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为了提高高三课堂教学的有效性，我校举办了高三教师课堂教学比赛.作为评委，笔者全程参与了两天的比赛，对其中一节“裂项法求数列前n项和”的课堂教学，笔者颇有感慨，现与同行交流. 一、教学过程实录 师：前面我们已经学习了求数列前n项和的三种方法——公式法、分组分解法和错位相减法.今天我们继续学习第四种方法——裂项法. （板书：裂项法求数列前n项和） 师：如果数列
满足
，它的前n项和
如何求解？ 生1：可以通过裂项法进行求解，即
，然后求和即可. 师：很好！这就是我们今天所要学习的求数列的前n项和的第四种方法——裂项法. 师：受刚才那个题目的启发，你能求出数列
的前n项和吗？ （学生开始互相讨论） 生2：可以将
分解为
，然后求和即可. 师：很好，仍然是通过裂项法求和的.那么对比一下，两者在裂项相消后有什么区别？ 生3：它们的区别在于相消后剩余的项数不一样，第一个题目是剩余两项，而第二个题目是剩余四项. 生4：还有一个区别在于第二个题目裂项时需要乘以
. 师：两位同学回答得很好.我们在裂项时要注意两个问题：一是将数列
的通项公式进行裂项时要注意等价性；二是裂项相消后，剩余的项数要引起重视. 师：对于数列
的前n项和都可以采取裂项法求解，最后剩余的项数取决于k. 师：其实除了上面的数列可以通过裂项法求前n项和以外，还有一些数列也可以通过裂项法求和，比如：
（3）数列
为公差不为0的等差数列且
，则
教师给出与上面几种裂项法相关的几组题目让学生进行课堂检测，在此例题不一一列出. 师：同学们，请想一想，本节课我们主要学习了什么？ 生5：裂项法求数列的前n项和. 师：那么裂项法求数列的前n项和时，我们应该注意哪些事项？ 生6：裂项时要注意等价性，还有最后剩余几项需要注意. 师：本节课到此结束，同学们再见！ 二、课例点评 本节课遵循“问题解决教学模式”的思路组织教学，通过学生熟悉的数列
入手，逐步深入，探讨如何利用裂项法求一个数列的前n项和.本课也突出了以学生为主体、教师为主导的新课程课堂教学理念，但是从高三课堂教学的有效性上说，笔者认为这不是一节成功的课.因为学生除了掌握了教师给的几种特殊数列可以通过裂项法求前n项和以外，对于裂项法为什么可以求和以及裂项法的本质掌握了多少？如果给一个不是由该教师所归纳的几种特殊数列，学生可以灵活地利用裂项法求前n项和吗？为此，作为教研组长，笔者课后做了一个实验，在原上课班级给出了以下两个问题来检测学生对裂项法的掌握情况，问题如下： （1）我们知道
，那么数列
可以通过裂项法求和吗？ （2）数列
的前n项和如何求解？ 通过检测发现，学生处理得非常不好.很多学生认为第一个问题可以裂项求和，但是在进行求和时发现不可以相消，第二题很多学生无从下手.由此说明学生通过本节课的学习，并没有真正地领悟裂项法求数列前n项和的本质，从而不能灵活地运用. 三、课后反思 1.如何提高高三一轮复习课堂教学的有效性？ 高三一轮复习要重点强调以下三点：一是重视概念和定理的教学，不仅回顾数学概念和定理，还要强调数学概念和定理所涉及的内涵和外延，还有该定理、概念所反映的思想方法、发展历史以及它们的变式与联系；二是通过多题一解、一题多解提炼解决一类问题的方法，揭示方法的本质，从而让学生更好地领悟方法的内涵，并加以灵活运用；三是通过思维训练培养学生分析问题、思考问题和解决问题的能力.“数学是思维的体操”，数学课堂的任务是培养学生的数学素养，发散学生的思维，这是我们教师在设计一节课时必须要重点考虑的一个因素. 提高课堂教学效率的根本出路是潜心研究教材、考纲和学生.设计任何一节复习课都要问自己：（1）这节课考纲的要求是什么？（2）这节课学生已有的知识储备是什么？（3）这节课的后继延展是什么？（4）这节课的地位和作用是什么？（5）这节课的重难点是什么，如何突破难点、突出重点？（6）例题与习题承载的功能是什么？（7）教学过程如何设计才能顺畅自然？ 吃透了教材和考纲，结合学情，教师就可以对教学内容进行再加工，融入自己的思考，形成自己的风格，体现自己的匠心和智慧，这才是课堂教学设计永恒的追求. 2.对于方法性问题的课堂教学应注重什么？ 在高三教学中我们经常发现学生对方法性问题的处理存在三个现象：一是对于常见的解决一类问题的方法遗忘得很快；二是不能通过对题目的合理分析选择恰当的方法，当教师稍作点拨，他们会豁然开朗；三是可以根据题目的信息选择恰当的方法去处理，但是由于方法运用得不熟练导致仍然不能很好地处理问题.其实以上问题的原因归根到底在于学生没有掌握方法的本质，以及方法的适用范围和操作流程，所以对于方法性问题的课堂教学应注重方法的本质、适用范围和操作步骤的探究. 提高方法性问题的课堂教学效率的根本出路是教师如何从实例中提炼方法，并且揭示方法的本质，明确操作步骤.例如2007年安徽省高考理科卷21题，简化以后其实是求解：已知数列
为公差为d的等差数列，且
，求
.其实
的求解应用的是错位相减法求数列的前n项和，它是一个等差数列和等比数列倒序相乘后求和，但是很多教师对于错位相减法求数列前n项和的教学只停留在方法的实用范围和操作步骤上，对于错位相减法的本质是什么不加任何说明，导致当学生遇到一些非常规的问题时无从下手.错位相减法的本质是通过错位相减使等比数列前面的系数降次，所以对于一般的数列
的前n项和都可以利用多次错位相减进行求和，下面以
为例加以说明.
3.裂项法求数列前n项和的本质是什么？
例1 （2011年安徽省高考理科卷19题）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令
（1）求数列
的通项公式； （2）设
，求数列
的前n项和
. 本文只分析第（2）问.由第（1）问知
，则
，通过对通项公式的观察并结合各种求解数列前n项和的方法的适用范围，不难发现应该选择裂项法求和.由于裂项法求和的本质是将原数列的通项公式裂成一个新数列的相邻或相间两项之差，而
与三角有关，所以很自然地想到利用三角恒等变形进行裂项.如果想把两个正切的乘积转化为差的形式，则应该利用两角差的正切公式
将公式变形为
，下面只需要在变形后的公式中令α=n+3，β=n+2，即可将原数列裂成一个新数列的相邻两项之差，从而实现裂项求和.（解题过程略） 例2 （2014年山东省高考理科卷19题）已知等差数列
的公差为2，前n项和为
，
成等比数列. （1）求数列
的通项公式；
本文只分析第（2）问.
山东省考试院给出的答案为：
下面我们可以通过裂项法很简单地加以解决.
新课标指出：在数学教学中要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里.因此，高中数学课程应该返璞归真，努力提示数学概念、法则、结论的发展和本质.我们在方法性问题的教学中要高度重视方法的本质探究，揭示方法的本质，只有这样学生才可以领悟方法的内涵并加以灵活运用.
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