对期权交易策略从数学上进行分析，无论理沦上还是实务上无疑都是十分必要的。近年来，Choi and Ouyang(2000)讨论了买入期权(call option)的Delta套期保值；Lawrance(1998)介绍了在波动的市场中如何利用期权策略获利；并分析了不同策略的风险；Maria(1999)讨论了如何利用期权作为投资工具以及利用期权对证券投资组合进行套期保值。本文研究股票期权的交易策略，主要讨论下列问题：①建立日历差(Calendar Spread)套期策略和单一期权(Naked Option)策略的数学模型。②分析比较上述两种策略。
本文首先讨论下述情形：当期权满期时，某公司（例如A公司）的股票价格和现在的价格相同，例如，现在离开期权满期日较近，只有7天，预计在7天后A公司股票价格与现在价格相同。在这一估计下，单纯做股票交易的投资者既不会买进A公司的股票而在7天后抛出，也不会卖出A公司的股票而在7天后购回，因为投资者预期这两种投资都无法带来资本收益。然而，如果运用期权策略，只要投资者对A公司股票价格走势估计无误，在7天后完全能够获得资本收益，日历差套期策略和单一期权策略是其中的两种期权策略。那么，如果期满日时股票价格S*等于现时价格S，即S*=S，这两种策略是否可以带来正的投资收益？哪一种策略可以获得较高的资本收益呢？本文在考虑当股票价格发生变动的情况下，即S*≠S，哪一种策略可以获得较高的资本收益。
一、日历差套期策略
日历差期权策略的操作为：估计期权满期时A公司股价与现时股价相同，则投资者于期初同时买进和卖出以A公司股票为标的资产(Underlying Assets)的两个不同的买入期权(Call)，两者的满期日(Expiration Date)不同，一近一远，买进满期日远的Call，卖出的是即将到期的Call，这两份期权的执行价格K(Striking Price)相同，并且等于A公司股票的现时价格S（这种期权称为两平期权(At-the-money Option)，所谓“两平”，是指期权的执行价格与标的资产——股票的现时价格相等，即K=S）。当满期日近的Call到期时，投资者作对冲交易(Reversing Trade)以平仓，即：卖出远期的Call，买进到期的Call。在这一投资中，期满日近的Call到期时，如果A公司股票价格与期初交易时的价格相同，即S*=S，则通过这一日历差套期策略便可获得资本收益。
以下讨论依据Black-Scholes公式：
由于在日历差套期策略中，在初始时无论买进的满期日近的Call，还是卖出的满期日远的Call，其离满期日的时间不会超过一年，亦即t≤1，这样便知道，在(3)式的条件下，(11)式必成立。到此便证明了性质3。
有了性质3，我们讨论日历差套期策略的资本收益。利用Call的价格公式，令：
f(t,h)=c(h)-c(0)+[c(t)-c(t+h)] (12)
其中t＞0,h＞0。(12)式的含义如下：期初时，卖出一个离期满日近的Call，离期满日的时间为t，其价格为c(t)，同时买进一个离满期日远的Call，离满期日的时间为t+h，其价格为c(t+h)。因此，不计手续费，c(t)-c(t+h)为投资者期初的收益。待离满期日近的Call到期时，即t=0时，投资者买进到期的Call，其价格为c(0)，卖出期满日远的Call，其价格为c(h)，不计手续费，c(h)-c(0)为t=0时投资者的收益。所以，(12)式表示在不计手续费的情况下，投资者通过日历差套期获得的资本收益。
当t=0时（亦即满期日近的Call到期时），如果公司股票价格与起初投资时的价格相同，即S*=S=K，那么，很明显c(0)=0，这时，(12)式为：
f(t,h)=c(h)+[c(t)-c(t+h)] (12′)
在(12)或(12′)式中，要注意的是t的值一定很小，例如t=7天，即t=7/365（年），h的值一般为3个月或6个月，即h=0.25（年）或h=0.5（年）。t的值一定很小的原因在于：投资者只可能在一个很短的时期内估计A公司股票价格是否稳定。
性质4 在性质3的条件下，对固定的h，f是变量t的增函数；对固定的t，f是变量h的增函数。
证：将函数f关于t求导，得
同样道理，(14)式右端为正，表明对固定的t，f是变量h的增函数。
性质4告诉我们，如果投资者估计正确，当t=0时A公司股票价格与起初价格相同，即S*=S，那么c(0)=0，从而f(0,h)=f(t,0)=0，所以对任何t＞0和h＞0，总有f(t,h)＞0，亦即日历差套期的收益总大于0（不计手续费），并且随着t的增加和h的增加，f(t,h)也增加。但在实际的操作中t总是很小的，而h也不可能很大，h为3个月（即h=0.25）或h为6个月（即t=0.5）等等。
据此，我们可以得到这样的结论：投资者运用日历差套期策略，如果预测正确，满期日近的Call到期时股票价格等于现在的价格，即S*=S，那么这一策略的资本收益在不计手续费时为：
f(t,h)=c(h)+[c(t)-c(t+h)]
这就是(12′)式，它一定是正值。
例1 设r=6%，σ=30%，股票的现在价格S=40，初始时投资者运用日历差套期策略，h=0.25（即3个月），近期的Call满期时，若股票价格仍为40，即S*=S=40，将相关数值代入Black-Scholes模型及f函数，可以计算得出日历差套期策略的净获利，计算结果见表1。
表1
距离近期Call满期的天数 3
4
7 10
初始时近期Call价格0.434
0.501
0.663 0.792
初始时远期Call价格2.417
2.429
2.465 2.501
近期Call满期时远期Call价格2.380
2.380
2.380 2.380
净获利0.397
0.452
0.577 0.671
若h=0.5（即6个月），其他条件不变，则有表2。
表2
距离近期Call满期的天数 3
4
7 10
初始时近期Call价格0.434
0.501
0.663 0.792
初始时远期Call价格3.370
3.379
3.403 3.428
近期Call满期时远期Call价格3.345
3.345
3.345 3.345
净获利0.409
0.468
0.605 0.709
二、单一期权策略
当投资者估计在未来一段相当短的时间后，股票的价格仍然等于现时价格，也可以采取单一期权策略：初始时卖出满期日即将到临的Call，到满期日买进这一Call，这一Call未必是两平期权(At-the-money Call)，不计交易费，其资本收益为：
g(t)=c(t)-c(0) c(0):max(0,S*-K)
其中，S*是Call到期时股票的市场价格。
现在，我们研究如果股票的价格保持不变，投资者在采取单一期权策略时，先卖后买的Call应该是两平期权(At-the-money Option)，还是实值期权(In-the-money Option)（即Call的执行价格低于标的资产——股票的现时价格，K＜S），或者是虚值期权(Out-of-money Option)（即Call的执行价格高于标的资产——股票的现时价格，K＞S）。
性质5 如果股票价格保持不变，则在单一期权策略中，当Ca11是两平期权时本收益g最大。
证：将资本收益g写为t和K的函数：
如果Call满期日时的股票价格等于股票现时价格，即S*=S，由上面的讨论得出这样的结论：当K=5时，g的值最大，亦即Call是两平期权时，资本收益最大。
三、两种交易策略的比较
例2 与例1的条件相同，现在考虑日历差套期策略的净获利和单一期权策略的净获利。在表3中h=0.25；在表4中h=0.5。
表3
距离近期Call满期的天数 3 4 7 10
日历差套期的净获利
0.397 0.452 0.577 0.671
单一期权的净获得 0.434 0.501 0.663 0.792
表4
距离近期Call满期的天数 3 4 7 10
日历差套期的净获利
0.409 0.468 0.605 0.709
单一期权的净获得 0.434 0.501 0.663 0.792
例2表明当运用日历差套期策略和单一期权策略时，后者的获利比前者多。对此，我们作一般探讨，这就是下面的性质6。
性质6 当股票价格稳定不变亦即S=S*时，Call是两平期权，并且不计手续费，则单一期权的净获利大于日历差套期的净获利，两者之差为c(t+h)-c(h)。
证：单一期权策略的净获利为g=c(t)，日历差套期策略的净获利为f=c(h)+[c(t)-c(t+h)]，所以，两者之差为g-f=c(t+h)-c(h)。由于c(t)作为变量t的函数是单调增加的（性质1），故g-f=c(t+h)-c(h)＞0，即单一期权策略的净获利大于日历差套期策略的净获利。
四、股票价格发生变动的情形
性质4、性质5、性质6都是建立在这样一个假设基础上的：期满日近的Call到期时的股票价格与股票的现时价格相等，即S*=S。如果在这个时期内的股票价格有变动，使得S*≠S，我们来比较单一期权的净获利与日历差套期的净获利，研究何者较高。
在初始时，投资者估计股票价格在一个短时间内稳定不变，买进和卖出的Call都是两平期权，这时S=K以及h和t都是已知的确定值。记
性质7 初始时投资者买卖的Call都是两平期权，股票价格为S，距离近期Call满期日的时间为t，当近期Call满期时，即t=0时，股票价格变为S=S+ΔS，不计手续费。
(1)如果ΔS＜α，则单一期权的净利大于日历差套期的净获利。
(2)如果ΔS＞α，则单一期权的净利大于日历差套期的净获利。
证：单一期权的净获利为：
其中，α是一个预先可以计算的量。