落实三个抓手，突破直线与圆锥曲线综合题，本文主要内容关键词为：圆锥曲线论文,抓手论文,直线论文,综合题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
特别提示：
直线和圆锥曲线的综合问题是高考的重点和难点，是历年高考中的压轴题，近年来，以探索性问题情境出现，对圆锥曲线的定值、最值等问题进行考查。
复习时我们知道：解析几何核心思想是数形结合，曲线与方程的观念指导下的坐标法，但是复习效果总不尽然人意。如何提升突破直线与圆锥曲线综合题的能力，本文建议重点研究落实以下三个抓手：
抓手一 培养几何直观能力是基本点
解析几何是“图”“文”并茂的内容，基本思想是数形结合的思想。几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想。解决圆锥曲线综合问题，应首先培养几何直观能力，把情境过程图画完善到位，相关条件完整表示、标注到位，这样能够减轻短时记忆负担，理解题意发掘信息。具体实施可分为元素分析、关系分析、顺序分析三个步骤。
抓手二 培养特殊化策略是关键点
圆锥曲线中综合问题主要是含参数系数的曲线方程或运动变化中的圆锥曲线的问题，表现为求定值和最值、最值范围问题，从命题背景上看，题目设计得非常隐蔽，由于抽象、概括程度较高，直接加以解决往往感到困难，这时可以先从特殊情况或极端情况入手，通过对具体特殊情况的解法中，悟出某些规律性，以利于指导一般问题的解决。特殊化是一种重要的思维策略，是解决复杂问题的重要手段。特殊化使问题由抽象变具体、由复杂变简单，认识起点降低，便于认识由浅入深，从而有利于问题的解决。在数学问题解决中，特殊化的具体途径有：第一，用具体数字代替字母、用具体特殊情况替代一般情况、用有限代替无限，使抽象问题具体化；第二，一般状态取特殊状态，运动问题取静止状态，以便化繁为简，发现规律；第三，暂时固定或舍弃某些限制条件，便于在较为理想的状态下研究问题。
图4
例2 （2009年北京理19题）
该题是解析几何章内知识综合问题，第（Ⅱ）问，既可以依传统方法按部就班的求解，但运算量大，难以在一定时间内完成。如果看到题目特点，取特殊位置如图5，尝试把P点选定在特殊位置如与轴的交点，得出∠AOB的大小为90°，并作出猜想，定值为90°。从而选择平面向量的数量积的方法论证这个猜想，大大减少了运算量。
图5
例3 （2010年北京文19题第三问）
已知椭圆
，直线y=t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P。设Q(x,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。
依题意分析，变量x、y、t三个，建立它们之间关系，离不开对它们的对应点和直线的几何关系的分析，联系它们的是几何元素的运动状态。它们的主次关系为：动直线交定椭圆，得相交弦，构造动圆，得动点。这里目标y的最大值，就是这一系列过程中的特殊位置的结果。要探求抽象的数学问题，可以设置位置运动实验探究，暂时固定或舍弃某些限制条件，在较为理想的状态下研究问题，通过直观感知，借助形象思维，通过几何元素位置变化，观察记录数量变化，归纳猜想，实现从具体到抽象的飞跃，解决问题。
下面是在纸上进行的运动探究实验：首先绘制图6，
图6
实验1 直线不动，点动（t作为参数处理）
依题意，虽然动点在圆上有无数多个位置，但是我们可以有目的选取有限的几个点，观察它们坐标的变化（如图7）。
实验2 直线动，点动
依题意，作出两条与定椭圆相交的直线，可以构造两个圆。虽然在每个圆上，都可以有无数多个动点，但是可以发现每个圆上动点纵坐标最大的点位置均在圆和y轴正半轴交点（见图8）。
通过实验，把不易观察的运动过程，分步骤的呈现出来，实验过程中，渗透着特殊与一般、整体与局部、常量与变量的辩证思维。通过运用特殊化的思维策略做数学，思维在纸上跳跃，展示出优秀的数学的分析问题、解决问题的能力。
抓手三 提高运算能力是发展点
圆锥曲线的定值和最值、最值范围问题的求解，从表现形式上，都要有直线方程与圆锥曲线方程的联立，但是之后的运算方向如何？利用根与系数关系整体代换消参，还是选择其他公式？求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法，所以要确定条理的、逻辑的运算程序，这些都需要运算能力。关于运算能力，《考试大纲》指出“运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”。圆锥曲线综合问题中常用的突破方法有：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；建立目标函数，转化求函数的最值问题；利用代数基本不等式；向量法；结合参数方程，利用三角函数的有界性；构造一个二次方程，利用判别式大于等于零等。
例2第二问的一个解法（向量法）
当然，除了以上三个抓手外，解决圆锥曲线综合问题，还要培养分析及解决问题的能力，以及数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想，要纳入圆锥曲线教与学内容之中，做到有目的，有计划，有系统地进行学习。
【参考练习】
