人文教育的比较研究--以“功能及其表征”为例--高中数学课程标准实验教材的“北京师范大学”与“北京师范大学”课程标准教材的比较研究_数学论文

普通高中数学课程标准实验教科书人教A版与北师大版的比较研究——以“函数及其表示”为例，本文主要内容关键词为：为例论文,教科书论文,课程标准论文,人教论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      教科书作为依据课程标准和学生接受能力编写的教学材料，它是课程目标与教学内容的具体体现，在一定程度上决定了学生的学习机会和学业成就[1].中小学教科书的比较研究成为近年来基础教育研究的热点之一.

      之所以选择“函数及其表示”作为具体的研究载体，对普通高中数学课程标准实验教科书人教A版（以下简称“人教A版”）与普通高中数学课程标准实验教科书北师大版（以下简称“北师大版”）两个版本的教科书进行比较分析，主要源于以下两方面的原因.其一，人教A版与北师大版是在全国范围内使用面较广的教科书，具有一定的代表性；其二，函数概念在数学及中学数学课程中具有重要地位.自变量数学产生以来，函数概念一直处于数学的核心地位.德国数学家克莱茵（F.Klein）称函数为数学的灵魂[2].20世纪以来，世界各国的中学数学教学内容从以解方程为中心转到以研究函数为中心[3].但函数概念又是学校数学学习中最难掌握的概念之一.在中国，关于函数的教学，有许多深入的研究从不同层面展开，如，从心理学视角研究学生函数概念的发展[4～5]；从高中数学新课程实施的视角研究函数概念的教学[6～7]；从数学发展的视角研究函数的教学[8～9]；从课堂教学实践视角研究函数的教学[10～11]等.研究者拟从教科书比较的视角研究函数的教学，通过揭示两版本教科书在函数概念呈现等方面的特点，为高中数学教科书的修订提供参考建议，为高中数学教师选择“函数及其表示”的教学素材及创造性的教学设计提供参考建议.

      二、研究设计

      （一）研究对象

      研究比较的对象为人教A版与北师大版中关于“函数及其表示”的内容.比较的具体内容见表1[12-13].

      

      需要说明的是，人教A版中映射概念在“函数的表示法”中出现，而北师大版通过独立的小节引入映射概念；人教A版“复习参考题”仅指与“函数的概念”、“函数的表示法”密切相关的题目；北师大版“复习题二”仅指与“生活中的变量关系”、“函数概念”、“函数的表示法”、“映射”密切相关的题目.

      （二）研究的具体问题

      两版本教科书如何呈现“函数及其表示”的结构体系？如何引入函数概念？如何选取函数实例分析函数的定义域与值域？如何表示函数？如何引入映射概念？如何配置习题？

      （三）研究方法

      基于人教A版与北师大版教科书的文本材料，以内容分析和比较研究为主要研究方法.

      三、研究结果

      （一）呈现“函数及其表示”的路径基本一致

      北师大版呈现“函数及其表示”的路径：

      

      为了促进高中学生对函数概念本质的理解，两版本教科书都列举了许多函数实例，再引入集合语言描述的函数概念，然后结合实例分析函数的定义域、值域及函数的3种表示方法，最后再把函数概念推广为映射概念.

      虽然两版本教科书呈现“函数及其表示”的路径基本一致，当仔细地研究发现，它们在“函数概念引入方式”、“例析函数定义域、值域的方式”、“映射概念的引入方式”、“习题的配置”等环节都存在明显的差异.

      （二）引入函数概念的方式存在明显差异

      两版本教科书引入函数概念的方式见表2.

      人教A版通过对3个函数关系的分析，建立了变量与数集之间的联系，以归纳的方式非常自然地得到了对应观下的函数概念，揭示了变量观下的函数概念与对应观下函数概念之间的联系.

      变量概念首先由古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus）引入，它“代表诸如线段、角、面积、体积、时间这些能够连续变动的东西”[14].在古希腊，为了避开无理数，对于量是不指定数值的，并且不同的量不能参与运算.笛卡儿（R.Descartes）在《几何学》中用线段表示面积、体积等各种几何量，从而使各种不同类型的量参与运算成为可能.尽管所有的变量（量）都可以用线段来表示，但欧拉（Leonhard Euler）并不满意，他竭力消除变量概念对几何的依赖，他从数集的角度认识变量.在1748年出版的《无穷分析引论》（第一卷）中他写道：“变量可以取任何数……这样变量就包含着正数和负数，整数和分数，无理数和超越数等一切数，零和虚数也一样在它的取值范围中.”[15]研究发现，在欧拉的观念中，变量等同于数集.欧拉从集合的角度认识变量为函数概念由几何形态向代数形态的转变奠定了基础，今天，人教A版从集合的角度认识变量为由变量观下的函数概念向对应观下的函数概念的过渡作了准备.

      

      北师大版以高速公路为背景，列举了3个函数关系及1个非函数关系，一方面旨在体现函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，另一方面旨在揭示函数关系是一类特殊的关系.但北师大版并没有通过对所列举函数关系的归纳而得到函数定义，基本上直接给出了对应观点下的以集合语言叙述的函数概念.北师大版所陈述的重新定义函数概念的依据——“几百年来，随着数学的发展……”可能远离了高中学生的数学活动经验.

      （三）例析函数定义域和值域的方式各有侧重

      两版本教科书例析函数定义域、值域的方式见表3.

      

      北师大版对函数定义域与值域的分析选用了物理学中的3个函数关系，旨在加强数学与其他学科的联系，同时这3个函数关系分别用解析式、列表、图象3种形式表示出来，注重在函数的不同表示形式下分析它们的定义域与值域.但北师大版只分析了第三个函数关系的定义域与值域，而对前两个函数关系，只分析了它们的定义域，对3个函数关系定义域、值域的分析方式不够统一.

      人教A版对函数定义域、值域的分析与义务教育数学课程的衔接非常好，在义务教育阶段，教科书虽然呈现了一次函数、二次函数、反比例函数，但并没有分析它们的定义域与值域，这一缺憾在人教A版高一年级的教科书中得以弥补.但人教A版只分析了解析式情形下确定函数的定义域与值域的问题，没有关注到函数不同表示形式下确定定义域与值域的问题.

      （四）对“函数的表示方法”的编排方式基本趋同

      两版本教科书都非常注重函数表示的问题，都通过单列小节专门详细讨论了函数的3种表示方法——解析法、图象法、列表法.北师大版分析了每一种表示方法的优势与不足，人教A版则把每种表示方法的特点留给学生思考.总体来看，不管是从内容以及内容的呈现方式上来说，两个版本教科书对“函数的表示方法”的编排方式基本趋同.

      （五）映射概念的相关内容及引入方式均有差异

      两版本教科书中映射概念的相关内容及引入方式如表4所示.

      

      由表4可以看出，北师大版映射的相关内容更为丰富，引入了一一映射的概念，揭示了函数与映射之间的关系，强调了把一般映射数字化或函数化的重要性.

      把一般映射数字化或函数化的思想在高中数学课程中有重要应用，如，利用这一思想在选修数学1、2中刻画随机变量及其分布问题；在选修数学3、4中刻画“信息安全与密码”中的单向函数、“矩阵与变换”中的线性变换、“优选法与实验设计”中的目标函数、“风险与决策”中的损益函数、“开关电路与布尔代数”中的开关电路等[7].因此，北师大版渗透映射数字化或函数化的思想是十分必要的.

      北师大版通过对3个具体的对应关系的归纳得到了映射概念，人教A版则通过弱化条件把函数概念推广为映射概念，并注重从对应关系中辨认映射.

      （六）两版本教科书习题类型及每一类型的数量有差异

      习题是中学数学教科书的重要组成部分，它承载着引入知识、巩固知识、运用知识、培养思维能力、评价学生学业水平等功能[16].人教A版有“思考”栏目，北师大版有“思考交流”栏目，这些栏目要么是为引入知识作铺垫，要么是为巩固知识服务.从功能层面考虑，它们与习题的功能基本一致.因此在研究中把人教A版中的“思考”栏目以及北师大版中的“思考交流”栏目都归于习题的范畴.研究中的“习题”是指“思考”（或“思考交流”）、“练习题”、“节后习题”（在研究中，为了与“习题”区分，称每一节后的习题为“节后习题”）、“复习参考题”（或“复习题”）的统称.在对习题数量进行统计时，如有多次提问的习题，按一题统计，对于有若干小题的习题，则按小题的数量统计[17].

      研究拟从习题类型及对应的数量两个维度对两版本教科书的习题配置进行比较分析.

      从表5可以看出：

      （1）两版本教科书都比较注重“求函数定义域、值域”、“求函数值与自变量值”、“确定函数解析式”等方面习题的配置，当然，人教A版在这3方面的习题量稍大一些.除此之外，人教A版习题还主要集中于“判断函数是否相等”、“从图象中获取信息”、“画函数图象”等方面，北师大版习题还主要集中于“从依赖关系中辨认函数关系”、“列举函数关系与非函数关系”、“辨认映射并表示”、“从映射中辨认一一映射与函数”等方面.

      （2）北师大版有20个习题涉及函数与依赖关系之间的关联与区别，约占习题总量的36%.设置这方面的习题是十分必要的，这些习题有助于学生正确区分曲线与函数图象、方程与函数等概念.其中有12个习题要求从依赖关系中辨认函数关系，这12个习题又可以分为3类：第一类，从曲线表示的关系中辨认函数关系，如，图1、图2、图3是函数图象吗？

      

      

      第二类，从列表表示的关系中辨认函数关系，如表6列出的是一份数学测试选择题的答案.

      

      表6是函数关系吗？

      第三类，从日常生活中的一些依赖关系中辨认函数关系，如，某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否为函数关系？研究者认为还应当再增加一类，即从方程表示的依赖关系中辨认函数关系，如，

是否是函数？增加这一类型习题的目的是揭示方程与函数之间的区别.

      （3）北师大版涉及“映射”的习题量（11个）远远高于人教A版相应的习题量（3个），与人教A版相比，北师大版设置了一一映射方面的习题以及体现映射与函数之间关系的习题.

      （4）人教A版在“画函数图象”、“从图象中获取信息”等方面的习题量明显高于北师大版相应的习题量.设置这方面的习题有着重要意义，因为“树立‘图形意识’是掌握函数性质，学好函数的关键”[7].

      四、研究结论及建议

      （一）结论

      1.人教A版与北师大版都采用了先函数后映射的知识安排顺序

      人教A版与北师大版都采用了先函数后映射的知识安排顺序，这与《普通高中数学课程标准（实验）》的建议相一致.由于学生在初中已经掌握了一些具体的函数关系，这样的安排有利于初高中所学知识的衔接，也符合学生的认知发展规律.但映射概念的引入打断了函数从定义到性质的知识发展顺序，与教材之后函数性质有关内容的联系不够紧密，显得有点突兀[18].

      2.人教A版与北师大版都注重函数内容的关联性

      关联性是美国数学课程的重要理念，也是中国基础教育数学课程追求的目标之一.关联性有两方面的含义，一方面，数学是一个不可分割的整体，许多概念、命题甚至数学分支之间要加强联系；另一方面，数学与其他学科乃至现实生活也要加强联系.

      人教A版在引入函数概念时，通过用集合表示变量的手段把初中函数概念与高中函数概念有机关联起来，同时在例析函数的定义域与值域时所举例子都是学生在初中阶段学过的最重要的3类函数（一次函数、二次函数、反比例函数）；北师大版在第一节就列举了生活中的变量关系；在第二节中又通过物理学中的例子来分析函数的定义域与值域，另外还配置了一些习题企图揭示函数与曲线，函数与方程、函数与映射之间的关联与区别.这些细节充分说明了注重数学与现实生活及其他学科的关联、注重数学不同内容之间的关联是两版本教材所共同秉持的基本理念之一.

      3.人教A版与北师大版对函数概念的关注点既有共性又有差异

      人教A版与北师大版都注重求函数的定义域、值域、函数值以及函数的解析表达式，相比较而言，人教A版注重分析函数的三要素，注重画函数图象以及从图象中获取信息；而北师大版更注重从各种关系中辨认函数关系.

      （二）建议

      1.在教材编写或教学中尝试以“关系”为基础引入函数概念的方式

      从函数概念的发展历史看，在19世纪，傅立叶（Joseph Fourier）、狄利克莱（Dirichlet）等数学家给出了对应观下的函数概念.由于数学严格化的需要，在20世纪30年代末，布尔巴基（Nicolas Bourbaki）学派从关系的角度认识函数，把函数定义在关系的基础之上，而关系就是笛卡儿集的一个子集，可以用有序数对来表示[19].虽然关系基础上的函数定义是现代数学发展的产物，是一个比较抽象的定义，但美国的许多高中数学教科书把函数定义为一种特殊的关系，当然它们并没有给出关系的严格定义，而是通过大量实例说明关系就是一个有序数对的集合[20-21].

      既然北师大版教科书把“关系”分为“函数关系”与“非函数关系”，建议北师大版尝试以“关系”为出发点引入函数概念，用序偶的集合刻画“关系”，把函数概念建立在关系的基础上（当然，有一部分学者反对在中学数学课程中把函数定义在关系的基础上.如，张奠宙，Thorpe，J.A.等学者，他们的观点分别见文[3]以及文[22]）.事实上，用序偶的集合刻画函数概念是一件非常自然的事，因为我们常常用图象或列表去表示函数，而图象或列表仅仅是序偶集合的不同呈现方式而已.如果北师大版首先讨论“变量之间的关系”，其次再讨论“一类特殊的关系——函数关系”，那么前后内容之间的关联性可能会更好一点.

      研究者曾对甘肃省两所师范院校的职前数学教师（大三数学系师范类学生）随机抽取102个样本做了调查，其中有一个调查题目是：你认为｛（1，4），（2，5），（3，9）｝是函数吗？结果有79人（约占77.5%）认为它不是函数，另外还有5人（约占4.9%）没有给出答案或认为无法判断.如果现在的教科书也从关系的角度引入函数概念，常常用有序数对的集合来表示函数的话，可能就不会出现许多职前数学教师错误判断的情形.此次调查还发现，部分职前数学教师对曲线与函数图象之间的关系、方程与函数之间关系的认识还不够清晰.“方程一定是函数”、“函数一定是方程”、“曲线一定是函数”等观点都是比较普遍的，其中，认为“方程一定是函数”的比例达到了40%，“曲线一定是函数”的比例达到了30%.如果在教材或函数概念教学中，多列举一些图象表示的、列表表示的、方程表示的众多“关系”的实例，再启发学生从中辨别函数关系，可能会有助于学生正确区分曲线与函数图象、方程与函数等概念.

      2.使用人教A版的教师在引入函数概念时应提供集合B（上域）不等同于值域的例子

      人教A版以如下方式定义函数概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A……函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域[12].教科书在引入函数概念时提供的3个例子都是集合B完全等同于值域的情形，这可能会使学生产生一个错误的认识：集合B（即上域）等同于值域.尽管教科书强调“显然，值域是集合B的子集”.但学生常常依赖于自己头脑中的函数概念意象（concept image）进行思维[23]，而函数概念意象的建立与学生所接受的函数实例有紧密关系[24]（章建跃、陶维林、邵光华等学者也都强调了函数举例在函数概念教学中的重要性，他们的观点见文[11]以及文[25]）.建议使用人教A版的教师在引入函数概念时提供集合B（上域）不等同于值域的例子，如，图4表示的函数，同时建议利用如图5所示的映射图强调上域与值域的关系，避免学生把集合B（上域）与值域等同起来.

      

      3.在函数的表示方法中尝试补充集合表示法与映射图表示法

      研究者建议在教科书修订或教学中还可以尝试补充两种表示函数的方法，第一，集合表示法，即把函数表示为序偶的集合，各版本高中数学教科书在呈现函数概念之前，都先引入集合概念，目的是“使用最基本的集合语言表示有关的数学对象……”[26].而函数概念是高中数学课程中用集合语言描述的第一个数学对象.因此，不但要把函数概念建立在集合概念基础之上，而且完全可以用集合的语言表示函数，如，｛（1，4），（2，5），（3，9）｝就可以表示一个函数.第二，映射图表示法，这种表示函数的方法在以前高中教科书中是比较常见的，如图4.尽管目前绝大多数的普通高中数学课程标准实验教科书并没有把函数概念建立在映射概念的基础上，但完全可以用映射图的方法表示函数.映射图的表示法具有独特之处，它的优势在于能够直观地揭示函数的上域与值域不同的情形.当然，对于函数表示方法的内容，也可以把它渗透到函数举例，求函数的定义域、值域的内容中，不一定设置专门的小节集中讨论它.

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