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模糊集框架上的数学结构
模糊集的引入导致数学许多分支的模糊化。这一节仅就有关模糊拓扑学方面作些介绍。
应该指出，扎德所给出的模糊集定义的核心是净隶属度大小顺序这种序关系转化为量值关系，或更明确地，给出一种实数化表示方法，上文已经指出，这种量值化方法常常并不唯一，实际上，两个隶属度甚至不一定都能比较顺序优劣。例如，对于“好房子”的理解，某两所房子可能各有千秋，难以比较好的程度。因此，把隶属函数的值域选作全序集[0，1]仍有局限性，严格地说它应是一个一般的序结构，其两个元素可能不能比较大小，例如抽象代数学中的格L。于是，可把论域U至一个格L上的映射称作L—模糊集，仍简称为模糊集。
从数学上看，把值域｛0，1｝扩充为[0，1]甚至格L， 丰富了子集合的概念。集合论是现代数学的根基，这种根基上的变化，势必影响到许多数学分支的发展。因此，可以把模糊集当做一个能概括更加多样数学概念框架，建立处理模糊现象的确切性理论，即模糊数学。 若将U上全体L—模糊集记作L[U]，论域U中经典子集的全体记作2[U]。那么与在2[U]上展开的经典数学相比，模糊数学是在L[U]这更广的集合框架上展开的。此外，由于L[U]上本身还可从L上自然地继承格的结构， 还可以进一步说，在L[U]上展开的模糊数学的特点是强调序结构的。应当指出，框架从2[U]变为L[U]，其逻辑背景则相应地从二值的形式逻辑变为格值逻辑，后者常常不再保持排中律。
按照近代法国布尔巴基学派观点，数学的基本结构有三，即为代数，拓扑与序。三种基本结构相互渗透、有机结合形成缤纷五彩的数学研究对象。关于序结构与拓扑结构，或者更确切说，格论与拓朴学，其方法与思想上早已相互影响交互作用。 30 年代关于分配格的拓扑表示的Stone定理即是著名的例子。到了50年代末， 法国大数学家厄勒斯曼（C.Ehresmann ）认为具有某种分配性的格应作为广义拓扑空间加以研究。经过他的学生及英国剑桥学派的努力，这种把拓扑与序结合起来的并称为Locale的数学理论已蔚为大观。Locale论是一种格上拓扑学，其特点是无点化，与其直觉逻辑（数理逻辑一大流派）的背景相应，强调构造性方法。另一方面，以模糊性信息处理为背景，在格L 上展开的拓扑学是另一种格上拓扑——模糊拓扑学（或称作不分明拓扑学），其特点是有自然的点状结构与层次结构。两者都是格上拓扑学，但其背景、结构与方法论均有所不同。两者可以互相借鉴，但不能简单平移。事实上，在模糊拓扑中，不少早期的工作是一般拓扑学的平行推广。但这条路走得不远，即遇到很大的困难。例如，沿用覆盖式的紧性定义导致了几乎最简单的模糊拓扑空间却不是紧緻的荒唐结果。现在已经明白，问题出在拓扑学中最基本的邻近结构上。事实上，在模糊集论中，可以很自然地引入模糊点的概
上述结果表明，点x不属于任何一个A[,n]，但却属于它们的并，即x不能“择一而属”，这当然是很出乎意料的结论。
所谓“择一原则”是指若某点或某基本元素“属于”某些集的并，则它至少“属于”这些集合中的某一个。显然，对点和集合的关系，择一原则是很基本的。上述给出“属于”关系，虽然直观而自然，但不满足择一原则，使我们讨论点和集合间的关系遇到了很大困难，这个困难是本质性的，从而导致把建立在属于关系这一结构上的传统数学理论推广到模糊场合的努力遇到严重的障碍。这个问题的解决依赖于能否建立一种结构，它是通常集论中“属于”关系的推广，但又不致于出现上述矛盾。我国数学家证明了，在
重于关系以及在重于关系基础上建立的重域系概念的引入与其公理化描述给出了模糊情况下的邻近构造，这个结果在模糊拓扑学中具有基本意义。因为从一种角度看，拓扑学就是研究邻近构造与邻近关系的数学分支。同时，它揭示出一个出人意料的结论，即常见的领域这类拓扑结构是由集论中择一原则决定的。显然，只有在模糊集这个更广的框架上，才能认识到这一实质。这是模糊集论的逻辑力量之表现。
由于合理的邻近构造的提出， 建立在模糊集上的不分明拓扑学（Fuzzy topology）终于克服了发展道路的严重障碍。我国学者这方面工作奠定了不分明拓扑有点化流派基础，并把厄勒斯曼首创的格上拓扑学推向新阶段。1998年在新加坡世界科学出版社出版我国学者这方面首部系统专著《Fuzzy Topology》。