浅谈分类讨论思想论文_沈雪华

福建省漳州市诏安一中 353600

摘 要:分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。

关键词:初中数学 分类讨论 数学思想

分类讨论思想是指在解决一个问题时,无法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些问题一一加以解决,从而达到解决问题的目的,这就是分类讨论思想。当数学问题中的条件、结论不明确或题中含参数或图形不确定时,就应分类讨论。分类讨论思想是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求。进行分类讨论要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不重不漏”。

一、在实数中的应用

实数是数学的基本,当不知数的大小或范围时,要对实数进行分类讨论。

例1,比较2a和-2a的大小。

分析:a具体是多少没有确定,也无法知道其是正、0或负数,故要对a进行分类讨论。

解:当a>0时,2a>-2a,当a<0时,2a<-2a,当a=0时,2a=-2a。

例2,化简 (a-b)2-(a-b)。

分析:根据 a2=|a|=  因为不知a-b的正负,即不知a,b的大小关系,因此要对a,b大小进行分类讨论。

解:当a≥b时, (a-b)2-(a-b)=|a-b|-(a-b)=a-b-(a-b)=0,当a<b时, (a-b)2-(a-b)=|a-b|-(a-b)=-(a-b)-(a-b)=2b-2a。

二、在函数或方程中的应用

函数的定义中k的范围至关重要,影响到函数是否存在,及图形与性质,要对k进行讨论。

例3,已知直线y=kx+5(k≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求k的值。

分析:用k表示出函数图象与x轴的交点的横坐标,利用三角形的面积为5,求k的值。

解:令y=0得x=- ,令x=0得y=5,因为函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为5。所以 ×5×|- |=5即|- |=2,①当k>0时, =2,解得k= ;②当k<0时,- =2,解得k=- 。所以k= 或k=- 。

三、在三角形中的应用

按角分类,三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。当不明确三角形类型时要对三角形进行分类。

例4,在△ABC中,边AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )。

A.42B.32C.42或32D.不能确定

分析:此题应分两种情况。

①当△ABC为锐角三角形时,周长为42;②当△ABC为钝角三角形时,周长为32。

未明确对应关系的全等或相似三角形的可能对应情况要进行分类。

例5,如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4cm/s。如果P,Q两动点同时运动,那么何时△QBP与△ABC相似?

分析:题目写“△QBP与△ABC相似”,要分两种情况分析。

①△BPQ∽△BAC。

②△BPQ∽△BCA。

解:BP=8-2t,BQ=4t,当△BPQ∽△BAC时,  =  即= ,所以t=2;当△BPQ∽△BCA时,  =  即 = ,所以t=0.8。所以t=2或t=0.8。

特殊三角形——等腰三角形有关题目,不明确是腰还是底边、顶角还是底角或哪两条边为腰时,要进行分类。

四、结束语

总之,分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,从而提高全面考虑问题的能力,提高周密严谨的数学素养。

参考文献

[1]数学教育学[M].北京,人民教育出版社,1985,273-274。

论文作者:沈雪华

论文发表刊物:《中小学教育》2020年第398期

论文发表时间:2020/3/2

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