应用微元思想解决物理问题的换元技巧，本文主要内容关键词为：物理论文,思想论文,技巧论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近几年高考中出现一类问题，其运动过程或研究对象是非理想化的，因加速度不断变化而无法利用牛顿第二定律与运动学公式直接求位移、时间或速度。有些学生就联想用能量的知识来处理，但面临的困难是无法求某些力的功。因而一筹莫展陷入困境。此类问题的一般解法是微元思想，多数考生有过这种思想的解题体验，但不知如何取元、换元，因而直接影响最终的求和，依然是一头雾水。如何更有效地使用这些技巧呢？下面陈述几种方法供读者参考。
一、应用微元思想的一般思路
就“微元法”的应用技巧而言，首先是取元Δt，视元事物或元过程为恒定，应用相关规律寻找待求量的微元表达式Δy=f（t）Δt，其中f（t）即为权函数。所以“微元法”求和操作y=∑Δy=∑f（t）Δt，实际上是一种以f（t）为“权函数”的复杂的“加权叠加”。可见微元法中所取的“微元”，Δt、Δx或Δv等，最终必须参加叠加演算，所以，对“微元”Δt及相应的量t的最基本要求应该具备“可加性”特征，但有时Δy=f（t）Δt不可加则需要将Δt“换元”为Δx，使Δy=f（x）Δx可加，如：换元后使f（x）=k为一个常量，这时y=∑Δy=∑f（x）Δx=k·∑Δx，∑Δx即为各元过程中的Δx的和，在物体的运动过程中即为位移x或路程s等量。
二、应用微元思想的换元技巧
1.“时间元”与“空间元”间的相互代换
物体的运动过程是变加速的，牛顿第二定律可对状态进行研究，但涉及求一个过程的位移或经历一个变加速过程后的速度，常规应用牛顿第二定律与运动学公式是无法求解的，这类问题可称之为“时、空关系的运动问题”。在某一变加速运动的某时刻t附近取一小段时间Δt，则可视这一小段时间为匀速运动，所以vΔt=Δx，即“时间元”代换为“空间元”。
例1.（2012届南通一模）如图1所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AP和水平绝缘传送带PC固定在同一竖直平面内，圆弧轨道的圆心为0，半径为R。传送带PC之间的距离为L，沿逆时针方向的传动速度
在PO的右侧空间存在方向竖直向下的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的小物体从圆弧顶点A由静止开始沿轨道下滑，恰好运动到C端后返回。物体与传送带间的动摩擦因数为μ，不计物体经过轨道与传送带连接处P时的机械能损失，重力加速度为g。（1）匀强电场的场强E为多大？（2）物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H为多少？（3）若在PO的右侧空间再加上方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的水平匀强磁场（图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端时的速度为
，试求物体在传送带上运动的时间t。
解析：（1）物体从A端运动到C端的过程中mgR-μ（mg+Eq）L=0-0,
此题的“微元法”的应用，首先是取时间元Δt，应用牛顿第二定律，求得速度变化量的微元表达式m·Δv=μ（mg+qE-qvB）Δt=μ（mq+qE）Δt-qBv Δt，这一表达式中有权函数μ（mg+qE）和qBv，前者为常数，后者由于不同元过程中的v不同，所以不具有可加性，因而需要换元即qBvΔt=qBΔx，而∑Δx=L即可加。
2.“线元”与“角元”间的相互代换
在求解曲线运动问题中，运动过程是非理想化的，无法应用牛顿第二定律和运动学规律对过程研究时，也可利用微元思想对状态进行研究，此时将涉及取一小段曲线弧Δl，通过相应规律找到对应量l的权函数后也不具有可加性，所以要对所取“元”的表现形式的转换。如，在圆周运动中应用RΔθ=Δt来换元。
例2.如图2中半径为R，质量为m的匀质细圆环均匀带电，总电荷量为Q（Q＞0），圆环放在光滑绝缘的水平桌面上，环内外有竖直向上的均匀磁场，磁感应强度为B。若圆环以角速度ω绕着过圆心的竖直轴匀速转动，则环上任一点的张力大小是
3.“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换
高中物理研究运动过程常是一维或二维，而非理想的研究对象则是三维的，对于这些非理想的研究对象的处理，可以先从一维运动的角度取线元Δx，再利用几何特征将线元转化为面元或面元转化为空间三维的体元。实质上是对非理想的研究对象进行降“维”处理，如，柱体模型中ΔV=SΔh。
例3.采煤方法中，有一种方法是用高压水流将煤层击碎而将煤采下，今有一采煤用水枪，由枪口射出的高压水流速度为v，设水的密度为ρ，水流垂直射向煤层表面，则煤层表面可能产生的最大压强为______。
解析：该问题解答的关键是确定研究对象，取极短时间Δt，设水枪出口处的横截面积为S，（如图3所示）则冲击到煤层上的水柱的体积元为ΔV=vΔtS，质量元为Δm=ρvΔtS，以水柱为研究对象，据题意要计算可能产生的最大压强，则水对煤层表面的压力要最大，只有碰撞后被弹回的水柱速度变化最大为Δv=2v，由牛顿第二定律可得最大压力
此题的微元思想的应用过程：由于水流是连续的，因此不是理想的研究对象。为满足高中物理对质点研究的特征，因此取质量元Δm，为了把研究对象与空间的一维运动联系起来，所以取时间元Δt，所以利用运动过程和液柱的几何特征，将体元与线元联系起来，即有Δm=ρvΔtS。
4.“孤立元”与“组合元”间的相互代换
对于非理想的物理过程或研究对象利用微元思想取元，并结合相应的物理规律求权函数，所得到的权函数很少有满足f（x）=k即为常数的特点，得到的是如同
等“孤立元”，即不同元过程Δx的相应量x都不同。显然不具有可加性。这种情况下应将“孤立元”转换为“组合元”使所求量的微元表达式具有对称的特征以便加权求和。这类微元思想是高难度的问题，一般学生很不适应。
例4.如图4所示，顶角α=45°的光滑金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度
沿导轨MON向左滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均匀为r。导体棒与导轨接触点的a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0时，导体棒位于顶角0处，求若在
时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。
此题的微元思想的应用过程是，先取时间元，用牛顿第二定律求得所求量的微元表达式，再利用时间元与空间元的互换得到了一个孤立元“x·Δx”，这一思维过程对于考生来说已经相当不容易了，若没有“孤立元”转换为“组合元”间的技巧，此题的解答依然是穷途末路。基本技巧有以下几种形式。
