与函数单调性有关的四种异题同构类型的解法整合，本文主要内容关键词为：同构论文,调性论文,解法论文,四种论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
导数的引入，使研究函数单调性和最值的方法更加丰富.近几年的高考题中经常出现以下四种类型的问题：
类型Ⅰ 已知函数y=f（x）在x∈A时单调，求其中参数m的取值范围；
类型Ⅱ 已知函数y=f（x）在x∈A时无极值，求其中参数m的取值范围；
类型Ⅲ 已知函数y=f（x）在x∈A时不单调，求其中参数m的取值范围；
类型Ⅳ 已知函数y=f（x）在x∈A时有极值，求其中参数m的取值范围.
因为各种类型叙述形式多变，解题方法灵活，能充分考查学生的数学思想、计算功底和优化思维能力，从而备受命题者的青睐.另一方面，学生面对问题时的状态，往往在听讲时思路清晰，自己做时却出现逻辑不清，或者凭感觉做题，方法选择不优，就会做题繁琐，计算困难.
那么这四种类型有哪些常见的解题方法？各种解题方法如何进行优化整合？它们之间的逻辑联系如何？
本文从一道经典考题入手来分析提出的问题.
二.经典恒久远的一道试题
解法二 直接法：根的分布，求参数范围
综上所述k∈（-5，-2）.
解法三 直接法：直接解出方程的根
解法四 间接法：先用分离参数法求出p（x）在（0，3）上单调时k的取值范围，再求其补集
解法五 间接法：先用根的分布求出p（x）在（0，3）上单调时k的取值范围，再求其补集
三、整合解题方法，回答前面提出的三个问题
1.解题方法的整合
对于类型Ⅲ：已知函数y=f（x）在x∈A时不单调，求其中参数m的取值范围，解题方向有：直接法求f（x）=0，在x∈A时有实数解，且无重根；
而对于方程有解的问题常有：
方法一是分离参数得m=φ（x），那么下一步的解题方向就是求函数y=φ（x）的值域，也就是对应的参数m的取值范围.
方法二是转化为方程f（x）=0，在x ∈A时的根的分布来求参数m的取值范围，这时经常会分恰好一解；恰好两解等情况讨论.
方法三是直接解方程f（x）=0，考虑其根至少有一个满足x∈A且无重根.
另外，解题方向还有间接法，先求出函数y=f（x）在x∈A时单调，利用f（x）≥0或者f（x）≤0对x∈A恒成立，来求参数m的取值范围，然后求补集.
当问题纳入到不等式恒成立求参数的范围的轨道后，其解题方法更加灵活多变.常见的有：
方法一是分离参数得m≥φ（x）或者m≤φ（x）对x∈A恒成立，那么下一步的解题方向就是通过求函数y=φ（x）的最值来求对应的参数m的取值范围；
方法二是在不便分离参数时，也可直接求y=f（x）的最值来解；
方法三是类似于前面解法五一样，借助于函数y=f（x）的图象，利用根的分布求，也是常见的解题手段.
2.解题方法的优化
正因为解题方向有直接和间接两条路，而每条路中的解题方法的选择又多变灵活；学生就更应当对解法进行优化，以便在相对短的时间内完成解题任务.
一般而言，无论是方程有解还是不等式恒成立问题，都可考虑分离参数解；特别是含参数的项只有一项，或者即使有几项，但参数的次数相同，则可先对含参数的项提取参数的公因式，然后再分离；分离后则转化为另一个新的函数的值域或最值.
可见，当方程f＇（x）=0的根是有理根时，直接求解方程计算更简单.
特别地，当一元三次函数y=f（x）在x∈R时不单调，求其中的参数m的取值范围，因为其导函数f＇（x）=a
+bx+c是一元二次函数，则可直接考虑判别式Δ＞0.
如果一元三次函数y=f（x）在x∈R时单调，求其中参数m的取值范围，因导函数f＇（x）=a+bx+c是一元二次函数，故可直接考虑判别式Δ≤0.
简解：由条件f＇（x）-9x=0的两个根分别为1、4，求出2b=9-5a，c=4a.
3.四种类型的逻辑联系
在中学范围内，我们一般考查连续函数的问题，因此类型Ⅰ“已知函数y=f（x）在x∈A时单调，求其中参数m的取值范围”与类型Ⅱ“已知函数y=f（x）在x∈A时无极值，求其中参数m的取值范围”实质是同一种类型.
而类型Ⅲ“已知函数y=f（x）在x∈A时不单调，求其中参数m的取值范围”与类型Ⅳ“已知函数y=f（x）在x∈A时有极值，求其中参数m的取值范围”也可以看作是等价的.
考虑解法，对类型Ⅰ“已知函数y=f（x）在x∈A时单调，求其中参数m的取值范围”问题如用直接法，是利用f＇（x）≥0或者f＇（x）≤0对x∈A恒成立处理；当然也可通过间接法，先求f＇（x）=0，在x∈A时有实数解，且无重根求解参数m的取值范围，然后求补集.
而类型Ⅲ“已知函数y=f（x）在x∈A时不单调，求其中参数m的取值范围”问题可以通过直接求f（x）=0，在x∈A时有实数解，且无重根求解；也可以用间接法，先求出函数y=f（x）在x∈A时单调，利用f＇（x）≥0或者f＇（x）≤0对x∈A恒成立，来求参数m的取值范围，然后求补集.
至此，对于四种类型，在横向上它们有各自对应的等价联系；纵向上由于都可用直接法和间接补集法，故从解法上看它们完全统一，因而可视作异题同构的一类题.
标签：函数的单调性论文;