2009年宁夏高考数学文(17)的七种解法及阅卷启示，本文主要内容关键词为：解法论文,宁夏论文,七种论文,启示论文,学文论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本人参加2009年宁夏高考评卷工作，评改数学(17)题，在评改数学文(17)的过程中，发现学生给出几种不同解法。这些解法大都简化运算，同时具有一定技巧性，颇受启发，在总结学生解法基础上，认真探讨，整理出六种不同于标准答案的解法。并结合学生在解答(17)题中存在的问题，谈谈高考试题的有关问题和对教学与答题的启示。
理(17) 为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图1），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤。
图1
文(17) 如图2，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值。
图2
一、文(17)的多种解法及评析
1.三角法
解法1 标准答案（利用勾股定理和余弦定理）
作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M。
图3
原解评析 解题思路清晰，大部分考生是用上面的方法解答的，但令人叹惜的是因计算量大，出现大量的计算失误。
解法2 （利用勾股定理、角的正、余弦定义、和角的余弦公式）
作DN∥AC交BE于点N，FM∥AC交BE于点M，如图4，
图4
图5
再同上方法用和角的余弦公式就可求出结果。不用求DF，相对于原解方法运算量较小，有部分考生用此法。
解法3 （利用和角的正切和同角三角函数关系式）
该解法很独特，不用求DE和EF，只是用基本的三角函数公式以及对同角三角关系式的正确变换，运算量少，但在求出正切后，学生不知道如何求余弦，只有个别考生用此法。
解法4 （利用相似三角形知识）
分别延长线段AC、EF，CA、ED，交于点N、M，如图6所示再按三角形相似对应边成比例求出MA和CN，
图6
在△ADM和△CNF中分别求出∠MDA和∠CFN的余弦或正切，然后按方法二或三求解。
评析 这也是一种独特解法，不过这种方法并不比原解及上面两法简单，有个别考生有此思路。
2.面积法
评析 这种方法很新颖，不用作辅助线，运算量也小。但只有个别考生想到此法。
3.向量法
解法6 （利用坐标形式运算）如图7
图7
图8
也可以用图形上的点B或E或其他点为原点建立平面直角坐标系，同法求出结果。
评析 向量法通过平面向量的数量积计算将问题进行转化，避免了繁琐的计算。使向量的基础知识提升到一个新的高度，体现了平面向量与三角函数的交汇，也体现了向量的工具性作用。
但只有少数几个考生用此法，而且用解法七的考生只有对向量加法的运用，没有正确解出的。
以上几种解法比原解运算量小，思路也清晰，可见从不同的角度挖掘图形的几何性质，多方位地考察，综合运用知识，便能获得简便解法。
二、简评
文(17)题以三角形中的有关问题为背景，以测量这一日常生活中常见的自然现象为载体，体现数学的应用意识。
此题出得非常好，作为解答题的第一个题，难易程度适中，考虑到了文科考生的实际水平，“入口浅、寓意深”，也符合新课程教育理念对高考命题的要求，而且灵活性强，可以运用多种解法进行作答。考查了“三角函数的定义”“三角函数的基本公式”“三角恒等变换”“梯形与三角形的面积公式”“相似三角形的性质”“向量的夹角公式”“向量的和”等多个知识点，需具备“数形结合”“逻辑推理”“创新精神”“一题多解”等能力和对知识的融会贯通，较熟练的运算能力和较强的运算技巧。
本题的解法思路较广，可用解三角形的方法、面积法、乃至向量的方法解决问题，用学生学过的知识解决现实生活中的问题，给学生留下了广阔的思维空间，更深层次地考查了学生分析问题与解决问题的能力。
而理(17)也是三角测量问题，实际上是较简单的数学建模问题，要求运用化归、综合分析等数学方法进行数学建模，使问题转化为解三角形的问题。旨在通过数学建模考查从数学的角度观察、探究思考和分析解决问题的能力，从而能较好地反映考生对信息的接收、加工和输出的能力，达到综合反映考生综合素质能力的目的，是其他形式的试题所无法替代的。
图9
从考生解答情况看，如果对俯角的概念理解正确，多数考生就能设计出解答方案。但还有一大部分考生由于对俯角一词理解错误而导致无法正确解题。另有一部分考生由于没有读懂题目，对题目中所能测量出的数据没有看清，而自行给出测量的数据导致错误。从而导致该题得分率较低。另外，在解答过程中，由于题目对飞机能够测量数据的标法没有统一要求，比如说，对俯角有像如图所示标准答案给出的标法、有用不同字母给出的、有用数字标出的、还有用三个大写字母表示的等等，对线段AB的标设也各不相同，还有的只是叙述了而没有按题目要求在图中标出，再加考生设计的不同解答方案大约有五种，这种情况只是给阅卷工作带来很大的麻烦，而对考查学生数学建模能力方面起不到什么作用，所以在以后的高考命题中要避免出现这种情况。
三、对教学与答题的启示
在阅卷中发现考生出现的错误主要有如下几种情况：数学文字阅读能力差，误解题意；概念错；公式错，有不少考生将正、余弦定理写错或和角公式写错；更令人叹惜的是大量的计算失误，如在文(17)的解答中，计算DF、DE、EF时出现平方或开方错误；综合应用知识的能力较差，在文(17)的解答方法中只有个别考生用面积法和向量法。另外就是解题过程的表述中出现的问题较多，有的表述太累赘，有的又因书写步骤不全面而导致失掉步骤分。
针对以上出现的情况，启示我们深层思考：
1.注重基础
三角函数在高考中占有一定的比例，但试题难度不大，要注重基础知识的教学。题(17)用三角函数的定义、正弦定理、余弦定理及勾股定理和三角函数的基本公式就可以方便的得出答案，这提示我们要抓基础、抓课本，同时注意对概念的正确理解。只要基础扎实，就能以不变应万变，没有必要搞过多的“题海战术”。
2.注重综合
高考数学题在考查基础知识的基础上，非常注重学科的内在联系和知识的综合性。侧重于知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度，从而出现了一种新的试题结构——知识交汇题。它侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用。三角函数与其他数学知识有着密切的联系，近年来的三角函数考点在高考试卷中所占的比重大，远远超过其他考点，因此有关三角函数的交汇性考题也受到了命题专家的青睐。向量是高中数学新教材的新增内容，而三角函数与向量可以说不分家，把平面向量与三角函数结合起来考查是高考的一个重要方面内容，是最常见的交汇题型，平面向量的运算主要表现在其工具功能和几何特征上，所以需进行有针对性的训练。
3.注重能力
《普通高中数学课程标准（实验）》从不同的侧面强调了一个重要的理念：要注重学生多种能力的培养，其中包括数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力、数学建模能力。在教学过程中要注重培养学生的计算能力、数学阅读能力、数学建模的能力、数学思维能力。
高考对计算能力的考查是多角度、多层次的，尤其重视对算理的考查，很多试题需要根据不同的情况灵活处理。平时在训练中一定要注意运算的方法，能避免计算的就避免，不能避免计算的一定要注意运算的合理性、简捷性和准确性，这样才能在高考中提高效益，立于不败之地。如，在文(17)的解法1中，可直接计算
，然后直接用余弦定理，这样可避免平方或开方错误而失分。
随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为高考命题的亮点、热点。在纷繁复杂的数学材料中，如何提取有效的数学信息，数学阅读能力就显得尤为重要，在加强培养学生阅读能力的同时，还应加强培养学生应用数学的意识，引导学生从所熟悉的生产、生活和相关学科的实际问题出发，通过分析、归纳、抽象出数学概念和规律，然后运用有关的数学知识和方法加以解决，加强数学建模能力的培养。
4.注重创新
数学开放题是近几年来数学教育的一个研究热点，是素质教育对数学教学的要求，是培养学生创新精神和实践能力的新课题。本题解法多，创新意识强，要选择其中较为简便的方案与考生的创新意识密切相关。这就启发我们在平时的教学中，教师应有意识地适当选择或尝试编制一些入口宽、综合性强度与难度适合学生实际、有助于提高学生能力的典型问题进行一题多解，努力养成学生从多角度分析、解决问题的习惯，注重培养学生的发散思维（求异思维）逆向思维等，多角度、全方位考虑问题，要注重解题的反思与总结。同时注意多题一解、一题多变的运用。多题一解有利于培养学生的求同思维；一题多解有利于培养学生的求异思维；一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性。
5.高效答题
近几年，高考网上阅卷有效地保证了阅卷质量，但也对考生答题提出了更高要求。评卷时，是根据“分段评分”的原则，从考生的试卷来看，有些考生不能规范书写、准确表达，数学思维出现间断，造成了诸多不必要的失分。要达到有效得分，考生在答题时要特别注意表达准确、考虑周密、书写清晰、规范、语言科学、格式阐明，要把阶段性成果（给分点）写在明显位置，使评卷人员一眼就能看到。每个解答都需要写出必要的证明过程或演算步骤，其中的每一个步骤都占有相应的分值。几何题首先画出示意图，并将已知条件在图形中标出，还要注意不要超越规定范围，解题步骤要繁简适当并且完整。这样才能有效地提高数学成绩。