培养数学建模能力的基本途径，本文主要内容关键词为：建模论文,途径论文,能力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）强调：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.”因此，在数学教学中培养学生的数学建模能力至关重要.如何培养学生的数学建模能力，既是个理论问题，也是个实践问题，更是我们一直在思考与探索的问题.长期的教学实践表明，下面的5条基本途径是行之有效的.
一、加强基础知识教学，为学生进行数学建模奠定基础
数学建模是指把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题.从这一叙述可知，数学建模在一定程度上为我们再现了一个微型的科学研究过程，这个过程必须以扎实、优化的数学知识结构为基础.一般情况下，学生拥有的知识容量越大，已有的数学认知结构越优化，进行数学建模活动的可能性就越大，产生新思想、新方法的概率就越大.因此，要培养学生的数学建模能力，首先应加强基础知识的教学，这里的基础知识应为基本知识、基本技能、基本思想与基本活动经验.对这些知识的学习，我们的做法是让学生“经历三个过程，参与一个活动”：
第一，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握有关数与代数的基本知识和基本技能；
第二，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基本知识和基本技能；
第三，经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基本知识和基本技能；
第四，参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.
经过长期这样的训练，学生就能扎实掌握基础知识，从而具备进行数学建模活动的“源泉”和“资本”.
案例1 铁桶内的水升高了多少？
一个底面边长分别为20 cm、25 cm，高为50 cm的长方体铁桶内，装有30 cm深的水.现把一个底面为正方形边长为10 cm，高为35 cm的长方体铁块放入铁桶中，铁桶内的水将升高多少？
这是在学生学完了“一元一次方程”一章后，笔者让学生解答的一道题目.结果有近一半学生的解答是错误的，解答过程为：
解：设铁桶内放入铁块后，水的高度为x cm，
因为铁桶内有30 cm深的水，长方体铁块的高为35 cm.
所以把铁块放入铁桶内，水不能淹没铁块.故应有20×25×x-10×10×x=20×25×30.解得x=37.5.
37.5-30=7.5（cm）.
答：铁桶内的水将升高7.5 cm.
为了引导学生对自己的解答做出评价，笔者问其中一名这样解答的学生.
师：既然水的高度为37.5 cm了，而铁块才35cm高，水还不能淹没铁块吗？
生：能！
师：可你假设的是水不能淹没铁块呢？这不是相互矛盾吗？
学生支支吾吾，不能自圆其说……
为了让学生知道究竟错在哪里，笔者拿来一个盆子和一块砖头，演示向盆内逐渐加水的实验，在水即将淹没砖头时，要特别向学生提醒，并让学生思考水淹没砖头的条件，之后，提问学生“铁块放到水里就一定被水淹没吗？”学生在看到演示后，终于发现了上述解答的错误所在.原来，将长方体铁块放入铁桶内，要考虑铁块被水全部淹没和部分淹没两种情况.而前面的解答只是考虑了铁桶内的水升高后不能淹没铁块这一种情况，所以必然出错.
正确的解答如下：
解：设铁桶内放入铁块后，水的高度为x cm.
（1）如果铁桶内的水升高后不能淹没铁块：则有20×25×x-10×10×x=20×25×30.
解得x=37.5.
因为37.5＞35，这说明铁桶内的水已经淹没了铁块，与假设“铁桶内的水升高后不能淹没铁块”相矛盾，故不符合题意，应舍去.
（2）如果铁桶内的水升高后淹没了铁块：则有20×25×x-10×10×35=20×25×30.
解得x=37.
37-30=7（cm）.
所以铁桶内的水将升高7 cm.
要正确解答这道题目，学生除应具备列方程、解方程、分类讨论的思想等相应的数学基础知识外，还要有一定的生活经验.学生只有从自己的生活经验出发，通过对实际问题进行认真的分析与思考，才能够正确建立方程模型，并给出解答.在解答的过程中，学生还能进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”的内涵.
此案例告诉我们，要培养学生的数学建模能力，必须重视基础知识的教学，如果学生对基础知识的学习不够扎实，就不能形成优化的数学认知结构，也就不能灵活运用这些知识解决有关的问题，培养其数学建模能力就成为一句空话.
二、实施问题解决策略，渗透数学建模思想
所谓数学建模思想，就是把现实世界中有待解决或尚未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，将新问题归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识求得问题解决的一种数学思想和方法.渗透数学建模思想的方法有很多，实施问题解决策略是其中一个非常有效的方法，因为问题解决不仅仅是数学课程的目标，而且还是一个发现的过程、探索的过程、数学建模的过程.
这个问题对于教师来说非常简单，不过就是一道平常的几何证明题而已，只要添加一条辅助线，建立一个直角三角形模型即可.类似这样的问题，教师要把自己猜测的心理活动“坦率”地告诉学生，从而有利于培养学生的想象能力、直觉思维能力.具体说来，可以按照“缕析问题信息——确定求解方案——实施问题解答——反思解题过程”的步骤进行.
（1）缕析问题信息
数学问题作为一种有待加工的信息系统，主要由条件信息、目标信息和运算信息三部分构成.这一步主要是要求学生理解和感知数学问题中的信息元素，明确问题所提供的条件信息和目标信息.对基本信息的感知要做到全面而完整，特别是对那些综合性强、关系复杂的问题，要注意发现问题中的隐性信息，充分挖掘有用的信息，这对问题解决的顺利实施至关重要.所谓明确条件信息，是指罗列明显条件，挖掘隐含条件，弄清条件的等价说法，对某些条件做适合解题需要的转换.所谓弄清目标信息，是指罗列解题目标，分析多目标之间的层次关系，弄清目标的等价说法，追求目标成立的充分条件.
对照图1，首先明确运算信息，它是证明题.已知的条件是：△ABC是任意三角形，AD是BC边上的中线，BC=a，AC=b，AB=c.目标是证明BC边上的中线和三条边之间的关系等式
（2）确定求解方案
一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题不断地转化成已知问题的过程，这是解决数学问题的基本策略.这一环节就是把数学问题中呈现的主要信息同解决者原有认知结构中的相关知识和方法连接起来，并以这些已认知的知识和方法作为解决新问题的依据和基础，重新组合演化成解决新问题所需的新策略.在缕析问题信息之后，我们必须弄清已知的条件和结论之间的联系，从而探索解题途径，这是整个解题过程的中心环节.为了得到问题的解法，应该确定一个解题步骤.
对于此案例，可以看到，目标的特点非常突出，是中线和三边的平方之间的关系.那么，哪些知识与边的平方有联系呢？这就想到了勾股定理.要使用勾股定理，只要作辅助线AF⊥BC，垂足为点F（如图2），构造直角三角形模型就可以了.
根据以上分析，拟订解题计划如下：
①作辅助线AF⊥BC；
②建立关系式①和②；
③消去DF，整理成目标的形式.
（3）实施问题解答
实施问题解答就是将前面制定的求解方案付诸实施，使问题达到目标状态.所以，这一环节主要承接第二步骤的思考，从某一思维起点出发，按照既定的解题思路，对数学问题实施有序地推导、运算，直到得出正确的问题目标结果为止.并且要认真整理，用确切的数学语言将解题过程表述出来.在表述的过程中要求层次分明，条理清楚，文字精练，格式规范，合乎逻辑，并仔细地检查每一步骤.
对于此案例，在具体解答时分2种情况：
①当AB≠AC时，不妨设AB＞AC.作AF⊥BC，交BC于点F（如图2）.
在Rt△BFA和Rt△DFA中，由勾股定理，得
（4）反思解题过程
数学问题获得求解，并不代表整个解题过程的终结，还需对上述整个解决问题的过程做反思回顾，主要是看结果是否正确，推理是否合乎逻辑，步骤是否完整，以便及时查漏补缺，纠正错误.简单说来，这一过程的任务有二：一是检验求解结果；二是评价解题策略.上例因为是证明题，所以只需保证推理的正确性就行了，从推理的每一步看，依据都充分，从讨论上看，未遗漏情况，因此证明是正确的.
这个问题解决的关键是作△ABC的高AF，构造直角三角形模型.在解题教学中，要把重点放在引导学生对解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程上，这样就能使学生学会独立思考.并在问题解决的过程中体验到通过建立模型转化问题的重要意义.长期坚持这样的训练，学生自然会形成数学建模的意识和思想.
三、注重应用题的教学，培养学生通过建立模型解决实际问题的能力
数学课的根本目的就是使所有学生获得解决他们日常生活中所遇到的实际问题的能力.在数学学习中，几乎所有的知识点都可以作为应用题的“源材料”，或者说生产、生活中的大量问题都可以应用数学知识加以解决.因此，在数学教学中，应大力加强应用题的教学.解数学应用题的过程，实质上就是利用数学化的方法，把实际问题抽象、转化为数学模型，然后通过解答数学模型达到解决实际问题的思维活动过程.我们在应用题的教学中，常见的数学模型主要有：（1）方程（组）模型；（2）不等式（组）模型；（3）函数模型；（4）几何模型（或三角模型）；（5）统计模型；（6）概率模型；等等.学生在用上述模型解答应用题的过程中，能体验到数学与日常生活及其他学科的联系，感受到数学的实用价值，增强数学的应用意识，建模能力自然也会得到发展和提高.
案例3（2010年安徽·芜湖卷）金属框围成的图形的最大面积是多少？
用长度为20 m的金属材料制成如图4所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m.当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？试求出金属框围成的图形的最大面积.
此案例从实际问题（求金属框围成的图形的最大面积）出发，考查了学生对等腰三角形和矩形的性质、二次函数的解析式及性质的掌握情况和利用这些性质解答实际问题的能力.解决的关键是通过对实际问题进行抽象概括处理，建立起二次函数模型.
以学生学习或生产生活中的实际问题为背景，让学生经历“建立模型——求解问题”的过程，恰好“复原”了“问题情境——建立数学模型——求解、应用和拓展”的教材编排体系，同时还教育学生在遇到实际问题时，要学会用数学的知识进行科学分析，提高了学生对“数学即生活”的认识.我们在教学中，要时刻注意综合利用有关的教育资源，从多角度、多层次运用所学的数学知识和方法解决生产、生活中所遇到的实际问题，培养学生通过建立数学模型解决实际问题的能力.
四、创设恰当的问题情境，引导学生积极进行建模活动
《标准》指出：“数学教学应从实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促进学生在教师指导下的生动活泼地、主动地、富有个性地学习.”经过长时间的探索，总结出创设问题情境的常用方法有：
（1）从数学发展的实际需要出发创设问题情境；
（2）借助于生活实际创设问题情境；
（3）借助实验操作创设问题情境；
（4）根据有关的新闻或资料创设问题情境；
（5）从故事、游戏中创设问题情境；
（6）从与其他学科的联系中创设问题情境；
（7）从数学文化中创设问题情境.
案例4 （2010年河北卷）机械传动问题.
观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图5（1），图5（2）是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米.
解决问题
（1）点Q与点O之间的最小距离是________；点Q与点O之间的最大距离是________；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置之间的距离是________.
（2）如图5（3），小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小.”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是________；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.
分析：各地的中考题中经常出现这样的问题：提供一个学生熟悉的生活材料，要求学生能够从给出的问题情景中经过分析，找到解决问题的规律和方法，灵活运用有关知识加以解决.这样的问题题型新颖，体现了课改精神，也逐渐成为中考命题的热点问题.
此题以机械装置为模型，考查其中蕴含的数学知识，培养学生的观察、分析和解决问题的能力.
（1）观察机械模型的工作原理图5（2）可知，当点Q滑动到点H时，点Q与点O间的距离最小，为OH的长度；当点Q滑动到Q、P、O三点在同一条直线上时，点Q与点O间的距离最大，为OP+PQ.当点Q移动到最右端时，△OHQ为直角三角形，此时，HQ=
，同理可知，当点Q移动到最左端时，与点H的距离也等于点Q移动到最右端时与点H的距离.
（3）①观察图5（2）可以发现，当PQ⊥l时，点P到l距离最大是3分米；
②如图6，在Rt△PDO中，OP=2，OD=OH-HD=1，所以∠DOP=60°.从而得到∠POP′=120°，这就是扇形面积最大时圆心角的度数.作为补充，我们还可以让学生求出这个扇形的最大面积.
在课堂教学活动中，根据不同的教学内容和教学对象，精心创设问题情境，可以在完善学生认知结构的同时，激发学生的探究欲望，强化学生的学习动机，发展学生的创新意识，全面提高课堂教学质量.《标准》强调设置问题情境的目的是让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，更好地体现“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的教学模式.学生在教师创设的问题情境下，能积极的进行数学建模活动.
五、注重实验教学，让学生在动手操作的过程中建立数学模型
《标准》在阐述学习内容的要求时，指出学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求论据、给出证明或举出反例”.一提实验，有的人认为这是物理、化学、生物等学科的事，数学课中似乎没有实验，其实，这种认识是错误的.
这里所说的数学实验，是指为获得某种数学理论、探求或验证某个数学猜想、解决某类数学问题，运用一定的物质技术手段，在特殊的环境中（或特定的条件下）进行的一种数学实践活动.学生在这种实践活动中，通过观察、操作、实践、试验等活动，自己发现问题、提出问题、验证问题，总结新结论的过程.数学实验显然是一种学习方式，这种学习方式，不是让学生被动地接受教材上或教师讲授的现成结论，而是让学生从自己已有的“数学经验”出发，通过动手、动脑去获得新的数学经验，逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构.《标准》反复强调要让学生经历探索过程，而承载数学探索过程的最好载体当属数学实验.在教学中应结合具体的教学内容，注意构建这样一种问题情境：使学生在其中能够自由地探索，在操作、观察、讨论、交流、归纳、猜想、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成、数学结论的获得与验证，以及数学知识的应用，通过情境的变换去发现问题、探索规律、验证结论.实践证明，进行实验教学可以帮助学生加深对所学知识的理解；体验到知识被探究发现的过程；概括有关的数学知识；获得重要的数学定理；发现和验证数学规律等.
案例5有趣的“切饼问题”.
对于切饼问题，可以设计成下面的问题，让学生去实验.
（1）如下页图7，1块烙饼切一刀可以切成2块，切两刀最多可以切成4块，切三刀最多可以切成7块.
如果切四刀，切五刀，最多能切成几块？切n刀呢？
用S表示切n刀最多可以切成的块数，试完成下表：
（2）以表中的对应数据为坐标点，描出S与n之间的函数关系所对应的图象.
（3）猜想S与n之间的函数关系是怎样的？并求出S与n之间的函数关系式.
分析：数学实验是教师根据表现某一数学问题的各种元素，创设一定的问题情境，在这一情境下，学生通过观察、操作、实践、试验等活动，自己发现问题、提出问题、验证问题，总结新结论.
（1）学生通过动手切饼，不难得到表格中对应的S值.
（2）在得到S的值后，建立如图8所示的直角坐标系，横轴表示切的刀数n，纵轴表示最多可切成的块数S，描出并用光滑连线连接表中的各点：（0，1），（1，2），（2，4），（3，7），（4，11），（5，16）.
数学实验可以使学生逐步掌握数学研究的规律，培养学生用数学的观点、方法观察事物，从而提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.通过实验活动，学生能亲身感悟解决问题、应对困难的思想和方法，可以逐渐形成正确思考与实践的经验.数学实验既是一种有效的学习方式，也是引导学生建立数学模型的一种常用方法，我们在教学中，应结合具体的教学内容鼓励学生进行实验操作，引导学生在操作的过程中发现知识、掌握知识，并发展他们的思维能力、理解能力、创造能力及数学建模能力.
以上结合具体的实例介绍了5条培养学生数学建模的基本途径，事实上，还有一些途径也是很好的.例如，注重与其他学科知识的结合等，限于篇幅，在这里就不再赘述.希望读者朋友们大胆实践，努力探索并不断积累建立数学模型的有效途径，以不断提高学生的数学建模能力.