“同课异构”的比较、反思与改进——从“余弦定理”两种教学设计谈起，本文主要内容关键词为：余弦论文,两种论文,定理论文,教学设计论文,异构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“同课异构”是指不同的教师面对相同的教材，结合所教学生的实际情况，根据自己的理解设计出不同的教学案例，展示出不同风格的一种教学形式.“同课异构”能让我们在比较中反思，在反思中理解教材、领悟教学.本文通过对“余弦定理”的两种教学设计的比较分析，笔者谈一些想法与同行交流.
一、案例背景
“余弦定理”是《数学5》中，继“正弦定理”之后的内容.教学目标是掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.教学重点是余弦定理及其证明过程，难点是余弦定理的推导和证明.
二、两种设计
案例1 此案例的设计大致分成如下五个环节：
（1）创设情境，提出问题.
问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通.现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A、B两点间的距离（图1）.清想办法解决这个问题.
（2）构建模型，解决问题.
学生提出各种方案，如先横拍，然后根据比例尺算出距离，利用等高线量出距离，等等.也有学生提出在远处（不在AB及AB的延长线上）选一点C，然后量出AC、BC的长度，再测出∠ACB，△ABC是确定的，就可以计算出AB的长.教师请三位学生板演其解法，他们的解法分别是构造直角三角形、利用向量、建立直角坐标系.之后，师生共同评价板演.
（3）追踪成果，提出猜想，
教师引导学生探究问题1的解题过程，是否可以作为余弦定理的证明过程呢？学生经过讨论得出结论：若把第一种解法（构造直角三角形）作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种（利用向量等式数量化）和第三种解法（建立直角坐标系）可以作为余弦定理的证明过程，最后教师总结.
（4）探幽入微，深化理解.
教师总结应如何观察等式，从哪个角度观察等式，教给学生观察的方法.
之后，教师引导学生反思，学习“余弦定理”的用途.学生总结出，它可解已知两边和它们的夹角的三角形.
（5）学以致用，拓展延伸.
练习1：在△ABC中，若a=3，b=5，c=7，求角C.
思考题：正弦定理与余弦.定理之间是否存在着联系？能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？
案例2 教师首先提出问题：我们在证明正弦定理时，利用将三角形中的向量恒等式
数量化，得到了正弦定理.你还有其他方法将这一向量等式数量化吗？数量化后可以得到什么结论？
在证明正弦定理时，是利用了数量积将向量等式进行数量化的，而此时的数量积又是采用了最特殊的垂直的位置关系.学生经过探索，欲将向量等式数量化还可以通过平方.教师请三位学生板演，并共同评价.
之后，师生共同探讨余弦定理的过程能否作为定理的证明过程，并归纳总结余弦定理的特征以及定理的适用条件，最后进行了课堂练习.
在得到余弦定理之后，案例2的教学设计基本上与案例1相同.
三、设计反思
本节课是概念课，完整的概念教学应包括以下内容：（1）背景引入；（2）具体例证的属性分析、比较、综合；（3）概括共同本质特征得到概念的本质属性；（4）下定义（准确的数学语言描述）；（5）概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；（6）用概念做判断——形成用概念做判断的“基本规范”；（7）概念的“精致”——建立与相关概念的联系.
案例1基本上涵盖了上述几个环节，各个环节的过渡也比较自然，整个教学设计自然而流畅.通过问题串的设计，较好的调动了学生的积极性，学生的参与度比较高，应该说是一节比较成功的概念课的教学设计.
案例2与案例1相比，不同之处在于得到余弦定理的方式.案例1是在解决实际问题中，通过对所得结论进行反思、一般化后得到了相应的三个结论，之后再研讨具体问题的解决过程是否能作为定理的证明过程而得到余弦定理；案例2是延续正弦定理的证明方法，通过提出问题“还有其他方法将这一向量等式数量化”而得到余弦定理的，一般情况下，概念课的引入通常会从以下三个方面入手，即实际应用的需要，利用类比引入以及数学知识发展的需要，即从简化运算的需要来引入.所以，案例1和案例2的引入各有千秋.
但是，笔者认为如果按照案例2的引入，不如将此案例改进为“正余弦定理（包括射影定理）”的单元教学，进行一次探究实验.
四、案例改进
“正弦定理、余弦定理、射影定理”的教学设计.
本单元的设计大致分成以下五个环节：
（1）创设情境，提出问题.
问题1：在三角形中会存在一些向量等式，比如
.同学们是否想过，我们有几种将其数量化的方法？
设计意图：通过总结向量等式数量化的方法，得到正余弦定理、射影定理，并在此过程中感受三个定理之间的关系.
（2）探索方法，解决问题.
学生回顾向量等式数量化的方法，相互间进行讨论得出结论，将向量等式数量化需要通过数量积完成，而使用哪一个数量积可以有如下几种方法：
（3）追踪成果，获得定理.
教师提出问题：前面三种方法的解题过程，是否可以作为三个定理的证明过程？学生讨论，得出结论：三种方法均分别可以作为三个定理的证明过程.需要注意的是在方法2中，垂足的位置可能在线段上（所对的角为锐角），也可能在线段的延长线上（所对的角为钝角）.同时，三种方法都需要注意向量的夹角与三角形的内角之间的区别.最后教师总结.
（4）探幽入微，深化理解.
之后教师总结，应如何观察等式，从哪个角度观察等式，教给学生观察的方法.
最后，教师引导学生反思，学习正弦定理、余弦定理、射影定理的用途.学生总结出正弦定理可解已知两个角和一条边的三角形，或已知两边和一对角的三角形.余弦定理可解已知两边和其夹角的三角形，或已知三边的三角形.射影定理可解与垂直相关的三角形.
（5）回顾反思，拓展延伸.
在反思总结正弦定理、余弦定理、射影定理的用途时，学生发现这三个定理都是用来求三角形中边角的值的，也就是说用来解三角形的；对于一个三角形有六个元素，即三边三角.正弦定理、余弦定理是刻画三角形六个元素中四个元素间关系的，而射影定理是刻画三角形六个元素中五个元素间关系的.
教师引导学生研究，欲解一个三角形，这三个定理是否够用？除此之外是否还有其他定理？
学生讨论研究发现，解三角形需六元素知三元素即可，即三边、两边和一角、两角和一边.若知三边，利用余弦定理求角即可解决；若知两边一角，且角为夹角，用余弦定理求边；若角为对角，用正弦定理求角；若知两角一边，用正弦定理求边.当然，在上述过程中，有的三角形可能会多解，同时也会正弦定理、余弦定理并用.这说明正弦、余弦定理即可解决解三角形的所有问题.
那么，除正弦定理、余弦定理、射影定理以外，解三角形还有其他的定理吗？学生经过讨论研究发现，不存在其他定理.限于篇幅，不再赘述.
教师引导学生再研究，正弦定理
学生经过研究发现，三个定理的三个关系式是分别可以相互转化的，知道其中两个就可以得到第三个.
教师进一步引导学生探究，一个定理的三个关系式可以相互转化，那么三个定理之间是否可以相互转化？即能否用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理，用余弦定理证明射影定理，用射影定理证明余弦定理，等等.
学生经过研究发现，三个定理之间是相互等价的，可以相互转化.教师展示学生的研究成果.