迁思回虑，一得之功——对“指数函数（第一课时）”教学设计的再思考与评析，本文主要内容关键词为：指数函数论文,课时论文,教学设计论文,之功论文,迁思回虑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年11月，第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动在安徽黄山举行.笔者有幸作为江苏教师代表参加盛会，汇报课题为“指数函数（第一课时）”，教材采用《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》（苏教版）.回顾整个参会过程，笔者经历了市级、省级多次选拔，得到了众多专家、同行的指导帮助，多次改进教学设计，收获感触颇多.以下就教学设计中的几个环节，再现改进过程，加以分析比较，谈谈自己的体会.不当之处，请广大同仁批评指正.
一、教学设计的反思与改进
1.创设情境，提出问题
（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%.如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为第1年，那么：1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的（1+7.3%）倍；设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么有
（2）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
考古学家根据此式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值.
问题1：这样的例子，你们还能举出一些吗？
生活中的很多现象都可以用数学来有效地描述，先看下面两份材料，就这些材料，你们能提出什么问题？请同学们尝试一下.
（1）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%.
（2）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%.如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为第1年，那么1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的（1+7.3%）倍.
问题1：这样的例子，你们还能举出一些吗？你们能发现什么相同的特征？
（楷体部分为课堂实录，下同.）
师：我们已经学习了函数的概念、图象与性质，大家都知道函数可以刻画两个变量之间的关系.你们能用函数的观点分析下面的例子吗？
师：大家知道细胞分裂的规律吗？（出示情境问题.）
（1）某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果细胞分裂x次，相应的细胞个数为y，如何描述这两个变量之间的关系？
（2）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%.如果经过x年，该物质剩余的质量为y，如何描述这两个变量之间的关系？
师：这样的函数你们见过吗？是一次函数吗？二次函数吗？这样的函数有什么特点？你们能再举几个例子吗？
问题1：类似的函数，你们能再举出一些例子吗？这些函数有什么共同特点？能否写成一般形式？
【设计反思】问题的提出，是从生活中指数函数的具体实例引入的.学生能感受到指数函数与实际生活的联系，感受指数型增长模型，意识到学习指数函数的必要性.问题1的提出，旨在引导学生经历自主举例，归纳共同特征以及形式化表示等过程，抓住自变量在指数位置这一基本特征，初步形成指数函数的概念，并用数学符号表示.这是以上三种设计的共同点.
比较而言，方案1以阅读材料的形式给出情境问题，平铺直叙，缺乏数学思维的触发点.此外材料篇幅较长，特别是学生对半衰期的概念比较陌生，冲淡了主题.问题1的提法比较宽泛，有些学生不理解要举具体函数的例子，而去寻找指数增长模型的实例.
方案2简化了情境问题，并且“未提出问题”，目的在于激发学生学习兴趣，引导学生分析条件，自己提出问题.学生可能会提出求具体年份的物质量或计算某年的GDP；可能会根据剩余物质量或GDP，求年份；也可能建立函数关系；等等.由于学生尚没有对数的概念，一般情况下会设年份为自变量，剩余物质量或某年的GDP为因变量，建立指数函数模型，体验函数思想.方案2的出发点是好的，但过于追求面面俱到，实际教学中情境问题分析的时间会比较长.此外，学生可能会忽视函数的定义域.
2.抽象特征，建构概念
学生通过自主举例，抽象特征，初步建立函数模型
.教师引导学生关注底数的取值范围，理解底数取值的合理性，完成概念建构.
生：底数不能取负数.
师：为什么？
生：如果底数取负数或0，x就不能取任意实数了.
师：为了研究的方便，我们要求底数a＞0.
生：当a=1时，函数就是常数函数y=1.
师：对于这个函数，我们已经比较了解了.通常我们还规定a≠1.
通过讨论，得到体现自变量在指数位置这一本质特征的最基本、最简洁的形式：
（a>0且a≠1），从而完成对指数函数概念的建构.
【设计反思】指数函数是一种函数模型，其基本特征是自变量在指数位置.底数取值范围有规定，使得这一模型形式简单又不失本质.概念的学习，重点应放在体会模型思想以及对概念合理性的理解，不必纠结于“
是否为指数函数”这样的问题.当然，教师应该理解常函数并不是不重要，它也是基本函数之一.指数函数中，a≠1并不是必需的，而是为了使指数函数与对数函数能构成反函数，这里就规定a≠1.
方案1试图让学生自己发现底数取值的规定，但概念建构与性质探究混杂，不利于学生体会研究问题的一般方法.此外，对于a＞0且a≠1的规定，学生可以依据分数指数幂的相关知识理解，不必故弄玄虚.
方案2依赖于学生所举具体函数，而实际教学中难以完全实现.若教师拘泥于预设，自行给出
，则显得生硬，并偏离了主题.
方案3突出对基本特征的理解，目标指向明确，避免事无巨细，体现概念的模型作用.
3.制定策略，自主探究
（1）构建研究方法.
师：我们定义了一个新的函数，接下来，我们来研究它的性质.
问题2：你打算如何研究指数函数
（a>0且a≠1）？
师：我们定义了一个新的函数，接下来，我们研究什么呢？
师：你打算如何研究指数函数的性质？
师：我们一般要研究哪些性质呢？
师：怎样研究这些性质呢？
问题2：你打算如何研究指数函数的性质？一般我们研究函数的哪些性质？怎样研究这些性质？
【设计反思】学生对函数有了初步的认识，在此认知基础上，“先行组织者”明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段.
方案1与方案2的差异有两点：一是方案2引导学生自己提出所要研究的问题，寻找研究问题的方法；二是开始的问题较宽泛，方案2缩小问题范围，用“由远及近”的提示语口头提问启发.
需要说明的问题也有两点：一是此时不必明确完整的研究内容，仅需确定大方向，应保持研究的发放性；二是函数的定义域与值域应归于函数的概念，不应并入函数性质中，但应作为研究的内容.
由于大部分学生更习惯于形象思维，提出了通过函数的图象研究函数性质的方法.教师引导学生讨论，确定了研究的内容与方法，并归纳出研究函数性质的基本步骤：①选取数据，②画出图象，③观察特征，④归纳性质.需要注意的是，观察图象分析性质并不是简单的“看图说话”，应引导学生对观察的现象进行归纳，对初步的结论进行理性的思考.帮助学生运用数形结合的思想分析问题.
（2）自主探究，汇报交流.
学生选取不同的底数，分组协作，利用绘图软件作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们之间的异同，总结指数函数的图象特征与函数性质.学生汇报探究结论，不断补充所得结论，并对结论进行适当地说明或证明.
学生选取不同的底数，独立探究，描点作图，观察它们之间的异同，总结指数函数的图象特征与函数性质.教师分层展示学生结论，汇报交流，将函数图象的直观感知和数学理性思维相结合，对观察所得的结论进行有序归纳，并对结论进行适当地说明或证明.
【设计反思】为了研究函数的性质，数据的选取应具有代表性.若直接由教师规定底数取值或经讨论确定底数取值，可能会造成部分学生被动认识图象.让学生自主选择底数，虽有得到片面认识的可能，但为学生留下了思维的空间，有利于调动学生自主学习的积极性.通过协作交流，学生能相互补充，共同验证结论，得到完整的认识.学生自主选择底数，需要学生对指数函数进行初步的分析.有利于学生感受数据选择的方法，了解研究问题的过程.
方案1利用绘图软件作图，突破了点的个数的限制，便于学生直观感受x→∞时函数图象特征，便于形成一般性的认识.但我们不仅要关注指数函数图象本身，还有学生在作图过程中数形结合的思维过程.学生在列表过程中，通过具体数据的计算，对指数函数的性质有了直觉性的体验.例如，学生列表画函数
时，并没有逐一计算函数值，而是发现x取正整数时，后一数值是前一数值的2倍，初步得到函数单调递增的印象.在学生列表作图之后，展示动态图象，保留变化痕迹，便于学生归纳性质.
方案2强调独立探究与合作交流相结合，每个学生都参与探究，各有所得.教师在展示学生所画图象时，应注意进行分层展示：（1）只画一个函数图象；（2）在两个坐标系中画图；（3）所取底数均大于1；（4）两个底数大于1，一个底数小于1；（5）关于y轴对称的两个指数函数.以递进的方式呈现学生思维的不同层次，在引导学生反思画图的过程中，深化对图象特征的认识.
学生观察图象，是对图形语言的理解；根据图象描述性质，是将图形语言转化为符号语言或文字语言.教师应引导学生关注不同指数函数图象的“变”与“不变”，将函数图象的直观感知和数学理性思维相结合，对观察所得的结论进行适当地说明或证明.对猜想的验证，一方面可以引导学生从解析式入手说明，如图象过定点（0，1）.另一方面，可以通过动态图象验证，如单调性，进一步体现数形结合的思想.
教师应引导学生认识到归纳函数性质一般可分为三个层次：一是一般函数都需研究的性质（共性），如单调性、奇偶性、周期性等；二是一类函数特有的性质（个性），如过定点、渐近线等；三是函数之间的性质.教师应引导学生有条理地归纳性质，明确研究内容，避免杂乱遗漏.对于指数函数之间的关系，应在后续研究中进行，本节课应关注指数函数本身的性质.
4.新知运用，巩固深化
师：能具体说明吗？（引导学生规范表达）我们再试一试.
（出示例1.）
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
师：现在我们了解了指数函数的定义和性质，它们有什么用处呢？
师：函数的定义域是函数的基础，是运用性质的前提.值域是研究函数最值的前提.具备奇偶性的函数，可以利用对称性简化研究.指数函数过定点（0，1），说明可以将常数1转化为指数式，即
那么函数单调性有什么用处呢？
问题3：指数函数的单调性有什么用处呢？你们能举例说明吗？
生：可以求最值，可以比较两个函数值的大小.
师：那你们能举出运用指数函数单调性比大小的例子吗？（提示：既然是运用指数函数单调性，那应该有指数式.）
（学生举例并判断大小.）
师：你考察了哪个指数函数？怎么想到的？（规范表述.）
师：以往我们通过计算出幂的值来比大小，现在我们学习了指数函数的单调性，不用计算就可以比较两个幂的大小.（出示例1.）
【设计反思】例1是教材中的原题，看似简单，实则需要运用函数观点，将问题转化为函数单调性的应用.关键在于是如何想到引入函数，这也是提升学生思维能力的好时机.
方案1的初始问题可以直接比较大小，变式后引导学生注意到两个幂的联系——底数相同，指数不同.进而引导学生联想到指数函数及其单调性，先行组织者明确问题解决的方法.但设问方式比较生硬，前后连接不够流畅.
方案2先引导学生分析函数性质的用途，这符合一般研究的程序，便于学生感受一般的研究方法.此外，对过定点的说明，为解决例1的第③题埋下伏笔.学生通过自主举例，可以进一步体会指数函数的特征.对学生举例要求不高，关键在于函数模型的选择以及对函数单调性的认识.学生面对第③题可能会遇到困难，教师应引导学生回到概念、图象与性质中寻找突破口.
解题小结中，教师引导学生认识到利用指数函数单调性是比较两个幂的大小的常用方法，但不是唯一的方法.因此此时不宜过早总结比较幂大小的一般方法，重在关注学生是否认识到函数单调性是研究不等关系的工具.对于不同底数幂的大小比较，教师可以引导学生在课后展开对指数函数性质的进一步研究.
5.概括总结，分层作业
师：通过本节课的学习，你有怎样的收获？
布置分层作业（略）.
师：本节课我们学习了哪些知识？
问题4：回顾我们的研究过程，我们是怎样研究指数函数的？
布置分层作业（略）.
【设计反思】课堂小结的目的在于整理本节课所学知识与方法，回顾学习过程，提炼研究函数的一般方法.方案1的提问过于笼统，看似开放，实则无法回答.方案2紧扣本课主题，引导学生从知识与方法两个方面回顾反思.
二、点评及实录
这是一节常规课，如何能在常规中显“神奇”？笔者认为核心是要教出“数学味”，也就是要让学生体会数学概念形成的基本过程，掌握建构数学概念的“基本套路”，把“面对一个新的数学对象，应如何入手和展开研究”作为重要的教学任务，使学生逐渐学会认识和解决问题的方法.
1.总体评价
本节课以“背景引入→归纳共同特征得出定义→探究性质→简单应用”为主线，用四个有一定思维价值的问题串联起来，环环相扣，并给学生留有充裕的时间和思考的空间，学生在问题的引导下开展自主探究.整堂课，学生在静悄悄中进行探索和交流、表达的时间各占了三分之一多，教师讲解的时间不足三分之一，所以学生的思维过程展开得很充分，思维参与度很高.
本节课的一个突出特点是“先行组织者”的使用，无论是概念内涵的归纳、函数性质的探究，还是后面的知识应用，每个环节都有一个宏观概述，先对解决问题的思想方法进行引导或讨论，明确研究思路后再展开具体研究.这样做，使学生在学习中做到“见木见林”，很好地体现了“认识问题、解决问题的方法的教学”，大气而不失细腻，整个课堂做到了收放自如.
2.定义的教学
从课的引入来看，通过背景问题，引导学生认识学习指数函数的必要性.然后，通过精心选择的典型例子，安排充分的概括过程，在问题引导下展开对各事例共同特征的归纳活动，抽象出指数函数的本质特征后再给出定义，这样就使学生对抽象的指数函数定义有了具体的例子的支撑，为概念的理解和记忆提供了有力保证.特别值得一提的是，教学中不纠缠于细枝末节，集中精力于底数a的讨论.总之，概念教学这个环节最突出的特点是先讨论如何构建研究思路，然后放手让学生自主探索并归纳概括，在学生充分交流的基础上教师再适时介入.因此，概念教学过程合理，围绕概念的核心展开，学生有充分的概括活动.
3.性质的研究
教师先用“追问”的方式提出了一系列问题：“定义了一个新的函数，接下来研究什么？”“有哪些性质需要研究？”“你打算如何研究？”其目的是要让学生明确目标.因为前面安排了一般性的“函数的性质”的学习，因此学生有相应的经验，只要通过回顾就能说出来.课堂实录也表明，学生把性质的研究内容和方法都说清楚了.有了明确的研究路线，即选择数据→作出图象→观察图象特征→归纳性质，学生独立探究的效果也就有了保证.另外，对于从图象上观察到的性质，只要有可能，教师都引导学生进行说理，有的还给出了证明.
4.教师的教学行为
如前所述，教学中放手让学生探索，提出问题后给予学生静心思考的时间，教师不急于把自己的想法强加给学生，在学生回答后再与学生对话，通过追问使问题越来越明确、结论越来越准确，笔者认为这是一种修养，是一个好老师的标志之一.我们看到很多课堂上，教师喋喋不休，随意打断学生的发言，歪曲学生的想法.本节课中，教师从来不打断学生的发言，而且用“你觉得他说得对吗”来引导学生相互比较、借鉴，这不是“挑动学生斗学生”，而是推动学生深入思考的一种方法.这里体现的不仅是知识的教学，思维能力的提高，还有思维习惯的培养.数学教学一定要强调“思考”这两个字，要把让学生学会思考作为核心任务，这节课在这方面的表现也是可圈可点.
5.注重提问的质量
本节课设置的四个大问题以及每个问题下的“追问”也特别值得称道.笔者认为，提问有两个关键，一个是提出“好问题”，好问题要有一定的思维含量，能有效地引导学生思考；第二个是“恰时恰点地提出问题”.问题很好，但提出的时机不对，也不行.
6.四个需要讨论的问题
下面有几个问题要与邢老师交流（这几个问题实际上是这节课需要改进的地方）：
（1）在讨论可以研究哪些性质时，学生说：“可以研究最大值、最小值”，这里邢老师回应：“最大值最小值问题，就是说取值范围的问题？”你的回应与学生的原意一样吗？
显然，不一样.最大值最小值问题不是值域的问题.
（2）学生画函数图象后，邢老师没有把这些函数图象集中起来，然后就给出了函数性质的归纳.大家知道，概念是共同特征的归纳后概括出来的.一个图象能“共同”出来吗？笔者认为函数的图象个数较少，不足以支持概念的概括活动.
（3）《几何画板》动态演示函数图象，到底应该安排在哪里更合适？是用于验证性质还是归纳性质？
数学教学中应用信息技术帮助学生学习，这是时代发展的必然要求，不以人的意志为转移，我们要加强这方面的研究.其中，研究的问题之一就是什么时候用技术更好？不是滥用技术，而是要用在点子上.本节课，邢老师在归纳性质以后再用技术进行验证，你是怎么考虑这个问题的？
邢老师：在我参与学生的讨论中发现，大部分学生已经归纳出单调性，所以不需要再用技术去帮助归纳了.另外，单调性的认识过程中，由于没有办法去进行性质的证明，所以用技术进行验证，可以帮助学生加深认识.
章老师：我认为，这里用于归纳性质可能更恰当，实际上就是给学生的归纳概括活动提供更丰富的具体例证的支持.另外，你这里《几何画板》作出的图象是一扫而过，没有留下痕迹.我认为，对a的每一个取值，应该留下相应的图象，这样可以使性质“一目了然”.
（4）在教学设计中，为什么不把概念作为教学重点？
邢老师：我认为指数函数的概念只是一种模型的意识，关键是要能从生活实际中抽象出变量基本关系.由于从实际问题中抽象出对应关系时已经对这个模型了解了，所以我认为可以不作为重点.
章老师：我认为概念仍然应该是重点，因为图象和性质都是在概念基础上产生的.特别是性质的研究要以概念作为出发点，这是我们在教学中要强调的.
为了充分了解邢老师的想法，下面请邢老师回答几个问题.
问题1：你在这节课的开头先说了一段话：“我们已经学习了函数的概念及其性质，大家都知道，函数可以刻画两个变量之间的关系，你能用函数的观点分析下面的例子吗？”然后再出示一些具体的问题，你说这段话的目的是什么？
邢老师：背景中本来还想再加一条，让学生发现模型中的函数关系，然后再发现这是一种新的函数关系，在具体操作的时候，因为时间关系，把这一环节省掉了.
章老师：你的回答是“答非所问”.我认为这段话说得很好，一方面从宏观上指明函数的作用，另一方面让学生发现已学过的函数不能刻画下面的事例，从而自然引发新的学习需求.
问题2：函数的概念概括出来以后，对概念有一个辨析的过程，为什么不让学生去判断
是不是指数函数呢？这个问题被很多教师用于辨析.
邢老师：这么说吧，这个定义本身是一个模型，是自变量在指数的位置，至于说其他的形式，等完全可以看作是其他函数与指数函数复合或者运算的结果.因此，现在先把最基本的函数研究好，再去解决其他问题.
章老师：这个回答我非常满意.实际上类似的问题还有，比如“
是不是对数函数”，初中老师在讲了二次根式概念后问学生“
是不是二次根式”等.我认为，这些问题是细枝末节问题，甚至可以说，不懂数学的人才提这样的问题.
问题3：在展开函数性质的研究中，学生对研究哪些性质实际上是有一定的预判的.你觉得“以a=1为分界点”是否在学生的预判中？
邢老师：首先从概念当中已经规定了底数a的范围，a＞0且a≠1，这已经有暗示效果了，这是不是要考虑a与0和1的关系.另外，从学生举出的、函数来说，类似y=
与y=
这样的例子，学生对它们的单调性是有一些预估的.
章老师：也就是说，学生举2和
为底的函数，说明他们对底数以1为分界点有预判.在学生举了这些例子后，你说：“这个问题很好，你怎么会有这个想法呢？”学生回答：“是日常生活的经验.”你肯定了学生的“生活经验说”.现在反思一下，你觉得这个肯定怎么样？
邢老师：我觉得在他脑子里，对底数大于或小于1时的单调性的直觉，不是一个连续变化的过程，是一个离散的过程.但是我觉得，先从离散的做起，再到连续的过程也是可以的.
问题4：在对性质的概括中，你提出了三个层次，包含了如下内容：定义域，值域，图象，过定点，函数非奇非偶，然后是单调性，还有两个函数的对称性，还有是底数a的大小对图象的影响.三个层次非常清楚.问题是，为什么把定义域和值域也作为性质呢？
邢老师：我个人认为，定义域、值域应该不属于性质，应该属于函数概念部分，定义中就应该有定义域和值域.但是平时都那么做，所以我也这么做了.
章老师：这个回答很实在.实际情况就是这样，为什么要把定义域值域作为性质呢？我想，原因之一是平时“求定义域、值域”的问题做得很多；另外，指数函数的值域是有特殊性的，因此作为“性质”也可以.
问题5：课本上非奇非偶函数是作为一条性质吗？
邢老师：苏教版没有写奇偶性这条性质.
章老师：那你为什么把非奇非偶这一条放上去呢？
邢老师：首先，学生在讨论函数性质时已经提到了奇偶性，所以需要做个完整的分析；第二，这个地方正好也是一个对非奇非偶函数认识的一个实例，以此说明非奇非偶函数确实存在，这也是对前面奇偶性研究的一个补充.
章老师：哦，这是考虑到对课堂生成的呼应.
问题6：“函数
的图象与
的图象关于y轴对称”和“图象随a的取值变化越来越靠近y轴”，把它们作为第三层次的性质，你觉得有什么好处？书本上为什么不把它作为性质列出来呢？
邢老师：我觉得这里更多的是让学生去体会，指数函数是一类函数的性质，不同底数的取值会对函数变化有影响.书上不把它列为性质，是因为这节课的主要任务还是研究前面的那些基本的性质.关键还是在于函数性质的研究方法，学生掌握了方法的话，可以自主研究.教材不把它写出来，是防止冲淡主题.
章老师：这里谈谈我的认识.我觉得要明确研究“函数的性质”到底指什么.我认为，这里研究的是一类函数的性质.a虽然是一个字母，可以取不同的值，但它表示的是指数函数的一般形式.对于底数a而言，就是要研究取任意正数时有什么共性，以及0＜a＜1和a＞1时的共性.这两条性质事实上是涉及了两类函数之间的关系，不属于“函数性质”的研究范围.
这样的“性质”有没有机会研究呢？实际上是可以有研究的机会的.比如说，不同增长函数模型的比较；如果对这个问题有兴趣的话，可以设计一个研究性学习课题；等等.但是，把它列为指数函数的性质，还需要再推敲一下.想要提醒的是，不要事无巨细，否则数学就会变得很烦琐了.
问题7：例子的教学中，
比较大小.非常可惜没有展示出来，其实我非常想看这一点的教学.日常教学中好多教师会说，你看，不能用一个指数函数的单调性了吧，怎么办？咱们引进一个中间量1……很多教师是这么教的，这个地方你是怎么教的呢？
邢老师：当时在上这个课的时候，第一个起来回答的学生说，把指数化相同，用幂函数处理.这个学生他学得比较快，后面的幂函数都已经学过了，所以他是可以比较出来的.但是我发现大概有三分之二的学生不能理解他的解法，所以我就引导学生从图象方面加以分析.很多学生能够画出图象，而且从图象上也能够看出来，两个点正好分布在直线y=1的两侧.
章老师：其实你在得出性质后，将应用之前的开场白，说得非常好.其中有一点提到，指数函数过定点（0，1），说明
=1，说明1可以转化为2的0次方，3的0次方……先把图象画出来，找到那个点，然后再回到你刚才提到的那句“怎么用”的话上来.为什么我要强调这个问题呢？
邢老师：性质的教学，我们一方面要掌握基本性质的作用，另一方面也是概念应用的一个过程.你给我的压力太大了.
章老师：我想说的是，概念、性质的教学中，都有举例这个环节，其目的都是为了巩固知识的理解.所以，当学生遇到问题时，一定要有这句话：回到概念再看看？回到性质再看看？