数学概念教学中学生学习方法的指导_数学论文

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《普通高中数学课程标准（实验）》指出：丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，使学生学会学习，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学课程追求的基本理念.学法指导是发挥学生内因作用的有力措施.学生学习能力形成的发展规律大致是：由模仿性学习到独立性学习再到创造性学习；由被动学习到主动学习再到积极探索.即掌握了学习的方法，形成了学习的能力，养成了学习的习惯.学习能力的形成和发展正是教师调动学生的学习积极性，在规律和方法方面予以指导，在理念和意志方面予以磨炼的结果.

概念学习是数学学习的重要内容，其学习过程蕴含着丰富的发现问题、研究问题和解决问题的方法，如在函数学习中通过幂函数这一概念的学习，使学生了解研究函数可按照“定义（表达式、定义域、值域）→图象→性质→应用”的主线来展开.研究函数的性质主要是研究有界性（范围）、单调性、奇偶性等.学生可以模仿以上的研究线索，类似地探究指数、对数函数乃至以后的三角函数的有关知识.学生概念形成的过程实质上可概括为三个阶段：感知呈现材料；分析概括定义；剖析理解概念.

一、感知呈现材料——观察、比较、分类、寻找

通过课本呈现的材料和事例、学过的数学知识、日常生活经验知识、经典数学问题、数学实验等归纳的素材，在观察的基础上，采用比较、分类、寻找的方法在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征感觉、体验数学.

案例1 直线和平面垂直的概念（苏教版必修2第33页）.

问题1 在“线面平行”的位置关系中，我们将“线面平行”转化为“线线平行”来研究，体现了降维思想.那么“线面垂直”可转化成哪些要素之间的关系来研究呢？

生：“线面垂直”可转化为直线与平面内的直线的位置关系来研究.

教师请学生拿出纸和笔画出“直线和平面相交”的图形，再从学生所画图形中选择了两个不同的投影至大屏幕上.

问题2 你认为图1、图2有什么不一样？

生：图1中直线是“斜的”，和平面不垂直；图2中直线和平面垂直.

问题3 你怎么知道图2中直线与平面垂直？

生1：感觉它们是垂直的.

生2：感觉不斜.

师：对，图2给大家的感觉就是“不歪不斜”.

这时学生已从比较中区分出两类不同特征的图形，但对直线和平面垂直也还停留在直觉感知的阶段，教师可继续引导学生观察：竖起放在课桌上的课本（图3），思考：

问题4 为使书脊与平面α垂直，书脊所在直线AB与各书页和桌面交线应该有怎样的关系？

通过问题4，引导学生寻找直线与平面垂直的本质特征.

在概念学习的感知呈现材料阶段就是要引导学生在探究的过程中体验观察、比较、分类、寻找的学习方法.

二、分析、概括定义——抽象、概括

通过对背景材料的比较、分析，抽取出数学事实或现象的本质特征，初步形成概念，并以准确的语言明确揭示概念的本质，指出新概念所隶属的更一般的类别，给出新概念的定义特征.

如在案例1中继续请学生思考：

问题5 为了使书脊与平面α垂直，书脊所在直线与桌面上任意一条不过点A的直线有怎样的位置关系？为什么？

接着再回到一般情形，观察图2思考：

问题6 如何用数学语言描述刚才说的l“不歪不斜”？

问题4、5指出书脊所在直线AB和平面上任意一条直线的垂直关系，将学生引入概念的实质，而问题6则又将书本竖放在讲台上这一实例，推广、抽象到一般情形.在问题4、5的基础上，从“不歪不斜”抽取线面垂直的本质属性.这样，通过具体到抽象、特殊到一般的抽象、概括，直线与平面垂直的定义的形成已是水到渠成了.

数形结合是抽象、概括的另一个重要的途径.高中数学中有几何背景的概念、定理与性质比比皆是.由图形直观，经观察发现几何现象，是否具有一般性？如何从数量关系上来刻画、描述这些几何现象？这一过程就是抽象概括的思维活动.数学学习中借助数形结合不仅有利于学生从不同侧面来加深对数学知识的理解，还能提高学生解决实际问题的能力.不论是用数的抽象性质来证明形象的事实，还是用图形的直观来说明数式抽象的含义，它们的结合都是极富数学特征的语言转换，有利于学生对数学知识形成正确完整的表征.

案例2 偶函数的定义（苏教版必修1第41页）.

问题1 观察函数

的图象，它有什么变化规律？

问题2 “关于y轴对称”的含义是什么？

问题3 如何用数量描述两点关于y轴的“对称”性？

问题4 如何用数量来刻画函数

的图象关于y轴的“对称”性？

问题5 你能否给偶函数下一个定义？

通过以上的设问，结合图形帮助学生抽象出偶函数的概念.

类比迁移是概括的又一个重要手法.类比迁移比较适用于两个并列概念的学习.在类比过程中学生完全可以通过自己的思维活动完成主动建构对相应并列概念的理解.如“圆锥曲线的方程”中，椭圆、双曲线、抛物线三部分的内容安排相似，都是按“曲线→方程→几何性质”的逻辑顺序展开的.这就意味着，只要指导学生掌握了学习椭圆的方法，体会到求曲线方程和讨论曲线性质的一般过程，就能基本独立地完成双曲线、抛物线的部分内容的学习.高中教材中指数与对数、指数函数与对数函数、线线角与线面角、等差数列与等比数列、正弦函数与余弦函数等概念都可以看作有特殊关系的并列概念.利用类比策略教学时，学生扎实掌握被类比概念的含义、性质是前提和关键，同时在类比概括中又可以反过来加深对被类比概念的理解.

三、剖析理解概念——辨析、构建

剖析理解概念的任务是概念辨析，发展完善概念的内涵和外延，并构建概念结构支架.

1.概念辨析

引导学生从多角度、多方位、多层次地探索概念变式，透过现象看本质，并从中体会到概念辨析过程中的常用方法，以便运用到其他概念的学习，促进学习迁移.

（1）多元表征.数学概念往往有多种表征方式，这些不同的表征将导致不同的思维方向，可以促进学生多角度理解概念.

案例3 直线与平面垂直的概念，就可以从4个角度进行表征.

①实物：旗杆、长方体的侧棱与底面等；

②图形（图4）；

③文字语言：如果一条直线与一平面内的任意一条直线都垂直，叫做直线与平面垂直；

概念学习中让学生理解不同表征间的联系，并学会选择与转化，就能有效地运用概念进行逻辑判断与推理.

（2）有效记忆.在理解的基础上记忆概念是思维活动的起点.学习过程中应结合所学内容介绍一些有效的记忆方法.

对一些并列的概念如等比数列、等差数列，椭圆、双曲线、抛物线等采用类比记忆；幂函数、指数函数、对数函数性质可采用形象记忆；三角函数的诱导公式采用整体记忆.对于纷繁复杂的数学知识，我们可以根据知识之间的联系，采用系统的记忆方法使之组成一个便于记忆的知识网络.

案例4 平行六面体、直四棱柱、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体的概念（苏教版必修2第5页）.

这一组概念之间联系比较紧密，学生常常容易混淆，教学中可以通过网络图来系统记忆（图5）.

（3）特殊形态和非标准形态.特殊形态是从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形.非标准形态是从概念的局部来解释概念的本质特征.

案例5 等比数列的概念（苏教版必修5第45页）.

所谓“非标准形态”指的是那些不常见的或看起来不那么“顺眼”的表达式.概念的“非标准形态”有时更能揭示其本质特征.

案例6 直线和平面所成的角（苏教版必修2第36页）.

（4）正例、反例.很多数学概念（如函数的单调性、奇偶性的定义，正棱锥的定义等）都是采用正面阐述的，若对其本质属性含糊不清，则会引起混淆.教学中的正例和反例有利于“丰富”概念和“纯洁”概念.

案例7 异面直线的概念的辨析设计（苏教版必修2第24页）.

变式1 空间两条不相交的直线是异面直线；

变式2 两条不平行的直线是异面直线；

变式3 分别在两个平面内的两条直线是异面直线；

变式4 平面内一条直线和平面外的一条直线是异面直线；

变式5 不同在一个平面内的两直线是异面直线.

这种辨析容易使学生从正、反两方面明确异面直线的本质，有效防止误解.

2.建构支架

新知识的学习是以已有知识经验为基础的一个主动的意义建构过程.学生头脑中所拥有的概念的心理表征是相互联系的，具有一定结构关系.理解一个数学概念就是指新概念的心理表征已经成为主体已有的概念网络的一个组成部分，即与已有的认知结构建立了联系；这种联系既有逻辑的，也有认知的.指导学生建构支架，就是建立稳定、灵活、丰富的联系，实现概念转变学习.

（1）逆向问题.从逆向思维的角度来理解概念，固化认知结构.

案例8 在等差数列概念学习后思考（苏教版必修5第33页）：