解题从简单开始，本文主要内容关键词为：简单论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
解题是数学学习中的一个核心内容和一种最基本的活动形式.数学解题的简单化原则就是要求解题策略应有利于把比较复杂的问题化为比较简单的问题，使问题易于解决.在中学数学解题中应用简单化原则，常常可以起到“四两拨千斤”的作用，使问题巧妙得到解决.如何让学生在解题中体会简单性原则，运用简单性原则，这就要求教师从身边的教学做起.
一、从核心概念开始，理解、掌握，构建知识网络体系
当前，在数学学习中，学生存在严重错误的倾向——将概念、公式死记硬背，把它看成僵化的条文，造成学生的解题能力不高.数学概念是数学思维的细胞，数学中一切的分析、判断、推理都要依据概念公式、运用概念公式.只有透彻理解，灵活运用概念公式，才能掌握运算的技能技巧，才会有正确、合理、迅速的逻辑论证和空间想象能力.可见，数学概念是解题的理论基础和有力武器，是解题能力的关键所在.
一个数学概念理解不透彻，学生似懂非懂，在学习新知的第一时间就埋下祸根，就会产生连锁反应，导致后面的解题出现问题，直接影响学生的解题能力，形成“欲速则不达”的状况.
以初中阶段学生学习的第一个概念：正数和负数为例.
课本正确的定义：正数：大过0的数.
负数：在正数前面加上负号“-”的数.
学生错误的理解：正数：前面有“+”号的数或前面没有“-”号的数.
负数：前面有“-”号的数.
由于学生在小学所学的数都是正数，所以进入初中学习了正、负数的概念学生就会根据自己的直观思维，主观认为+9、13、
这些前面有“+”号的数或前面没有“-”号的数就是正数.而-6，-100这些前面有“-”号的数是负数.这种主观认识对于具体的数字有可能是正确的，但初中阶段的教学不是停留在直观形象教学中，这时候出现了用字母表示数的形式，所以当老师问字母a，-a是正数还是负数时学生就出现概念的冲突.
学生根据自己的认为：a是正数，因为a的前面是“+”.-a是负数，因为a的前面是“-”.从而形成“错误的规则”，使学生遇到含有字母的式子就不会解题.
例：①若有理数a是负数，则-a是________数.
②若a为有理数，试比较a和
的大小.（很多学生做此题时不经考虑就根据自己前面的“错误的规则”a是正数来解题，没有讨论a的求值范围.这时老师教学时就要明确a既可以是正数、负数、又可以是0，渗入分类的思想.）
学生对正、负数概念的不理解，导致后面教学出现的负迁移越来越厉害.
负迁移（1）：相反数的教学.
相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数.在正数前面添上“-”号，就得到这个正数的相反数.
虽然对前面a是正数还是负数这个概念分不清，但从相反数的概念学生还是能够容易直观得出a的相反数是-a.（前面添上“-”号，就得到这个数的相反数.）
但是若把字母a改为：式子a-b的相反数是________.
这时很多学生都会写：-a-b.（学生在此主观认为在字母a的前面添上“-”号，就可以得到a-b的相反数.没有意识到代数式“a-b”是一个整体.若老师在这里的教学中没有渗入整体的数学思想，就会导致后面教学中出现另一个负迁移.）
负迁移（2）：绝对值的教学
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做｜a｜.由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
学生常在此对正数、负数的绝对值用自己的理解来定义：一个正数的绝对值是正数，一个负数的绝对值是正数.所以当出现：a＜0，｜a｜=-a时学生很不理解，质疑a的绝对值不是a吗？根据他们的理解“正数和负数的绝对值都是正数，不可能会出现‘-’号”这就回到了学生前面的“错误规则”—a是正数上.
④一次函数y=-6-x与两坐标轴交于A、B，点M（-4，0），问在第三象限内是否存在线段AB上的点P，使△PMO的面积是10？不存在，请说明理由，存在，请求出点P的坐标.
以上题目，学生解题时常出错和困惑的根源都是：a是什么数？这是学生对正负数概念产生“错误规则”导致的.所以日常教学时老师要让学生对核心概念理解透彻，熟练掌握，这样学生解题时才能根据题目所含概念的正确定义抓住题目最基本、最本质的知识，化含糊成明朗，使学生构建完备的知识网络系统，减少知识的负迁移，提高学生的解题能力.
又如八年级《用函数观点看方程（组）与不等式》一课，老师觉得难教，学生也不理解：函数与方程（组）有什么联系？何谓用函数观点看方程（组）？而《广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准》也提倡教学中构建和发展函数与方程（组）相互联系的知识体系.如何构建？其实这个构建应从学习一次函数的概念开始.
一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（ｋ，b是常数，ｋ≠0）的函数，叫做一次函数.根据这个定义，教学时不仅要让学生掌握一次函数具有的特点，还要学生发现一次函数y=kx+b实际上是方程（含有未知数的等式），使学生开始构建函数与方程的初步联系，那么在后面的教学中，学生就会理解：何谓用函数的观点看方程（组）.有助于构建函数与方程的知识网络体系.
二、从命题的简单形式入手，归纳、猜想，探求结论
在解题的时候，很多学生往往在某个环节卡住了，但老师一点拨，马上就明白，会做了，这是一种：“想不到”的思维障碍.但有些学生却能突破这个障碍，想到解题的思路，实现起点和目标之间的链接，这实际上是学生的命题联想在起作用.从简单的命题入手建立相应的下游命题，进行命题之间的链接，把这些命题按照一定的需要联系在一起，深深地印刻在学生头脑中，形成了命题联想认知结构，促使学生在解题时想起原有的根源——简单命题，提高学生的解题能力，是解题能力的本质所在.
⑤两个全等的三角形可以拼成三种平行四边形.
⑥以不在同一直线的三点为顶点可以作出三个平行四边形.
⑦图中，△DEF的周长是△ABC周长的一半；△DEF的面积是△ABC面积的四分之一.
⑧在⑦的基础下深入拓展：再分别连结DE、DF、EF的中点得到一个新的三角形，按此方法继续进行下去，则第n个三角形的周长是原来三角形周长的
，第n个三角形的面积是原来三角形面积的
.
从简单命题引申出来的“二手”结论，形成了一个有助学生解题的命题系统，帮助学生了解命题的性质，在解题时起到“柳暗花明又一村”的作用.
例2：简单命题：△ABC绕点A顺时针旋转得到△A'C'，可以知道：
①△ABC≌△AB'C'.
②AC=AC'，BC=B'C'.AB=AB'.
③∠BCA=∠B'C'A,∠CAB=∠C'AB'，∠CBA=∠C'B'A.
④∠CAC'=∠BAB'（旋转角相等）.
在简单命题的已知条件下补充：连结CC'、BB'进一步得出：
⑤△CAC'、△BAB'是等腰三角形.
⑥∠C'CA=∠CC'A，∠B'BA=∠BB'A
⑦因为∠CAC'=∠BAB'，所以∠C'CA=∠CC'A=∠B'BA=∠BB'A.
⑧若旋转角为60°，则△CAC'、△BAB'是等边三角形.
当学生头脑里对这些“二手”结论掌握的越好，那么解题时，他就能够找到条件和结论间的联结，甚至是条件和结论间“神奇”的联结，从而找到解题的关键.
例3：如图，Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC'交斜边于点E，CC'的延长线交BB'于点F.
（1）证明：△ACE～△FBE；
这题只有一个已知条件，就是前面所讲的简单命题：Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的.从这个已知条件可以引申出很多“二手”结论，若学生能对这些结论有清晰的认识，解题时就能突破该题图形较复杂这个难点找出∠C'CA=∠B'BA（“二手结论”⑦因为∠CAC'=∠BAB'，所以∠C'CA=∠CC'A=∠B'BA=∠BB'A），很快得出结论.
三、从基本例题入手，类比、归纳，实现知识正迁移
我们在解题时常会遇到这样的情形：这道题似曾相识，好像做过；或者和以前做过的某道题有类似的地方.这是因为这些题目间都具有“相同元素”，只要把解原来那道题的方法、经验迁移过来，解题时就会达到“事半功倍”的作用.著名数学家陈省身说过：“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家差别在于前者有很多具体的例子，后者只有抽象的理论.”所以学生对概念、命题有了清晰的理会还是不够的，教学时还要从基本例题入手，让学生学会分析例题，掌握“相同元素”，实现知识的正迁移.
例（2010广东广州第24题）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C.
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若
，求△ABC的周长.
这是一道难度较大的综合题，巧妙地融合了垂径定理、内切圆圆心概念、切线长定理、勾股定理、内切圆半径公式.这些知识都是教学的难点和重点.解题时学生若能仔细分析这道题，不难发现其中的图形和问题似曾见过，包含了平时课堂上讲评过、加强训练过的“相同元素”，即教学时强调过的基本例题.
其包含的知识有：
（1）垂径定理.
题目：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤奋与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
这个例题以著名的赵州桥为例，学生容易记忆，但解题时既需要运用垂径定理和勾股定理又渗入了辅助线的做法，有一定难度.所以在此题前可以先以下面的题目入手.
基本例题（课本第82页的练习1）：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
对两道例题的分析归纳，学生不难分解出里面所包含的基本图形和基本方法，解题时顺理成章地运用，化整体为局部，顺利地解决了前面的第一个问题：求弦AB的长.
（2）内切圆圆心概念在解题中的运用.
内切圆圆心的概念：内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，也叫做三角形的内心.
对于这个概念，课本没有对应的例题，为了加深学生对这个概念的理解，教学时可以以下面这题为基本例题.
基本例题：如图，⊙D是△ABC的内切圆，∠C=30°，求∠ADB的度数.
（3）切线长定理.
新人教版九年级上第97页例2：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
讲完例2后接着把上面的题目适当改变一下条件：
△ABC中，∠C是直角，内切圆⊙I与BC、AC分别相切于D、E.
①试判断四边形CDIE的形状，并说明你的理由.
②若此直角三角形的两条直角边的长分别为9，40，试求出线段DI的长度.
在学生完成这两个问以后继续拓展：
③若此直角三角形的三边分别为a，b，c，试求出线段DI的长度（用含有a，b，c的式子来表示）.
对应练习：△ABC中，∠C是直角，AB=5cm，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）
A.15
B.12
C.13
D.14
等学生对直角三角形内切圆的半径r=
了解后就让学生探究一般三角形内切圆的半径公式r=
.
新人教版九上课本第98页的练习2：△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.
通过一系列简单例题的学习，学生根据例题特点、类比、归纳、鉴别出例题的本质，解题时就能迅速识别“相同元素”，把难题分解成比较熟悉、简单的例题和图形，化难为易.从而一道难度较大的综合题被“简单例题”一一瓦解了.
看似简单的题目做起来不简单，看似复杂的题目做起来不复杂，从简单的概念、命题、例题做起，发现规律，提出猜想，加以证明，这是中学数学常用的方法，也是提高数学解题能力的一个重要途径.