关键词：UTM投影；独立坐标；系统建立
1、前言
从古至今，人们发明了很多投影算法，这些投影算法都不能确保角度、长度、面积等方面同时不失真。墨卡托投影于1569年由Mercator本人提出，这种投影方法可以保证投影前后任意点上的角度和形状保持一致，但是其长度和面积都失了真，导致从赤道到南极和北极有畸变，且畸变程度越来越大。这个投影方法可以用于航空航天和航海中的角度定位导航。在墨卡托的基础上，演变出了横（Transverse）墨卡托投影，简称TM投影。TM投影逐步发展，一个方向发展成高斯-克吕格投影，另一方向随后发展成通用（Universal）横墨卡托投影，简称UTM。高斯-克吕格投影出现之初，被前苏联、德国和中国等国家采用，UTM现在被大多数国家采用，我国现在也与国际接轨，采用通用的UTM坐标。相对于高斯-克吕格来说，UTM坐标和大地的经纬度坐标之间的转化较为简单，大有趋势可以代替高斯-克吕格投影在军事和国民生产生活中的应用。
2、 UTM投影
USA陆军工程测绘局在上世纪四十年代提出了UTM投影的概念。与高斯-克吕格不同的是， UTM投影是椭圆柱的横正轴与地球椭球体相割，如图1所示，椭圆柱的中心与椭球体的质心相合。两个割线形成的圆在投影前后长度不变。两个割圆平面的对称轴为中央经线，中央经线投影前后的长度之比为1∶ 0.9996，则k=0.9996称为比例因子。对一个六度窄经度投影带来说，高斯-克吕格投影中央经度投影前后长度不变，而两边的经线变形逐渐增大。而UTM投影，中央经线投影之后缩至0.9996，其他经度上的投影长度变化合理，大大改进了六度经度带中的投影长度的变形特性。这是UTM优于高斯-克吕格投影的其中一个地方。从纬度上来讲，从赤道到两极，收敛角越来越大，收敛角的定义为地标上的北向和UTM投影的北向之间的夹角。为了确保UTM投影的使用精度，UTM只适和用在纬度在84°之内的范围，此范围仅仅不包含南极洲陆地。
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3、高斯投影与UTM投影区别
高斯投影与UTM投影都是横轴墨卡托投影演变而成的两种不同投影方式,主要区别如下:
1）投影方式不同。高斯投影采用等角横切圆柱投影；而UTM投影又通称为通用横轴墨卡托投影，采用等角横轴割圆柱投影。
2）中央经线投影比不同。高斯投影中央子午线投影后长度不变，中央经线投影长度比等于1；而UTM投影中央经线投影长度比等于0.9996，椭圆柱割地球于南纬800、北纬840两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯投影中央经线上的比例系数为1，UTM投影为0.9996，高斯投影与UTM投影可近似采用X[UTM]=0.9996*X[高斯]，Y[UTM]=0.9996*Y[高斯]，进行坐标转换。
3）分带起点不同。高斯投影自00子午线起每隔经差60自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差60自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
4）平面直角坐标公式使用不同。高斯投影平面直角坐标系在我国x坐标为正，为了避免y坐标（横坐标）出现负值，在y坐标上统一加上500km，公式即为；而UTM投影实用公式为：
4、UTM有关投影变形
根据UTM投影与高斯-克吕格投影比较可以看出，两者非常近似的原则，主要存在一个中央经线投影长度比不一样，导致同一地区采用两种方式投影变形就有差别。根据X[UTM]=0.9996*X[高斯]，Y[UTM]=0.9996*Y[高斯]公式，可推出UTM的正算和长度比公式[1]。
1）直角坐标公式：
2）长度比公式：
3）用平面坐标（x，y）表示UTM投影长度比m的公式
根据高斯-克吕格投影的平面坐标（x，y）表示长度比m[高斯]：
且m[高斯]=1/0.9996*m[UTM],y[高斯]=1/0.9996*y[UTM]可求得UTM投影长度比m公式如下：
整理为：
4）根据长度变形系长度比与1的差值，可得UTM投影长度变形
5、独立坐标系的建立
对于工程测量来说，既要满足大比例尺测图的要求，又要满足各种工程施工放样的需要；目的保证投影长度变形值不大于2.5cm/km的要求，就要选择确立合理平面控制网的坐标系。坐标系根据长度投影变形值大小来确立，长度投影变形值由以下两部分组成：1）归算到测区投影面上的测量边改正(简称为归化改正)，其每km改正值为：
式中，以Hm为测量边的平均高程值，单位为m；HP为投影面的高程值；R为地球半径，单位为m。
2)投影到参考椭球面上的改正(简称UTM投影改正)，其每km改正值为:
式中，y为测量边平均横坐标值，单位为m。
长度投影变形值是上述两项改正数的代数和△D≈△D1+△D2，即
假设R≈RM=6371000m,在高差变化较小的地区，选择测区平均高程面作为投影面时，欲使投影改正值的绝对值小于2.5cm/km，通过式（9）可计算出横坐标y应取值范围为：174km≤y≤185km或-185km≤y≤-174km。在高差变化较大的地区，如果不考虑高斯投影变形的影响，只考虑归化改正，欲使其改正值小于的绝对值小于2.5cm/km，通过式（10）可计算出测区最高点或最低点与平均高程面的高差取值范围为：2390m≤y≤2707m，如果超过这个范围，就要重新选择一个投影面。另外，可以同时利用UTM投影改正和归化改正值变换，保证长度变形不大于2.5cm/km，通过式（10）可以计算两者之间选择关系（见图2）。
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图 2UTM 投影改正和归化改正关系略图
6、实例分析
某工程在克拉克1880椭球下，采用UTM投影方式进行的基础控制测量。为了与设计图件和基础控制保持一致，采用了UTM投影计算。根据该测区具体情况，为满足投影长度变形值不大于2.5cm/km，分2个投影带，按上述坐标系建立的关系，在原布控制点的基础上，分别采用2个投影带的分带线和两个不同的高程投影面建立独立坐标系统，采用GPS测量方法求得平面坐标，然后用全站仪实测边长进行比较。根据上述边长检查，独立坐标系统的建立是满足相应的规范和工程的施工设计，这说明在UTM投影下建立独立坐标系统是符合要求的。
7、结语
根据上面的情况的分析，UTM投影与高斯投影的独立坐标系统建立主要区别在于长度比的不同，相差0.0004值，导致在每km投影长度变形的直接就为40cm。在工程上建立独立坐标系统时，UTM投影不仅考虑投影长度变形绝对值不大于2.5cm/km，而且也直接受40cm/km的影响，归算到测区投影面上和投影到参考椭球面上的改正两部分投影长度变形范围应该为37.5cm/km≤△D≤42.5cm/km，可直接转换化为高斯投影的计算方式。
参考文献：
[1] 陈悟天.使用UTM投影坐标系国家的施工测量[J].科技资讯， 2010（ 8）： 36-37.
论文作者: 董亮
论文发表刊物:《城镇建设》2019年第24期
论文发表时间:2020/1/16
标签：长度论文; 高斯论文; 坐标论文; 经线论文; 中央论文; 椭球论文; 经度论文; 《城镇建设》2019年第24期论文;