数学真理的发展及其对自然观演变的启示，本文主要内容关键词为：自然观论文,其对论文,真理论文,启示论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B5 文章标识码：A
1 数学：作为自然法则的解读者
追溯人类科学文化的发展史，关于数学真理及其对自然运作的阐释机制问题首先是同人类早期文化占统治地位的神话、占卜、占星等文化形式交织融合在一起的。占星术、数术学、数字秘义学、数字神秘主义等都曾是虚假数学真理观念及其对自然理解的方式。在西方中世纪，随着宗教神学的世界观念和自然观念开始支配人的思想，数学与科学真理曾被视为异端而遭到排斥。文艺复兴和近代科学以来，神学一元化的观念开始有限度地兼容包括数学真理在内的科学真理观念。柏拉图主义的数学哲学观念、上帝是一个数学家、上帝所创造的自然界遵循数学法则的信念开始融合并逐步形成占主导作用的数学真理观。数学真理由于与神学真理的同质性而获得来自宗教社会的认可。
数学在近代科学的诞生过程中的重要作用首先是通过天文学、力学和物理学等自然科学的数学化体现的。哥白尼的《天体运行论》是近代科学诞生的宣言书。《天体运行论》是一本用数学语言写成的天文学著作。在《天体运行论》中，哥白尼坚持观察与计算相结合的科学方法，提出著名的“日心说”。在哥白尼对“日心说”的论证中，数学起到了决定性的作用，因为导致哥白尼抛弃托勒密的“地心说”而转向“日心说”的理由之一是后者在数学上是比较简单和统一的。这种对理论体系进行数学化处理应该符合简单性原则和统一性原则的信念在后来的科学革命同样起到了关键的作用。无论是牛顿力学、麦克斯韦的电磁学理论，还是爱因斯坦相对论或量子力学，无一例外地从数学中找到了准确描绘其理论框架的语言。这就充分表明了数学语言对于自然科学的有效性绝不是偶然的，而是因为数学的各种模式、模型与自然现象和自然法则之间有一种内在的、逻辑的和必然的联系。伽利略在1610年说过一段十分著名的话：“哲学（自然）是写在那本永远在我们眼前的伟大书本里的——我指的是宇宙——但是，我们如果不先学会书里所用的语言，掌握书里的符号，就不能了解它。这书是用数学语言写出的，符号是三角形、圆形和别的几何图像。没有它们的帮助，是连一个字也不会认识的；没有它们，人就在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着。”[1]正是因为像笛卡尔、伽利略、牛顿这样的科学家坚信数学在解读自然法则时所起的重要作用，才开创了近代科学这一新的科学发展阶段。数学化的自然科学图景才得以建立起来。
在牛顿成功地给出自然哲学的数学原理之后，法国数学家富里叶、拉普拉斯等人对自然现象进行了更深入细致的数学探索，取得了丰硕的理论成果。与牛顿时代的数学观不同的是，这一阶段的数学观发生了一些深刻的变化。随着宗教改革、启蒙运动和席卷整个欧洲的社会文化生活的科学化进程，神学在数学真理观念中的浓厚色彩逐渐褪去。牛顿、莱布尼兹时代被广为传诵的人在数学活动中的作用仅仅是发现上帝所设计的数学原理的观念被逐步抛弃。取而代之的是“自然规律是为数不多的数学法则的永恒推论”这样的新观念。当时的科学家的共识是，数学真理的本质就是自然真理，自然真理可用数学真理来表述。这种由数学真理表征的自然科学一元性观念占据了整个18世纪后半叶到19世纪前半叶的西方文化中关于数学真理的中心话语地位。
2 数学：对自然真理性的深化与超越
在一切科学研究中，随着认识的深化，数学作为一种工具和语言都是不可缺少的。这样我们就可以理解为什么数学化成为现代科学发展的最突出特点和基本趋势。所谓数学化本质上就是模型化、定量化、理想化和虚拟化。理论物理学是最早从这种数学化的世界观念中获益的学科。被称为20世纪物理学革命并彻底改变了人们关于世界的看法的相对论和量子力学，正是这种数学化思想的典型产物。爱因斯坦曾深刻地洞察到现代科学发展的这一特点。爱因斯坦写到：“按照牛顿的体系，物理实在是由空间、时间、质点和力（质点的相互作用）等概念来表征的……麦克斯韦之后，他们则认为，物理实在是由连续的场来代表的，它服从偏微分方程，不能对它作机械论的解释。实在概念的这一变革，是物理学自牛顿以来的一次最深刻和最富有成效的变革……基础的科学理论原理具有完全的虚构性。”[2]克莱因这样评论道：“现代科学采用的是像场和电子这样的虚构的、理想的概念，对于这些概念，我们仅仅了解其数学定律。经过一长串的数学推导后，科学与感性知觉之间只存在着那么一点但却至关重要的联系。科学是合理化的虚构，而正是数学使之合理化。”[3]罗素在谈到其类型论概念时明确表示：“所有那些类、类的类等都是虚构的。”[4]因此，对于现代科学来说，这种虚拟化和模型化已经是一个日益显著的特征。
数学作为描述物理世界的有效工具和语言，其真理性未必一定是隶属于物理真理的，换句话说，数学实在对物理实在有一种能动作用。这就如伊东俊太郎在《小平邦彦访谈录》中谈到的那样：“不能说物理的实在就一定比数学的实在更可靠，例如说量子力学，物理实在的意义常常是由数学给出的……毋宁说数学在深层次上规定了物理的实在并赋予其意义。”[5]但这并不是说只有数学化才是通向物理真理的惟一方法。例如著名物理学家玻尔就对在物理学研究中采用数学方法持十分谨慎的态度。在当代物理学的前沿探索中，有所谓实验学派和数学学派之分。众所周知，爱因斯坦曾获得诺贝尔物理学奖，但值得注意的是，爱因斯坦却并未因其最重要的贡献——创立了狭义和广义相对论而获奖，缘由何在？英国的迈克尔·怀特和约翰·格里宾在解释斯蒂芬·霍金（英国著名理论物理学家）未获诺贝尔奖时写道：“霍金未能入选的更重要原因是由于瑞典皇家科学院有一个原则：如果一项发明可以得到可验证的实验证据或可观察的证据的支持，这样候选人才能被考虑获奖。然而，霍金的工作当然是未被证明的。尽管霍金理论的数学内容被认为是完美的，但科学甚至仍然无法证明黑洞的存在，更不用说去验证霍金辐射或他的任何其他理论了。”[6]所以，不仅是数学实在，而且是由数学实在赋予意义的物理实在，都不能与自然实在划等号。各种各样的数学化、虚拟化、模型化，作为理论的推测和推导，其客观真理性都有待于实践的检验。
当这种虚拟化、理想化、模型化的理论构造方法是建立在某种经验的、观察的事实基础之上的时候，就是循法自然的。数学的量化特征作为对世间万物及万物之间数量关系的一种概括，可以为自然现象提供极其精确的描述。数学的理论构造可以给出自然形态的极其生动的简化模型。鉴于现代数学发展的新特点，有必要发展一种符号解释学理论，以便在数学对象（数学客体）与物质客体（包含自然、人化自然和人工自然）之间建立一种对应关系（无论是直接的还是间接的）。这种符号解释学能够阐明并沟通理论与现实的关系。这种符号解释学能在数学越来越抽象的理论生成和逻辑延拓与其他科学和现实空间之间形成一种转化机制。数学的理论建构不仅仅是对其现实模型的抽象化，而且对于数学的结构分析也具有重要的作用。著名数学家贝尔奈斯在给王浩的一封信中论述道：“我宁愿把数学客体及其关系的世界比作颜色及其关系的世界，比作乐音及其关系的世界。在所有这些场合中我们都有某种客观性，但是要跟物理实在中的那种客观性区分开来。”[7]这样，数学的客观性便获得了一种超越“客观性”这一概念原本含义的新的实在性和客观性。正是在这个意义上，数学已经超越了其自然真理性，而被赋予了更为丰富的性质。
因此，理论的、形式化的、符号性质的、抽象的数学概念除了能为解释不同的自然现象提供有效的模型和工具外，其自身发展的需要也构成了数学理论建构不可忽视的重要因素。而这种理论的推广和构造可以显示出其对于数学整体结构令人惊叹的统摄效果和预期效应。著名美籍华裔数学家丘成桐精辟地指出：“我记得，仅仅是20年或30年前还有人问我，既然人类见到的只有2维或3维空间，数学家为什么还要研究高维空间。事实上高维流形对于理解低维空间很重要。同时对任意维数的空间分类所引起的数学工具在21世纪的数学起着很重要的功用。”[8]在我们看来，数学真理以其与物理学真理和自然真理既密切相连又有某种距离的复杂关系为自己的真理性质和价值判断定位。数学真理不是自然真理，但却有助于揭示解释自然真理。数学真理是理论真理，它与自然真理之间存在一种同态而非同构的关系。数学真理同时具有现实与超现实、自然与文化两种品质。因此，我们认为数学真理正在从这种新的实在中生长出一个新的维度，这就是数学创造和理论构造的相对自由度。
3 数学的范式革命对自然观变革的启迪
19世纪中叶以来一系列数学变革和革命的结果，必然导致柏拉图主义数学理念的破灭。从科学观和自然观的角度看，数学变革与科学观、自然观的变革紧紧相随。在很多情况下，数学观念和知识的变革常常是科学观和自然观变革的前奏曲。
近代科学诞生之初形成的自然观念，得益于柏拉图主义数学理念与机械论哲学之间形成的必要张力和两者之间的有机结合。“柏拉图－毕达哥拉斯传统以几何关系来看待自然界，确信宇宙是按照数学秩序原理建构的；机械论哲学则确信自然是一架巨大的机器，并寻求解释现象后面隐藏着的机制”[9]。柏拉图－毕达哥拉斯的数学观认为数学的确定性、绝对性和永恒性存在于万物之间，是事物的本质所在。这就与机械论所相信的物质运动具有的必然因果关系和内在规律性相呼应。牛顿力学体系的建立正是这一美妙结合的典范。微积分理论对于描述具有必然性规律的物质运动是绝妙的、不可或缺的工具。整个18世纪，物理学和力学的研究都是在这种科学数学化的氛围中不断发展和进步的。而到了拉普拉斯那里，这种对借助数学获得完全确定的宇宙运动规律的信念达到了其顶峰。拉普拉斯在1812年自信地宣称：“假如有一位智者在任意给定时刻都能洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物之间的相互位置，假如这一智者的指挥巨大到足以对自然界的所有数据进行分析，他就能将宇宙最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中。对这样的智者来说，没有什么是不能确定的，未来同过去一样都历历在目。”[10]
世界真的像拉普拉斯所宣称那样是机械决定论的吗？20世纪以来，科学的发展，特别是数学和物理学的一系列革命，尤其是相对论和量子力学的产生和发展，不断地颠覆着机械论的、决定论的自然观。而相对论和量子力学都是采用更为精致的数学语言得到阐述的。在经典物理中，存在一个外在的（独立于人的观察和人的存在）客观世界，其中时间和空间是各自独立的，并且以一种决定性的方式演化着，其演化方式可用精确的数学方程加以刻画。然而，相对论和量子力学的产生逐步消解了经典的物理学宇宙观。在微观水平上，随机性开始大行其道，“确定性”让位于“不确定性”，概率论和统计学代替了经典的微分方程式。彭罗斯在评价著名物理学家玻尔的物理观时写道：“以中心人物尼尔斯·玻尔为代表的许多物理学家说根本就没有客观的图像。在量子水平上，‘外界’没有什么东西。实在多多少少只是在和‘测量’结果的关系上才呈现。按照这种观点，量子理论仅仅提供了计算步骤，而不想对世界的实际进行描述。”[11]尽管彭罗斯不太赞成玻尔上述过于悲观的看法，他提出用“量子态”的概念赋予量子以客观的物理实在，但彭罗斯承认，量子理论的确改变了人们经典的物理实在观点。物理学家逐步认识到，宇宙在宏观尺度上与微观尺度上服从着不同的定律。
必须看到的是，数学不仅在这一系列科学革命中扮演着范式转化的语言角色，而且更重要的是数学自身新的理论建构对于传统自然观的解构作用以及对于建立一种新的自然观念起到的极为重要的启迪。如果说17、18世纪的数学理论（特别是微积分）奠定了机械论自然观的数学基础的话，那么20世纪以来的数学发展则充分地突破了并变革了传统的自然观念，使人类从微观和宏观两个层面上对自然的认识达到了新的高度。
当代数学发展的一个趋势是从传统的致力于用简化的方法对易于认识的客观对象的研究转移到更多地采用更高深的理论对复杂系统的研究。Griffiths论述道：“尽管有关世界的定律是简明和有序的，但是世界本身并不如此……因为世界是复杂的，就需要较为复杂的模型。”[12]这就为建立新的自然观提供了令人信服的科学证据。
在复杂性理论的研究中，非线性动力系统（通俗称为“混沌理论”）就是这样一个足以颠覆经典自然观的崭新的数学理论。混沌告诉我们，许多系统具有一种“对初始条件的敏感性”的现象（注：科学家通俗化地称其为“蝴蝶效应”：一只蝴蝶翅膀的扇动可能会导致全球气象模式的全面改变。用中国的一句成语形容就是：差之毫厘，谬以千里。）。随着“混沌理论”的诞生，科学家逐步认识到，拉普拉斯完全确定论的一个错误就在于人们无法精确地测量系统的初始状态。当人们做出初始测量（不可能无限精确，亦即有一定的误差）后，相继的预测会不断的放大误差，最终使得预测变得毫无可能。伊恩·斯图尔特写道：“混沌正在颠覆我们关于世界如何运作的舒适假定。一方面混沌告诉我们，宇宙远比我们想的要怪异。混沌使许多传统的科学方法受到怀疑，仅仅知道自然界的定律不再足够了。另一方面，混沌还告诉我们，我们过去认为是无规则的某些事物实际上可能是简单规律的结果。自然之混沌也受规律约束。过去，科学家往往忽视貌似无规则的事件或现象，理由是，既然它们根本没有任何明显的模式，所以不受简单规律的支配。事实并非如此。”[13]混沌正逐步揭开有序与无序之间关系的面纱，其理论影响十分广泛。可以期待的是，随着混沌理论等新的数学理论的发展，人们对自然观的认识将会发生本质的变化。
概括起来，我们可以清楚地看到数学理论的发展与认识水平对自然观念的变革的重要性。首先，数学的各种理论常常为物理学等学科的理论突破提供绝佳的语言工具，例如微积分之于牛顿力学；偏微分方程之于麦克斯韦的电磁学理论；黎曼几何之于爱因斯坦的广义相对论；随机数学之于量子力学等。其次，数学自身的理论发展直接作用于对自然观的变革。例如维纳的控制论、查德的模糊数学、托姆的突变理论、分形几何学、超弦理论和非线性动力系统等。
随着自然观的变革和人类认识自然能力的提高，一幅新的人与自然的关系图景将展现出来。自然与文化，科学主义和人文主义是有其内在冲突的，其根源是长期以来关于人与自然关系的对立观念。近代科学产生之初诞生的主客二分的自然观以及相应的工业革命发展模式，经过几个世纪的实践，已经证明其构成了对于人与自然和谐关系的严重损害。21世纪的社会发展和经济增长，必须考虑到维护人与自然的和谐性和统一性。马克思就精辟地论述道：“人同自然界的完成了的本质的统一，是自然界的真正的复活，是人的实现了的自然主义和自然界的实现了的人道主义。”[14]在马克思那里，人文思想、人文精神与科学进步不是对立的，而是相互协调的。从19世纪后半叶和整个20世纪数学与科学的发展看，马克思的科学与人类进步观确实指明了时代与文明发展的方向。
在当代，随着生态价值观的兴起和“可持续发展”战略的提出，要求建立一种新型的人与自然的关系，马克思关于人与自然本质统一的设想正逐步成为现实。从物质文明的角度看，当代数学观念融自然、人、社会于一体，致力于消除人与自然的对立，并用其高、精、尖的数学技术引领高新技术的浪潮，在信息时代创造高效率、低能耗的新型生产力范式，为实现可持续发展战略提供必要的理论和技术支援。
收稿日期：2003-08-01