例谈高考函数问题的几个热点，本文主要内容关键词为：几个论文,热点论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数是贯穿在中学数学中的一条主线，每年的高考对函数问题的考查所占的比例都相当大，可以说是常考常新.尤其是导数和向量进入了中学数学教材之后，给函数问题注入了生机与活力，开辟了许多新的解题途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.下面谈谈高考函数问题的几个热点，供复习时参考.
一、以三次函数为主线的问题
例1 已知f（x）=x[3]+bx[2]+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有一个根为2.
（1）求c的值；
（2）求证：f（1）≥2.
解 （1）f′（x）=3x[2]+2bx+c.由f（x）在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，知当x=0时，f（x）取到极大值，则f′（0）=0，得c=0.
（2）由f（2）=0，得8+4b+d=0，即d=-4（b+2）.
又f′（x）=3x[2]+2bx=0的两根分别是x[，1]=0，x[，2]=-（2b/3），且f（x）在[0，2]上是减函数，所以x[，2]=-（2b/3）≥2，即b≤-3.
于是f（1）=b+d+1=b-4（b+2）+1
=-7-3b≥2.
例2 已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）[2]（x∈R）有极大值32.
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
解 （1）∵f（x）=ax[3]-4ax[2]+4ax，
∴f′（x）=3ax[2]-8ax+4a
=a（3x-2）（x-2）.
令f′（x）=0，得x=（2/3）或x=2.
而f（x）在R上有极大值32，且f（2）=0，所以f（x）在x=（2/3）处取得极大值，即
f（2/3）=（32/27）a=32，得a=27.
（2）f′（x）=27（3x-2）（x-2），
当x＜（2/3）或x＞2时，f′（x）＞0；
当（2/3）＜x＜2时，f′（x）＜0.
所以函数f（x）的递增区间是（-∞，（2/3））和[2，+∞]，单调递减区间是[（2/3），2].
点评 以上两题融三次函数、导数、不等式、方程等知识于一体，主要考查导数在三次函数的极值与单调性问题中的应用.
二、以抽象函数为主线的问题
例3 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）.
（1）求f（0）、f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，u[，n]=（f（2-n）/n）（n∈N[*]），求数列｛u[，n]｝的前n项的和S[，n].
解 （1）f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0.
∵f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1），
∴f（1）=0.
（2）f（x）是奇函数.
∵f（1）=f[（-1）[2]]=-f（-1）-f（-1）=0
∴f（-1）=0.
f（-x）=f（-1·x）=-f（x）+xf（-1）
=-f（x），
因此，f（x）是奇函数.
（3）由f（a[2]）=af（a）+af（a）=2af（a），
f（a[，3]）=a[2]f（a）+af（a[2]）=3a[2]f（a），……猜测f（a[n]）=na[n-1]f（a）.下面用数学归纳法证明：
1°n=1时，f（a[1]）=1·a[0]·f（a），公式成立.
2°假设n=k时，f（a[k]）=ka[k-1]f（a）成立，那么当n=k+1时，f（a[k+1]）=a[k]f（a）+af（a[k]）=a[k]f（a）+ka[k]f（a）=（k+1）a[k]y（a），公式仍成立.
由上两步可知，对任意n∈N[*]，f（a[n]）=na[n-1]f（a）成立.于是
评析 解决抽象函数问题的关键是挖掘函数的特征，考虑特殊值代入、类比、推理等方法，或脱去抽象函数的“外衣”，化为具体的函数解决.
三、以向量知识为背景的函数问题
因为在t∈[1，+∞]上3t[2]是增函数，所以不存在k，使k≥3t[2]在[1，+∞）上恒成立.故k的取值范围是k≤3.
点评 本题融向量、函数、导数、含参数的不等式等知识于一体，解题思路是：将向量间的几何（位置）关系数量化（坐标关系），利用导数研究函数的单调性.由于向量具有几何表示和代数表示的特点，这就使其成为近几年高考表述函数问题的重要载体.
四、信息迁移中的函数问题
例5 对于[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有｜f（x）-g（x）｜≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称为是非接近的.现在有两个函数f[，1]（x）=log[，a]（x-3a）与f[，2]（x）=log[，a]（1/x-a）（a＞0且a≠1），给定区间[a+2，a+3].
（1）若f[，1]（x）与f[，2]（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论f[，1]（x）与f[，2]（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的.
解 （1）要使f[，1]（x）与f[，2]（2）有意义，则有
因0＜a＜1，可知[a+2，a+3]在x=2a的右侧，所以函数g（x）=log[，a]（x[2]-4ax+3a[2]）在[a+2，a+3]上为减函数，从而[g（x）][，max]=g（a+2）=log[，a]（4-4a），[g（x）][min]=g（a+3）=log[，a]（9-6a）.
于是①式成立的充要条件是
a+3]上是非接近的.
评注 此类问题读懂题意是很关键的一步，只有搞清了题意才能确定探索方向，寻找合理的解题途径.
五、以高等数学知识为背景的函数问题
例6 设函数f（x）的定义域为D，如果函数f（x）满足：存在常数M＞0，对任意x∈D，都有｜f（x）｜≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数.
（1）函数f（x）=2sin（x+π/6）+3在实数集R上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由.
（2）已知f（x）=
-ax，求使｜f′（x）｜≤1在（0，-∞）上恒成立的a的了值范围.
递增，其所有值都小于1，所以a≥0.故使｜f′（x）｜≤1在（0，-∞）上恒成立的a的取值范围是0≤a≤1.
标签：导数论文;