“教学”从“思维”开始，“思维”引导“学习”--基于“几何概率”教学实例的分析_数学论文

“教”中启“思”，“思”中导“学”——基于一节“几何概型”课例的研析，本文主要内容关键词为：几何论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      思考是人类进化发展的本质，因此教人思考是非常必要的.在数学课堂教学中，如果教师的教学仅停留在知识的呈现、识记、阐释以及理解的层面，而不上升到数学的思考、数学研究方法的启悟等，则就降低了数学课堂教学的旨趣和魅力，学生只是“知其然”；但是，如果教师是通过知识在教学之中启发学生思考，在思考之中引导学生学会学习，学生不仅能“知其所以然”，还能使学生的智力得到很好的激发，这才是教学的最高境界.那么，在数学教学中教师如何才能做到“教”中启“思”，“思”中导“学”呢？2014年全国数学教育研究会在兰州西北师范大学召开，会上以普通高中课程标准实验教材《几何概型》的“同课异构”教学作为研究专题，获得了很好的效果.

      几何概型是一节概念课，它是在古典概型的基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限延伸.本节课的教学重点是理解几何概型的概念、特点，并会求解其概率.教学难点是如何由古典概型计算公式类比推导出几何概型的概率计算公式，及如何将实际问题几何化.

      本文针对其中吕娜老师的几个教学片段进行分析，谈几点思考与认识.

      一、挑战生成智慧——教学生学会提出研究性问题

      每节新授课都不纯粹是为了学概念和公式，都是为了解决一个新的问题，而这个新问题用旧知识是解决不了的，必须要建构新的知识、新的方法.因此，新授课也就转变为解决这个新问题的过程，这个新问题的提出也就是本堂课教学的导火索.那么如何让这个新的研究性问题由学生自己提出来，从而让学生“知其所以然”，能够切身体会到学习这节课的必要性.笔者认为，这是新授课教学的画龙点睛之处.

      片段1 提出开放性问题，感受新知

      教师：前面我们学习了古典概型.在学习了这样一个问题后，大家有没有想到一个什么新的问题？

      学生1：古典概型的基本事件是有限个，但是很多实际问题中，基本事件有无数个，所以在当基本事件有无数个时用古典概型公式是解决不了其概率的，那怎样求呢？

      教师：也就是说我们古典概型只解决了一类概率问题，不能解决所有的随机试验.那你现在能举一个例子吗？

      学生2：在吃西瓜的时候，咬一口有的时候吃得到籽有的时候吃不到籽，基本事件的概率不相等，就不是一个古典概型的例子.

      学生3：黑板上圆形区域，投一块磁铁，磁铁是否落入这件事，基本事件是无数个.

      本节课的新问题就是“如何求解非古典概型的概率”.这位教师并没有代替学生思考直接提出，而是在这堂课伊始，抛出两个富有挑战性的问题——“在学习了古典概型后，大家有没有想到一个新的问题？”“能不能自己举出例子？”，启发学生自己提出新问题.这两个问题极具挑战性，不仅具有非常规性、冲突性、开放性，能引起学生一定的焦虑性心理反应，而且学生还不能立即解决，需要经过一番认真思考、挣扎之后才能想出，激起了学生的学习热情.只有经过认真思考，学生才能创造性地提出新的问题；只有会提出新的问题，学生才能体会到学习本节课的必要性.从学生1、2和3的回答情况来看，这两个问题设计较成功，学生思维看似发散，实则通过认真思考都围绕“非古典概型”的特点回答.

      “只会学不会问”，大大限制了学生的创造性.教师通过开放性设计大胆启发学生自己提出问题，不仅能够让学生进行实打实的思考，让学生体会到学习这节课的必要性，还能提高学生的创造能力，开发学生的思维，激发学生生成智慧.

      二、类比生成技能——教学生学会分析、解决问题的一般方法

      数学活动要以学生的已有学习为基础.学生已有的学习、已有的知识是数学活动中新知识的生长点或固着点，以此为基础学习者才能进行有效的自主建构活动.本节内容是在古典概型的基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限延伸.因此，很重要的一个学习方法就是类比研究古典概型的一般方法.因此，教学设计必须关注学生的认知起点，联系旧知，教学生学会类比学习，从而学会分析、解决问题的一般方法.

      片段2 分析问题，探索新知

      教师：那我们把第二个同学的例子提炼一下，看成这样一个问题.

      问题一：取一个边长为2的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.

      学生：结果是

.正方形的面积是4，圆的面积是π，然后用圆的面积比上正方形的面积.

      教师：这个计算式子是古典概型的计算公式吗？

      学生：不是，因为古典概型的计算公式是用符合条件的基本事件数除以总的基本事件数.

      教师：这个例子不是古典概型，但是为什么可以用这么一个式子算出一个我们认为都正确的结果呢？古典概型的概率公式和这个计算式子看形式上面有什么关系？

      学生：古典概型公式中分母——基本事件的总数，用正方形的面积代替了；分子——事件A所包含的基本事件数，用圆的面积来代替了.

      教师：为什么有这种替代？我们分析一个随机试验的概率问题首先考虑什么？

      学生：基本事件，所有基本事件以及符合条件的基本事件.

      教师：那么，这个问题中这三个事件分别是什么呢？

      学生：基本事件是落入正方形内任意一个点，所有基本事件构成一个正方形以及符合条件的基本事件构成了一个圆.

      教师：那么，为什么可以用面积比得到这个概率呢？

      学生：因为所有基本事件数是无限个，数“个数”不行.

      教师：那度量一个正方形和圆的话要用什么呢？

      学生：面积.

      问题一，基本上全班同学都能说出答案，但是难点在于让学生思考“为什么用面积比就能得出结果？”.数学的严谨性表明数学结论的得出是需要严格推理的，并不是你认为公式是这样的就是这样的.为了教学生学会类比学习、缜密思考，这位教师首先引导学生对比古典概型概率公式，发现“圆面积”替代了“符合条件的基本事件”，“正方形的面积”替代了“所有基本事件”；接着让学生类比研究古典概型的一般方法，即先考虑三个基本事件，教学生思考“为什么有这种替代？”学生很容易想到因为基本事件是无数个，所以用面积来度量正方形和圆，最终找到解决问题的方法——面积比.这位教师真正做到了教会学生如何利用类比学习来分析、解决问题，为后续概念课的教学奠定了良好基础，让类比学习生成了学生的技能.

      三、共性生成概念——教学生学会建构、掌握新概念

      几何概型是一个新的概念，数学概念的抽象性决定了教学的特殊性，从直观感知到非形式化表述，再到抽象概括，需要教师有序地组织与展示素材，引导学生从无到有地展开探究.如果还采用传统的“一个定义，几项注意”的方式则很难使学生掌握其本质特征.教师应给学生提供充分的概括本质特征的机会，从共性中抓住本质，明确概念的内涵；然后通过例题与变式的设计，完善概念，明确概念的外延.只有内外双重掌握才算真正理解了几何概型的概念.

      1.总结共性，建构概念

      片段3 概念形成，建立新知

      问题一：取一个边长为2的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.

      问题二：在[0，4]内任取一数，求该数在[1，2]内的概率.

      问题三：在棱长为2的正方体内随机地取一点，求该点恰在此正方体内切球内的概率.

      （教师先引导学生一起解决三个问题，之后利用几何画板对问题一的结论进行验证.）

      教师：到现在我们已经解决了3个问题，接下来我们要解决什么问题呢？

      学生：总结.

      教师：我们从这三个问题能提炼出什么呢？我们是怎样解决这三个问题的？有什么共性？

      本节课，教师为了建构“几何概型”的概念，首先引导学生一起直观感知三个具体问题，采用三个不同测度比（长度、面积、体积），给学生丰富的体验；接着在直观感知的基础上，对其中一个例子，借助信息技术操作确认直观判断，让学生体会数学的严谨性；然后让学生自己总结、概括三个例子的共性，从而让学生从共性中发现其本质特征，即基本事件无限个、等可能以及几何化，进而明确概念的内涵.此时教师因势利导，引导学生给这个概型取名，引出“几何概型”；最后，让学生自己对几何概型进行非形式化表述，并引导学生给出初步定义，留下定义中的悬念.整个过程一气呵成，非常自然，“几何概型”的概念也在共性中自然生成.

      2.变式教学，完善概念

      片段4 例题与变式探究，运用新知

      例1 如图，将圆盘等分成四个扇形区域.现向圆盘投掷飞镖，假设飞镖都能射中圆盘，且射中圆盘上的每一个点都是等可能，则射中红色区域的概率是多少？

      

      变式题 如果要保持概率不变，在圆盘大小不变的前提下，你还可以如何设计红色区域呢？

      例2 某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待时间短于10分钟的概率.

      数学概念的学习，不仅要记住它的定义、认识代表它的符号，要重要的是要真正把握它的本质属性.例1及变式的设计，目的是让学生对概念的内涵准确把握.借助变式题学生设计出很多种方案，这种典型的变式教学，首先改变非本质属性（位置、形状、方向）而本质属性（面积）不变的形式，深化了学生对概念内涵的认识（“只”与长度、面积和体积有关），完善了定义；其次让学生自己动脑设计方案，促进学生智力参与，独立思考，充分发挥和培养学生的想象力、创造力，促进学生思维的发展.例2学生用了三种方式（面积比、长度比、弧长比）求出答案.这样的设计，深化、扩大了几何概型的应用范围，使学生体悟到：对于那些表面看似不完全是几何概型的问题，要先将“事件”几何化，有利于对几何概型外延的准确把握.

      四、引导生成小结——教学生学会概括总结

      一堂课犹如一篇完整的文章，结尾处出色的总结往往能带给读者振奋的情绪，使读者回味无穷，余音绕梁.然而在平时教学中，很多教师重“新课导入”、轻“课堂小结”，课堂小结的存在往往有名无实，那怎样的总结才算有效？课堂总结，并不是教师对课堂的概括、提炼，而是学生基于倾听一堂课的心路历程，回顾并反思自我探索过程中的成败得失、解决问题的方法与思路等.因此，教师可以通过“注意指向”的引导，教学生自己进行全面、细致的总结概括，从而使知识得到升华.

      片段5 课堂小结，升华新知

      教师：学了这堂课之后我们有什么收获呢？我们一般讲收获的时候可以从哪些方面来讲呢？比如：知识内容、解题思路方面，或者我们在处理一类新问题的时候所用的数学方法等等.

      在老师的有效启发引导下，一名学生自告奋勇从三个方面进行总结.一方面从课堂引入总结几何概型的适用范围以及几何概型的基本特征；其次，从三个问题的解题思路总结几何概型的公式；最后从例2归纳出一类几何概型问题的解决方法，即先把问题几何化.

      这位学生细致、全面的精彩总结赢得了在场师生的热烈掌声，可谓是本堂课值得浓墨重彩的地方.那么，学生为什么能概括、总结得如此到位呢？相信教师的注意指向的引导对其发挥着很大的作用.

      新课程理念强调将课堂交还给学生，教师退居幕后，但并不意味着放任自流.由于经验水平、认知和思维能力的限制，学生可能会出现想不到或想不全的现象，但教师又不能直接代替学生思考，那怎么办呢？教师可以通过“注意指向”的引导来启发学生，给学生提供方向.比如，这位教师为了教学生对本节课进行全面总结，通过“知识内容、解题思路、数学方法等”这些注意指向的引导，给学生提供总结的方向，并给学生留有足够的思考时间，才生成了如此精彩的总结.

      教育的任务是使学生的思维得到发展.数学的教学不能只停留在形式上，在关注学生学习知识的同时，更应发展学生的思维，“教”中启“思”，即要在教学中启发学生学会提出问题，学会分析、解决问题的一般方法，学会建构、掌握新概念，学会概括总结等.此外，还要在“思”中导“学”，引导学生在思考之中学会学习.

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