基于“数学理解动态增长模型”的数学理解学习思考_数学论文

基于“数学理解动态生长模型”的数学理解性学习的思考，本文主要内容关键词为：数学论文,性学论文,生长论文,模型论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      数学理解动态生长模型是Pirie和Kieren提出来的，这个模型由8个不同的理解阶段组成，即初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、构造化与发明创造.它直观地描述了学生数学理解的过程和本质，是从认知的观点全面认识数学理解的理论.对于特定教学课题，我们可以把数学理解动态生长模型的理论的核心成分转化为可以操作的内容与方式，实施有效教学.下面笔者将结合一个解题教学的案例，沿着学生解题的心路历程，阐述数学理解动态生长模型对数学理解性学习的指导意义.

      

      （Ⅰ）求椭圆C的方程；

      （Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作一条与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于点M，试判断

是否为定值，请说明理由.

      一、教学过程

      1.点击通法

      （Ⅰ）略；

      （Ⅱ）出于对题意的最直接理解，很多学生先通过取直线l的特殊位置算出

=4.紧接着有学生迫不及待地给出了大家耳熟能详的韦达定理法（解法1），且在求线段AB长时，运用了一般弦长公式

（过程略）.

      2.另辟蹊径

      “韦达定理法”是解决直线与圆锥曲线位置关系的一种最易想到、最易理解的一种解法，但美中不足的是解题过程繁冗、计算量较大.能不能根据此题特有的条件优化解法1呢？教师的追问刚提出，一位发散思维很强的学生迅速给出如下的解法2.

      

      3.变换视角

      解法2之所以比解法1简洁，得益于它对条件的充分挖掘：一是因为直线l′垂直平分线段AB，涉及弦的中点，故联想到“点差法”；二是因为线段AB过焦点，故改用焦点弦长公式.大家能不能从参数选择的视角对解法2进一步优化呢？在教师的进一步启发下，学生得到更简洁的解法3.

      

      通过变换参数虽是很小的视角，但使得解法3比解法2计算量明显减少，思路更加清晰、流畅.

      4.纳故接新

      决定解析几何题计算量大小有两个因素：条件的充分挖掘和思路方法的决策.上述三种解法已给出了较完美的诠释.除了运用弦长公式和焦点弦长公式计算弦长外，大家还能给出另一种更直观的计算弦长的方法吗？（虽然直线的参数方程与圆锥曲线的极坐标方程是苏教版的选修内容，但教师并没有急于说出方法，而是采用了“点到为止”的教育机智）通过师生共同的讨论、交流、尝试，学生自然地想到如下的解法4.

      

      直线的参数方程虽是选修内容，但运用它解决有关弦长问题也很惬意哦！运用直线的参数方程求弦长时，需要注意两点：一是参数t的几何意义；二是

.当大家刚反思完，已有学生跃跃欲试地给出解法5.

      如图2，以右焦点F为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系.

      

      

      涉及焦点弦长度问题，往往可以转化为极坐标系中ρ的几何意义来处理.这样不但可以简化复杂的计算过程，还可以使解决问题的思路整齐划一、行如流水，优化抽象的思维过程.正当师生进行总结反思时，突然有位学生追问“

，若把定椭圆换成一般椭圆是否也有此结论？”说实话，这是笔者事先没有想到的，只好说：“我也不知道，让我们一起尝试、探究吧！”经过大家猜想、讨论、整合，得出结论1.

      5.登高望远

      

      正当大家对所得结论“津津乐道、沾沾自喜”之时，又有学生运用类比、联想、验证得出双曲线、抛物线中也有类似的结论，并通过抽象、概括、升华得到更加和谐、统一的结论2.

      6.归纳升华

      结论2 过圆锥曲线的一个焦点F作一条与坐标轴不垂直的直线l，交圆锥曲线于A、B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于点M，则

.（证明略）

      通过对此问题的纵向挖掘、横向拓展，师生收获颇多、感受颇深，都深刻地认识到“过程比结果重要，思考比套路重要，定性比表象重要”.

      二、基于“数学理解动态生长模型”的数学理解性学习的几点思考

      本节课针对数学理解动态生长模型的8个不同的理解阶段的特点，顺应学生解题的心理需求，帮助学生建构解题的知识体系，最大限度地开发问题的教学价值，促进学生理解性学习，取得了较理想的教学效果.

      1.经验是数学理解性学习必要的前提条件

      数学理解的第一阶段是初步了解，初步了解的程度取决于学生原有的知识和经验，决定着数学理解性学习能否顺利有效地展开.教育家弗赖登塔尔认为，“数学学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以学生原有的知识和经验为基础的主动建构过程.”建构主义也认为，“学习是学生经验体系在一定环境中自内而外的‘生长’，它是以学生原有的知识经验为基础实现知识的建构.”因此，尊重学生原有的知识和经验是数学理解性学习的必要前提.

      教学伊始，笔者先顺应学生的思路，从学生已有的经验水平出发，在学生依次给出大家熟悉的韦达定理法（解法1）和点差法（解法2）后，利用学生的疑问和教师的追问，开拓解题思维的深刻性，让学生自然地遭遇困难，感受挫折.当学生产生疑惑而百思不得其解时，教师及时搭好“脚手架”，让学生自己铺上木板成为台阶，引导学生在原有的知识和经验上继续探讨深层的解法、简法与优法.

      2.表象是数学理解性学习的必不可少的环节

      数学理解的第二阶段和第三阶段分别是产生表象、形成表象，也就是学生能根据先前的了解逐渐产生表象，进而逐渐积累融合成一般表象，学生能认识各表象之间的区别和联系，然后能够建立形式化的数学对象.现代认知心理学家西蒙认为，“表征是问题解决的一个中心环节.它说明问题在头脑里是如何呈现，如何表现出来的.”数学家克莱因说：“一个数学主题只有在成为直觉上的显然以后，才能算研究到家了.”若学生在解决问题时，没有产生表象、达成表征，那么就不可能完整地表述问题的本质，更谈不上“直觉上的显然”了.

      知识不是简单的堆砌，也不是简单的汇集，而是在原有知识体系的表象中进行“老枝发嫩芽”.教师只有注意挖掘每个知识的表象，让新的知识在旧的知识的表象里长出来，那才能显得十分自然且易于被学生所理解与掌握.

      在教学过程中，笔者在介绍每种解法时，都是先通过“内意欲尽其理”和“外意欲尽其象”的分析与转换，灵活地把上一种解法作为下一种解法的表象，让学生感受新的解法的亲切与自然，易于理解、乐于接纳，便于将新的方法融入原有的解题方法体系中.如在“纳故接新”的教学环节，学生已意识到决定解析几何题计算量大小有两个因素，即对条件的充分挖掘和思路方法的决策，且形成了一定的表象.在此基础上，通过教师的进一步引导学生得到解法4，而学生对解法4的得来觉得很自然，不再突兀，因为那是思维表征的进一步发展的需要.

      3.体验是数学理解性学习的极其重要的过程

      数学理解的第四至第八阶段分别为：关注性质、形式化、观察评述、构造化与发明创造.这五个阶段是知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观能否有效达成的关键阶段.而数学思想方法是一切知识和技能的灵魂，其提炼与灵活运用并非一朝一夕之功能完成.所以，苏霍姆林斯基说：“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心创造与体验的方法来学习数学.”这就需要教师通过创设情境、变更信息、情感交流等多种途径引导学生在体验中学习，在体验中探究，体验其中蕴涵的知识，感受知识的生长过程与创作.

      在“变换视角”教学环节，笔者顺应学生思维的惯性，让学生体会变换看待问题角度的愉悦感；在“登高望远”教学环节，突然有位学生追问“

，若把定椭圆换成一般椭圆是否也有此结论？”时，教师又顺势地引导学生进行探究，让学生体验中探究带给我们的成功感；在“归纳升华”教学环节，学生又自主地探究出和谐、统一的结论2，体验、享受了数学的统一美、和谐美、严谨美、简单美.

      4.兴趣是构建数学理解性学习的“助推剂”

      苏霍姆林斯基一语中的：“如果你所追求的只是那种表面的、显而易见的刺激，以引起对学习和上课的兴趣，那就永远不能培养起学生对脑力劳动的真正热爱，你应该努力使学生自己去发现兴趣的源泉，让他们在这个过程中体会到自己的劳动和成就——这件事本身就是兴趣的最重要的源泉之一.”

      在教学过程中，教师要努力营造和谐、平等的师生关系，尊重、信任学生，积极创设多种的学习空间.促进积极多向的信息沟通，让他们亲历大胆质疑、多方设想、探究发现，体会探索、发现的奥秘；体验变换视角、驭繁就简的快乐；品尝从发现问题到探索和解决问题的途径和方法的成就感.从而培养了学生浓厚的学习兴趣.

      笔者先从学生的“思维最近发展区”出发——点击通法，这是顺应学生的思维，信任学生能力的一种体现；通过启发学生仔细审题，另辟蹊径，为学生创设积极探寻思路的空间；通过变换视角，刺激学生视觉，让学生体验视角虽小，别具洞天的快乐；通过纳故接新，让学生多方设想、探究发现，体会探究的威力与发现的魅力；通过登高望远、归纳升华，让学生一览众山小地俯视数学本质的和谐美与简单美.这些都是构建理解性学习兴趣的源泉和动力.

      5.数学理解性学习要循序渐进地进行

      数学理解动态生长模型给出了学生理解某一数学知识所经历的整个过程.这一过程并不是线性发展的，而是包含着超越和回归的过程，这主要是因为对知识的理解不是一蹴而就的，而需要不断地反复，才能逐渐加深对知识的认识与理解.

      Pirie和Kieren认为，人无论在哪一级理解水平上，面对一个不能马上理解或解决的问题，为了加深和扩充自己的理解，有必要返回内层水平.但是，这种重新返回到内层水平所进行的理解活动与原先内层水平的理解活动是不同的，而是具有外层理解水平的特点.但并不是所有的回归行为在深化数学理解的过程中都起着必要的作用，回归的有效性取决于学习环境和学生个人，特别是当学生被鼓励去折回内层收集特定的信息时，这种回归会变得更有效，因为它带有目的性.这种回归就叫做“Collecting”[1].通过多次“Collecting”后，学生可以反复地用“新的理解水平”再次进行新的理解活动.因此，数学理解性学习是一个周而复始的过程，需要循序渐进才能卓有成效.

      学生的数学理解性学习能否顺利、高效地实施，除了与上述几个因素有关外，还与教师能否设计出科学的、合理的、符合学生实际的数学教学设计有关.为此，教师在设计数学教学时要基于学生的理解原则，即教学内容的设计要关注学生的理解；教学活动的设计要促进学生的理解；教学反馈的设计要考量学生的理解；教学评价的设计要落实学生的理解[2].

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