代数思维及其教学，本文主要内容关键词为：代数论文,思维论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
代数是代数学的简称，是重要的、基础的数学分支.其西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称.原意是“还原（al-jabr）与相消（almuquabalah）的科学”.20世纪50～60年代，一些国家尝试将代数部分内容下放到小学，如美国的新数运动、苏联的早期代数以及我国50年代末“教育大革命”中的教材改革试验等.[1]但此时的小学代数教学研究还处于零散状态，并没有受到世界数学教育改革的关注. 1978年，我国教育部颁发的小学数学教学大纲中首次提出“适当增加代数、几何的部分内容”，此后的历次教学大纲调整，这一基本精神没有动摇.21世纪初新颁布的数学课程标准将“数与代数”设置为独立的学习领域，并对小学代数课程内容作了清晰的表述.2001年12月，国际数学教育委员会第12届会议（ICMI-12）在澳大利亚墨尔本召开，此次会议专门成立了早期代数工作组，将代数的起步教学作为专门的研究领域.这表明早期代数的研究开始走上了国际舞台. 一、算术思维与代数思维 代数是在算术的基础上发展起来的，但它们的思维方法具有质的区别.算术思维的对象主要是数（属于常量）及其运算与拆合.而代数思维的对象则主要是代数式（属于变量）及其运算与变换.如小学数学中，用字母表示数、简易方程、式的相等和同解变形、变量思想的运用等.它们是将数的知识提升到一般化、概括化的水平. 算术思维着重通过数量的运算求得答案，这个过程是程序性的.例如，7+6×3=7+18=25，就是按照四则运算的顺序进行程序化计算的.但在计算7+8=（ ）+2时，小学生大多会认为“（ ）”中应该填13.之所以这样，是因为在算术中“=”被看作运算的实施过程，“=”号左边被看作要进行的运算，右边是算得的结果.这是算术思维的反映.同样，3x=12+6=18÷3=6的错误出现，也与算术中“程序性”思维的惯性不无关系. 代数思维重在关系的符号化，以及对符号的运算.其思维方式是结构性的，某种程度上不依赖直观.著名特级教师马明曾回忆学生时代发生过的一件事情：一个长方形的长为a尺、宽为b尺，它的周长是多少？他拿着算的结果2（a+b）尺去问老师：“这个长方形的周长究竟是多少？”老师说：“你不是已经算出来了吗？2（a+b）尺！”这就是结果吗？他困惑不解.这说明初学代数时，学生还停留在算术思维，在他们看来，含有运算符号的式子是一种运算，并非运算结果.在解简易方程时，过去我们要求小学生运用算术中四则运算各部分之间的关系求解，这种“逆运算”的方法是算术思维的方法.但是，如果把ax+b=d理解成左右两边是相等关系，而运用等式的性质推出x=？，这是从结构上所作的分析，运用的是代数思维.在对含有未知数的式子进行运算时，需要把未知数与已知数等同看待，只有当学生有了这样的认识，在他面对更复杂一些的方程如ax+b=cx+d求解时，就能顺利进行.我国新颁发的《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段特别提出：“了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程.”这不仅有利于学生代数思维的培养，也有利于小学与初中的衔接，较之过去教学大纲的要求更加合理.相等关系的推演是否从结构上分析，反映了算术思维与代数思维的本质区别. 二、代数思维的特征 2011年弗赖登塔尔奖获得者、加拿大数学教育家路易斯·拉弗德（Luis Radford）对早期代数作了5年的研究，在其发表的《早期代数思维的认识论、符号学及发展问题》文章中用了一个典型的例子来说明代数思维的特征.他给出了下面的一组图形（4个），要求学生探索其规律，并说明理由.
（1）第5个图形有几个小方块？（2）第6个图形有几个小方块？（3）第25个图形呢？（4）你能概括出图形排列的规律吗？ 一位二年级学生在回答前两个问题时是这样想的： 前四个图形中，后一个图形小方块的个数比前一个多2.这样，第5个图形就是9个加2个，是11个小方块；第6个图形再加2个就是13个小方块.这种发现依赖学生对于小方块数量3、5、7、9……的直接观察.拉弗德认为，这种3加2、加2、……的方法是一种算术归纳，没有对某特定的图形（第n个图形）与图形中蕴含的关系进行分析、概括.这不是代数的.不过，上述这个同学在回答第25个图形有多少个小方块时，却改变了思路，放弃了“每次加2”的算法，转而再去观察图形的排列结构，把每一个图形中小方块的个数与图形排列在第几个位置联系起来.学生发现，每个图形下面这行小方块的个数和位置数是一样的，但是上面的就比位置数多1个.即第几图形中小方块的个数等于它的“位置数+（位置数+1）”. 这时，学生把小方块的个数与不确定的图形所在的位置数发生了联系，通过分析图形中小方块排列的结构，发现了一般规律，这里尽管没有使用字母符号，但运用的是代数思维. 由此可见，代数思维具有以下特征. （一）代数思维具有分析特征 上述拉弗德研究的例子，为我们清楚地展示了两种不同的思维，这种通过3加2、加2、……的方法，逐次算出结果是一种算术思维.因为这里只是对小方块数量的观察，而没有把小方块排列的空间结构与数量结构联系起来，对某特定图形（第n个图形）与图形中蕴含的关系进行分析. 当学生在回答第25个图形有多少个小方块时，已经把小方块排列的空间结构与数量结构联系起来分析了，虽然带有“直觉”的特点，但已经是代数思维了.在语言表述的基础上，还可以给出某一图形中小方块个数的计算公式： 第几个图形中小方块个数=位置数+（位置数+1），或者，第几个图形中小方块个数=位置数×2+1. 代数思维的分析特征，主要表现在对数与运算的关系和结构的分析.再如，利用“凑十法”计算“9加4等于几”的教学过程中，将4分成1和3，9和1相加是10，所以，9+4=13.这里反映的是加法的运算程序，属于算术思维.如果把9+4看成（9+1）+（4-1），表明“某个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，和不变”即“加上的与减去的刚好抵消，结果与原来相等”.这里隐含了数运算中的相等变换关系，是代数思维的反映. （二）代数思维具有概括特征 概括是把若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法.上述通过对一组图形排列结构的观察、分析，归结得到某一位置上图形的小方块个数与其位置数之间的关系.这是从多个对象中寻找共通性，运用了概括的思维方法.概括常常以抽象为基础，通过概括又可以达到更高的抽象层次.概括通常需要引入字母，但如果只注重用字母去代表数，而没有重视如何让学生体验概括的过程，如何帮助学生很好地理解“概括”，这就不能不说是忽视了代数思维的教学.我们应当清楚地认识到，“概括是学习代数的一个途径”.[2] 例如，教学“用字母表示数”（西南师大版教材），通过吟诵歌谣“数青蛙”活动，由具体数量让学生直观感受青蛙只数与嘴的张数、眼睛只数及腿的条数之间的关系，然后让学生用自己理解的方式概括表达这种关系（如，若干只青蛙若干张嘴，若干×2只眼睛，若干×4条腿）.最后通过比较，让学生感受用字母表示的数量关系简洁（如，a只青蛙a张嘴，a×2只眼睛，a×4条腿）.这样的探索过程符合小学生思维发展的特点，较好地实现了由具体到抽象的过渡，促进了学生抽象概括能力和符号意识的发展. （三）运用符号系统是代数思维的重要手段 被称为“代数学之父”的法国数学家韦达（Francois Viete，1540～1603），通过引进符号系统促进了代数学的发展.显而易见，字母是符号系统中的重要元素，如果没有“字母符号”的运用，代数学就不可能发展成像今天这样，甚至都不可能产生代数学这一数学分支体系.符号系统的运用不仅改变了代数学的面貌，也改变了整个数学的面貌. 需要说明的是，对于代数思维来说，使用字母符号既不是必要的，也不是充分的.也就是说，代数思维未必需要“字母”.因为代数思维的核心是“分析+概括”，而非字母本身.[3]正如拉弗德所指出的，除了字母，还有其他的符号系统表示代数思维，如自然语言、图形、手势、行为和节奏.[4]这就是说，学生在进行代数思维的时候，可以运用自然语言、图示等来表达思考过程（如上述小方块探索中的语言等式）.这样的观点为学生进行早期代数思维学习提供了依据.因此，我们不能把代数思维简化成以字母符号主宰的活动，在学习用字母表示数之前，完全可以进行代数思维的早期孕伏.事实上，中国古代数学名著《九章算术》中，就运用了代数的观念来求解方程，但没有使用字母；而西方古代数学名著《几何原本》虽然运用了字母，但并未体现出代数的观念. 三、数学教学要实现从算术思维向代数思维的跨越 研究表明，小学生学习代数初步知识是可行的，也是必要的.正如数学大师吴文俊所说：尽管这种四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远、走不远，更不能腾飞，远远谈不上腾飞.可是你只要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的.[5]然而，小学生要顺利实现从算术思维向代数思维的跨越，又必须经历相对较长的过程.培养学生的代数思维不仅需要算术经验积累，还需要把握学生代数思维发展的阶段，开发早期代数课程资源，让学生在解决问题的过程中经历思维结构的转化. （一）准确把握小学代数课程内容设计的阶段性 根据课程标准的要求，现行小学数学教材主要采取了分散渗透与集中安排相结合的方式编排代数课程内容，大体上可分为早期孕伏、逐步过渡、初步学习三个阶段进行. 早期孕伏阶段：在低年级结合数与计算等教学内容编排了各种用符号表示数的算式，提早孕伏代数思想，让学生尽早感知.如10以内数的认识与加减法中，编排6+（ ）=10；表内乘除法中填35÷□=7之类的算式.使学生体会到：这些算式中的符号“（ ）”与“□”既可以表示填写数的空位，也可以用来表示数.同时在解答这些算题的过程中，也渗透了解方程的思想.又如，数的运算的教学，通常采用逆运算伴随出现的方式，这既能加深学生对四则运算关系的理解，又为用逆运算解简易方程进行了铺垫.此阶段，教师应呈现一些右边非单个数的等式，让学生认识到“等号”不只是从左到右的运算符号，还可以表示左右两边是一种平衡关系.如等式17-8=17-10+2.等号的平衡关系是方程的核心思想.等号从连接运算结果，到表示一种平衡关系、一种等价关系，是由算术思想到代数思想的转变.[6]此时，教材中还结合有关内容出现如20+（ ）＜25、（ ）×8＞50之类的不等式，甚至还出现像□÷□×□=24这样更加开放的思考题.通过解答这类问题可以加深学生对符号表示数的认识. 逐步过渡阶段：在低年级孕伏的基础上，中年级结合图形面积计算出现用字母表示计算公式，结合数的运算教学出现用字母表示运算定律，以及用字母表示基本数量关系，如路程、速度与时间之间的关系s=v×t等.让学生感受到运用字母表示的简洁、方便，为进一步学习用字母表示数和简易方程进行了铺垫. 初步学习阶段：通过前两个阶段的教学，学生对字母表示数和简易方程已经有了一定的感性认识.教材在第二学段相对集中地编排了用字母表示数、简易方程，以及正比例和反比例等内容，让学生相对集中地、系统地学习代数知识，运用代数思想方法解决问题.“用字母表示数”的教学标志着小学生正式学习代数的开始.用字母表示数不仅简单明了，而且概括出了数量关系的一般规律.在列方程表示数量关系中，已知数与未知数处于同等地位参与列式和运算，这为研究问题、解决问题带来很大方便.当然，这些内容是基本的、初步的，是为学生进入中学以后进一步学习奠定基础的. 对小学生进行代数思维的教学，要恰当定位，把握不同阶段的教学要求，深刻领会教材的编写意图，在算术教学过程中抓住有利时机，培养学生用代数的眼光观察和分析问题. （二）重视代数思维的早期渗透 如前所说，代数思维的渗透可以从整数的认识与运算开始.如用括号表示未知数：在学习“20以内加减法”时，安排“填未知数”：8+（ ）=13；（ ）-9=4等.还可以用简单的文字符号表示未知数，进行文字符号推理：如，7+□=11，□=？；□=○+○，○=△+△+△，□=（ ）个△？来促进儿童对相等关系的理解.在用字母表示数量关系、计算公式的教学中，让学生感受到用字母表示的简洁性和一般性.在用文字、符号建立相等关系时，让学生感受到比列算式考虑起来更加自然、思维更加流畅.也可以通过对模式或规则的识别来渗透变量间的相互关系：如给出下面两组数，让学生发现其对应规则，并应用其规则回答问题：如果A行中的数是60、150时，那么B行中对应的数是什么？ A：6 9 18 36 75…… B：2 3 6 12 25…… 这种规律的探寻和运用，为函数关系的学习进行了孕伏. （三）运用准变量思维促进算术思维与代数思维的联结 过去的教学大纲中，算术与代数分别作为独立的学习领域，并且以算术内容作为主干.现行课程标准虽将其作为一个完整的学习领域“数与代数”，但之间的割裂状况依然存在.诚然，算术与代数关注的问题有所不同，小学生起初学习的读数、写数、比较数的大小等关注的是具体的数，对于数的运算是程序性的，关注的是算理、算法和运算结果.而代数关注的是数量关系的一般化、概括化，对代数表达式的理解和解释，以及如何进行基于相等性质基础之上的代数表达式的运算和变换等. 为了便于算术与代数之间的联结，卡彭特和利维在要求小学生判断数字语句78-49+49=78是否为真时，希望孩子们理解的是这样的语句：无论第一个数是多少，只要减去的和加上的是同一个数，结果还是原来那个数.这样的数字语句被称作“准变量（表达式）”.“准变量（表达式）”蕴含着一个潜在的数学关系或命题，在这个语句中，不管它所包含的数字是什么，其关系或命题都是真的. 由此看来，我们在小学数学教学中尽管没有提出这样的概念，但已经有意或无意运用“准变量”进行数学思维了.准变量思维的对象主要是非符号化的语句或表达式，它超越算术思维方式，利用算术中所隐含的数量关系与结构，识别、提取出关键的数字和包含在表达式中的关系性元素，对潜在的结构进行表达和转换，对算术问题进行“代数地思考”.准变量思维的运用，将有助于缓解算术思维与代数思维之间的割裂状态，有利于算术与代数教学之间的顺利衔接，为代数的正式学习搭建了“脚手架”. 准变量（表达式）是算术中潜在的代数性质，需要我们代数地看待数字和算术.正如Blanton和Kaput所强调的：为了理解和运用这些算术中的代数思维之机会，小学教师尤其需要培养“代数的眼睛和耳朵”.[7] （四）正确理解儿童用字母表示数的发展水平 文字代表数是代数形成的早期形态，小学生正式学习代数也是从这里开始的.文字代表数以后，未知数可以和已知的具体数一样参与运算，这就由“数”的运算扩展到了“式”的运算.从数字表示数到用文字代表数有质的区别，是一次认识上的飞跃.对于小学生来说，真正理解文字代表数并不是一件容易的事件，根据英国CSMS小组对11～16岁儿童的数学理解的研究（1981），文字代表数有6种不同的意义：[8] （1）给字母赋值.例如，a+5=8，a=？. （2）忽略字母的意义.例如，如果a+b=29，那么a+b+3=？. （3）把字母当成物体.例如，5a+3a=（ ）a，a+b-b=（ ）.这里a可以看作某个具体事物，如苹果、铅笔等. 上述（1）（2）（3）中都运用了字母，但并没有将其看成真正的未知量，所用思维方法也不能看成真正意义上的代数方法. （4）把字母看成特定未知量.即认为字母有一个特定的值（虽然未知）.例如，3n与4相加等于多少？对于答案是3n+4，一些学生难以理解，因为他们不能真正理解含有字母的式子既可以表示运算过程也可以表示运算结果.这已经是真正意义上的代数运算了，是算术思维向代数思维的跨越，并且这种跨越有一个缓慢的过程，不可能一蹴而就.我们在建立方程解决实际问题时，用字母来表示特定未知量是必要环节.因此，对学生来说，理解这种用文字代表数的意义是非常重要的. （5）把字母看成广义的数.即认为字母可以取几个值（或一定范围内的值）.例如，若c+d=10，且c＜d，对c的值作出判断.这里的字母取值受两个关系的约束，解答这样的问题需要学生有较高的分析水平. （6）把字母看成变量.意味着字母表示的值在变化.例如，2n与n+2哪个大？因为随着n从小到大取值时，2n与n+2增大的速度不同.因此在这个问题中需要考虑n的作用，两者的大小是需要附加条件的.这时n作为变量的思想充分体现出来了，需要学生整体地、动态地看待字母代表数，具有较高抽象水平. 我国小学教材中的“成正比例量和成反比例量”就是研究动态的变量关系中的两种特殊情形，它为小学生进入中学进一步学习函数关系进行了铺垫.小学生正确认识这两种变量之间的关系并不容易，首先要让学生认识到变量是普遍存在的；其次要知道有些变化中的量存在着“相互关联”，即“一个量随着另一个量的变化而变化”；最后运用对应观念让学生通过观察、比较，发现对应中的不变规律.这比“把字母看成特定未知量”“把字母看成广义的数”更加抽象，对结构的把握要求更高. 上述六种情况，总体上代表了字母表示数由低到高的不同水平，当然每一种情况下要解决的问题又可以有不同的难易程度，并且我们认为这之间还存在交叉.比如，问题（第五种情况）：若a+7＜10，则a=？与问题（第四种情况）：一个五边形的四条边长都是a，还有一条边长比其邻边多5，这个五边形的周长是多少（5a+5）？显然，前者解决的难度并不高于后者.现行数学课程标准前两个学段关于字母表示数提出的要求涉及英国CSMS小组研究中的六种情况，但对后两种情况的要求应该是简单的、部分的，其进一步的学习应体现在中学数学课程中.
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