破产时罚金的预期折扣_概率计算论文

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学科分类号：211.5

§0 引言

经典风险理论相当部分是研究破产概率的，且往往只注重破产时刻，却没有足够考虑到保险公司破产前瞬间盈余和破产时的赤字这两个因素的作用。进入80年代以后，许多精算专家开始关注这个问题，并且进而利用保险公司破产前瞬间盈余，破产时的赤字及破产时刻三者的联合密度表示破产概率，从而对破产概率进行了比过去更深入的研究，获得了许多优美的结果，从而使破产概率进行了比过去更深入的研究，获得了许多优美的结果，从而使破产概率富含更多的保险意义，这些工作相当多地应归功于Gerber and Shiu[4]，Egiuio Dos Reis[3],Durfresene[2]和Dickson[1]。

设U（t）为盈余过程，T为破产时刻，U（T－）为破产前瞬间盈余，丨U（T）丨为破产时的赤字，初始盈余为u,f（x,y,tu）为（U（T－），丨U（T）丨，T）的联合密度，令

dt,Dickson[1]研究了这个函数，获得了f（x,yu）和f（x,y0）的关系式。这一结果很有意义，但他没有考虑到利率因素，这是一个很大的缺陷。因为在近几十年里，利率因素正日益为精算专家们所关注。因为它是一个不可忽略的因素，同时Dickson没有进一步考虑到在破产时刻U（T－），U（T）和保险公司损失量方面的关系。Gerber andShiu[4]考虑了不变利率强度的情况。设不变利率强度为δ。定义

，同时他们又从美式期权（American Options）理论中得到启发，引入U（T－）和U（T）非负罚金函数W（·，·）（penalyty function），由此而定义了函数。

并且推出ф（u）的更新方程，并且利用这个更新方程获得了许多经典风险理论中没有的结论。总的看来H.U.Gerber和S.S.W.Shiu的理论达到了相当完美的地步，但是他们没有考虑到利率随机风险对罚金折现期望的影响，而这种影响早就被保险定价理论所考虑，并且已经获得了相当多的结果。

本文在H.U.Gerber和E.S.W.Shiu工作的基础上，在一个正常金融环境里，考虑利率强度带有随机波动的情况，并对破产时刻罚金折现期望作进一步的探讨。利率强度的波动是现实货币的需求和货币发行之间的矛盾的反映，一般会发生货币的膨胀和紧缩两种情况，这两种情况是通过时间阶段性地被人们发现，然后通过发行货币而达到平衡。基于这种现实，本文考虑时刻t利率强度波动为△Λ（t）－λ'，其中△Λ为Poisson过程Λ的跳，其参数为λ',且Λ（0）＝0.由于Λ（t）Λ－λ't为鞅，因此这种假设既理想又具有现实性。

§1 模型

设u是一个保险公司的初始盈余，保险金以每单位时间c元的速度连续地收取，总索赔额形成一个复合Poisson过程：

其中｛N（t）｝是一个参数为λ的Poisson过程，且N（0）＝0，N（t）为[0，t]时间段内的索赔次数；｛X[,j],j≥1｝是一列独立同分布的随机变量，代表每个的个体索赔量，其分布函数为F（x），且F（0）＝0.为简单起见，假定F（x）是可微的，即F＇（x）＝p（x），p（x）是个体索赔额的概率密度函数。

记时刻t时的盈余为U（t），｛U（t）｝为盈余过程，则U（t ）＝u+ct－S（t），U（0）＝u。记T为破产时刻：T＝inf｛t：U（t）〈0｝。若T＝∞，则意味着永不破产。我们把破产发生的概率看成是初始盈余u的函数，即

（推广的大数定律），从而

LimU（t）＝∞.

t→∞

这就确保了｛U（t）｝有向上的跳跃（positive drift），这样ψ（u）〈1.

设初始时刻单位货币在时刻t时价值B（t）为下式所驱动：

dB（t）＝B（t-）（δdt+dΛ（t）－λ＇dt），B（0）＝1，

其中时刻t利率强度dr（t）为δdt+dΛ（t）－λ＇dt，时刻t 利率强度波动为dΛ（t）－λ＇dt，而△Λ为Poisson过程Λ的跳，其参数为λ＇。这样由指数鞅公式，初始时刻单位货币在时刻t时的价值为

B（t）＝exp｛（δ－λ＇）t+Λ（t）ln2｝.

由假设，U（T-）是破产前瞬间的盈余，U（T）是破产时刻的盈余，Λ（T）是一个随机变量。在已知T的条件下，Λ（T）与（U（T－），丨U（T）丨）条件独立。设（U（T－），丨U（T ）丨）的联合分布密度为f（x,y,tu），

注意，在x〉u+ct时，f（x,y,tu）＝0.而在T＝t时，如果U（T－）＝u+ct，丨U（T）丨＝y，则在（0,t）内只发生一次索赔，且这一次索赔发生在时刻t，其索赔金额为u+ct+y.所以f（u+ct,y,tu ）＝λe[-λt]p（u+ct+y）.由Λ（T）与（U（T－），丨U（T）丨）在T给定时的条件独立性，可以得到（U（T－），丨U（T）丨，T，Λ（T ））的联合分布密度为

§2 罚金折现期望函数及其更新方程

设w（x,y）是非负函数，定义域为x≥0，y≥0.如x＝U（T－），y＝丨U（T）丨，则w（U（T－），丨U（T）丨）便是一个罚金函数或损失函数.对u≥0，定义罚金折现期望函数

特别地，若w（x,y）是函数

1，（x,y）＝（x0,y0）

W（x,y）＝

0，（x,y）≠（x0,y0）

的广义密度函数，则Φ（u）＝f（x0,y0u）.因此，f（x,yu）是Φ（u）的特例.

对于[0,h]这个小区间，有以下几种情形：

1）在[0,h]内，Λ，N均无跳；

2）在[0,h]内，Λ有一个跳，N无跳；

3）在[0,h]内，Λ无跳，N有一个跳；

4）在[0,h]内，Λ，N均有跳.

由于Poisson过程具有平稳，独立增量，故有以下几种情况：

情形1）：以时刻h为起点，由Φ（·）的定义得Φ（u+ch），再折现到时刻0，因为Λ（h）＝0，得

情形2）：设时刻t（0≤t≤h），Λ有一个跳，以时刻t为起点，由Φ（·）的定义得Φ（u+ct），再折现到时刻0，得

情形3）：设时刻t（0≤t≤h），N有一个跳，时刻即t有一次索赔，设索赔量为x，如0≤x≤u+ct，与2）同理得

情形4）：这种情况的概率为o（h）.

最后由全概率公式得

（ξ）为一递减凸函数，其中当λ＇＝0时，δ≥0.另外，在现实正常的金融环境里，由于利率是始终存在的，即δ〉0，而随机波动不宜过大，因此当λ＇〉0时，不妨认为0〈λ＇≤2δ.考察方程

，不难知方程（2.5）有唯一的非负根ξ[,1]＝ρ[,1]，且ρ是

的增函数.如密度函数p（x）充分正则，则方程（2.5）还有一个负根ξ[,2]，记ξ[,2]为－R.在（2.4）中若选ρ＝ξ[,1]，则（2.4）化为

讨论（1）当δ＝0，λ＇＝0，由δ－λ＇／2＝0 必能推出ρ＝0.g（y）dy＝λc[-1][1－F（y）]dy，这一微分可以看作盈余首次低于初始盈余u，并且盈余在u－y，u－y－dy之间的概率，而且当δ＝0，λ＇＝0，w＝1时，我们有

这里h（x）可以看作盈余首次低于初盈余u.并且低于u－x的概率.这些是精算数学中熟知的事实.

（2）由条件概率公式

P（A∩B）＝P（A）P（B丨A），

（U（T－），丨U（T）丨，T）在点（x,y,t）处的联合概率密度函数为（U（T－），T）在点（x,t）处的联合概率密度函数乘以给定U（T－）＝x，T＝t的条件下，丨U（T）丨）在点y处的条件概率密度函数.而该条件概率密度函数不依赖于t，且是

这里h(x)可以看作盈余首次低于初盈余u.并且低于u-x的概率。这些是精算数学中熟知的事实。

这就得到了f（x,yu）的一个分解式，在精算数学中常常利用这种分解式进行（近似）计算，详见[4]，同时从（2.15）也可知道f（x,yu）与个体索赔的分布函数与密度函数之间关系.当δ＝0及λ＇＝0时，这个结果被Dufresene和Gerber（1998）提出，另外一种证明由Dickson，Egidio，Reis提供.当δ〉0及λ＇＝0时的结果被Gerber（1997-1998）提出并证明。