数学特级教师学科教学知识的个案研究，本文主要内容关键词为：个案论文,学科教学论文,数学论文,教师论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
经验和理论都表明教师仍是学与教的核心，教师的素质尤为重要。成为特级教师是教师专业成熟的重要标志之一。特级教师不仅是师德的表率、育人的模范，还是教学的专家。特级教师是一般教师特别是青年教师校本研修的重要专业支持者，是“认知师徒”理念中的重要组成者。成为特级教师是一个教师莫大的荣誉。研究特级教师具有重要意义。
我国特级教师研究内容单一，多囿于经验研究。有人建议特级教师的研究完全可以学习国外专家型教师的研究思路，因为特级教师是教学的专家，可以判定他们是专家型教师中的特殊群体——专家中的学者以及专家中的研究者。[1]有研究者运用内容分析法，从教师的视角揭示了影响优秀（特级）教师成长过程的因素。[2]但“教学若被视为一种专业，则首先需要教师具有专门的知识和能力：教师应该学习要教的知识及如何传授这些知识的专门知识。”[3](P142)因此，关注特级教师的学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK）是教学专业化的一种内在诉求，具有重要意义。
舒尔曼(L.Shulman，1987)鉴别出了专家教师所必需的知识。专家教师必须具有深厚通透完整的学科知识，还要有针对具体主题如何施教的知识。成功教学的关键在于学科教学知识，这种知识能把学科知识加工转化为教学法上有效的材料并使之适合学生的能力，使学科知识更易为学生接受和掌握。专家教师和新手教师的主要不同之处在于他们向学生表征学科知识的方式不同。关注特级教师的学科教学知识是一个重要的研究方向。参照格鲁茨曼[4](P7)(Grossman，1990)关于PCK的界定，重新界定了PCK的核心成份及其指标体系。(1)学科（最核心、最基本的）知识。指学科中最核心、最基本的知识；学科的思想、方法、精神和态度；对学生今后学习和发展最有价值的知识。(2)课程的知识。知道某一知识在整个学科体系中的地位和作用；上位知识与下位知识的联系；新旧知识间的联系；所学知识与儿童生活、经验的联系。(3)学情的知识。知道如何做学情调查，了解不同学生的认知基础、认识方式及差异；知道哪些知识学生容易理解，教师可以少讲、不讲或让学生自学；哪些问题是学生容易混淆或难以理解的；学生常见的错误是什么，如何辨析和纠正。(4)教学的知识。指为了达到教学目标的要求，根据学生的心理发展水平，而采取合适表征内容的教学手段和策略的知识。如选择和组织教学内容，确定教学内容的表征，确定有效的隐喻、解释和样例，选择有效的呈现手段，设计学生活动和安排教学活动的序列及对呈现效果的检测与反馈等方面的知识。
顾泠沅以一位语文特级教师的成长历程为“源型”，提炼总结了“三个关注，两次反思”[5](P47)这样一个行之有效的行动教育的基本模式，那么“采取典型取样法”选取著名数学特级教师为样本，并剖析其学科教学知识的本质、特征及来源，能否为数学教师的专业成长之路提供可资借鉴的模式呢？本文试图研究这一问题。
二、研究方法
（一）研究对象
本研究用典型取样法选取我国中部某省一位著名特级教师。该师在上世纪80年代末和90年代初就培养了一批顶尖级的中学生，他们能在国际中学生数学奥林匹克竞赛中摘金夺银，这个势头迄今为止仍不衰减。“名师出高徒”，学生的成绩折射了教师的教学知识水准，此特级教师的学科教学知识具有极大的研究价值。
（二）分析方法
根据陈向明的说法，文本分析法属于实物分析方法的一种，实物分析是质的研究中一个非常有效的收集资料的方式，不仅可以为研究提供一些物质依据，而且可以揭示制作者和使用者的动机和意图。本研究主要采用文本分析(text andysis)法[6](P257)对一些文本资料进行分析。这些文本资料取自特级教师对数学教学若干思考的自述材料和一些课堂实录。[7](P571-642)
三、结果与分析
（一）在深刻理解的基础上形成了文化取向的学科知识
该师对学科知识的理解集中体现在对“为什么从小学到中学，数学要作为一门主科让学生花大量时间和精力去学习呢”的回答上。这个问题既基本又重要，并且对该问题的态度和认识影响着教学。该师的回答是：(1)来自学生成长的需要，数学学习的目的是提高数学素养，知识和方法的掌握并不是全部，数学学习应包括三个层次：学习数学基础知识，形成一定的数学能力，发展品格；(2)教育的首要任务在于提高人的素质，数学素质的提高是素质教育的一项极为重要内容，肩负着文化素质和思想素质教育的双重使命，每节课都不要脱离素质教育这一宗旨。因此，教学是以促进人的发展而不是以掌握、传输知识为目的，知识只是达到目的的手段和工具，“知识既是一种过程，也是一种结果。知识的应用过程与发生过程是一个有机整体，将知识的应用过程与发生过程对立起来，显然是不恰当的。”为了发挥数学教学对学生素质的培养作用，就要“让学生在力所能及的范围内经历知识的发生过程，在讲授知识时，设计问题系统为学生经历知识发生过程做出优质服务，使学生深刻认识和掌握基础知识及有关重要思想，优化思维品质”。
可以看到该师秉持文化教育的教育观，而不仅是知识教育的教育观。学习数学来自“成长的需要”“提高数学素质的需要”，“知识和方法并不是数学学习的全部”，这正是以人为中心、以人为本，而不是以知识为中心、以知识为本的文化教育的特征。文化教育并不反对知识教育，而是以知识教育为基础。文化教育既要体现知识的逻辑性和实证性，又要反映知识的思想性和创造性；既要反映知识的工具性和功利性，又要反映知识的文化性和精神性。[8]所以，该师认为知识既是一种过程，也是一种结果，在教学时也就非常注重知识的生发过程，在知识的生发过程中优化学生的思维以实施素质教育、文化教育。该师对该问题的回答也经历了一个过程，开始是不经心的，以后逐渐变得有所思有所得。可见反思是促进学科教学知识发展的有效途径之一。该师的教学理念无疑是相当先进的，迄今为止仍不过时。该师的理念是在对学科知识深刻理解的基础上形成的，是把科学的深层次结构、观念和思想方法转换成了文化取向的学科知识，适合了教育的特点。相反，当下教师接受的理念不是扎根于学科，不是从学科生发的，而是各学科教师集中在一起接受理念的宣讲，没有学科特点，灌输的成份多。这种培训自然低效。理念或信念不能与生发它们的学科知识相剥离。知识和信念是紧密相连的，信念是情景化的知识。[9](P44)
（二）课程的知识体现了数学知识的发生发展和结构特点，并考虑了学生的认知特点
该师课程的知识集中表现在对分科、单元起始课的重视上。该师依次从教学内容、教学的阶段性和师生的思想认识解析了分科、单元起始课之所以重要。(1)从教学内容上看，它们是一门数学学科或一个阶段的基础和本源。常常是知识浅显却蕴含十分重要的数学思想和方法。(2)从教学的阶段性看，它们和前段教学相比，或具有相对独立性，在知识结构和思维要求上表现出较明显的差异，或在已给出的知识系统上又有了更高级别的要求。(3)从思想认识上看，它们不易引起师生的重视。由于课程内容表面上浅显，借助记忆和模仿即可代偿思维能力上的不足，是以后学生学习上分化的原因之一。该师又给出了处理教材的具体作法。(1)把握基本结构。学科和单元的基本结构是对该学科和单元的知识与方法的高度概括和抽象，学科或单元中具体知识和技能则是基本结构的具体者。(2)注重知识的整体性。由于一般的教科书是按演绎法展开的，学生按这种体系学习，很少而且也不可能明白所学概念在整章、整节乃至整个学科中的地位，最多是学完一章一节后回过头来体会，才有所认识。在单元教学之初，将单元“认知流程图”先教给学生，有利于让学生看到各部分内容及彼此间的联系，从而有利于学生克服知识的离散性，建立良好的认知结构。当然，“认知流程图”不免让学生有按图索骥之嫌，从某种意义上削弱了学生探索的积极性，对学生创造性思维起到了束缚作用，在实际教学中并非要千篇一律地如此实施。(3)精心引导学生及时调整认知结构，突出重点，平稳过渡。学科入门和单元起始阶段是学生扩展、重组认知结构的关键期，这是由前后知识结构、思维要求出现的明显差别决定的。特别要重视这一阶段重点内容的过渡与衔接。
从发生发展的角度看，数学知识的产生往往源于一个非常素朴的想法，中途历经许多智慧头脑的努力，呈现出发展的阶段性、视角的多变性，发展成熟后才呈现出形式化、结构化的形态。形式化、结构化是编写教材的重要参考，但为了顾及学生的心理，必须把知识的生发过程在教材中表现出来。起始课往往呈现的是知识发生发展过程中的一些基本性观念，虽然素朴，但有方向决定性作用，过渡课往往反映的是认识视角的变化。从该师的论述和做法来看，该师既看到了数学知识的发生发展和结构特点，又看到了这种特点在教材上的表现形式，由此产生了处理教材的具体做法。可见，对数学本身的认识能发展教师课程的知识。
重视入门课的教学，用教育心理学的术语说就是充分发挥“先行组织者”在给学生提供概念或观念、认知结构、为新的学习提供基础上所起的作用。先行组织者比后续材料更具抽象性、概括性与综合性，是从全局的角度考虑问题，因为知识的产生是一个总的理念逐步展开的结果。这表明该师对数学概念发展的阶段性及教材的螺旋式编排原则是非常谙熟的。入门阶段的课程，观点高而起点低，不易看透实质。该师很有经验。布鲁纳认为每一门学科都存在一系列基本结构，即基本概念和基本原理，把这些概念、原理和该学科所特有的研究方法作为教学内容时，教学就会有好的效果。该师课程的知识和布鲁纳的思想显然是一致的。正所谓“不知其害不知其利”，上述想法即是“先行组织者”的具体实施，但该师对这种理论的理解更辩证。这样的认识是对课程编写原则有深刻理解的结果。课程一方面要考虑学科的结构，另一方面要考虑学生的心理结构。教材编写者总是力图强调与课程有关的普遍的和强有力的观念，把它置于中心地位；并把教材内容分成不同水平，在不同阶段强调不同的侧面。这就需要教师能把握这些观念在何时何地出现，并在不同阶段作好过渡与衔接。
（三）学情的知识切合了学生心理发展的特点，并能以具体内容为载体推动学生心理的发展
该师指出要从观念上正视学生学习的困难，应注意到数学学习不容易的一面，对学生学习数学的困难要有足够的认识。造成学生学习困难的原因，一是社会的发展和个人生存要求每个人多学习一些数学知识，二是用数学方式去考虑问题、处理问题的自觉意识和思维习惯不是一朝一夕能养成的。该师对某一学习阶段学生会出现什么样的困难也很清楚。
该师认为直觉思维与逻辑思维应并重，应该从小学始就努力发展学生的直觉思维能力。人们往往只看到数学高度抽象、高度系统化、严格演绎的一面，忽视了书本中所表达的并非真实的，而是经过整理加工的数学思维活动，忽视了数学形成过程中生动、直观的一面，把数学思维能力仅局限于逻辑思维，无形中削弱了数学教学的作用。该师认为学生心理的发展是分阶段的。由于社会在进步，人在进化，学生在初一开始由经验型思维向理论型思维转化，而在高一下学期到高二上学期则处于思维活动的初步成熟期，成熟后期思维的可塑性比成熟前期小得多，个性差异越来越明显。并以初一学段算术方法到代数方程方法的过渡为例，说明自己的主张和做法。
该师认为，从年龄特征看，中学生普遍具有积极从事独立智力活动的倾向，对于认识自己的智慧、力量感到精神上的满足。要突出学生的主体地位，不能包办代替，不能使学生成为丧失主动的贮存器。而且，他还有相应的举措。如以数学归纳法的引入为例，讲述了如何使学生自觉主动地追求思维品质优化的做法。该师认为指导学生形成积极向上的社会价值观也是激发学生兴趣的一种举措。一个人的目标越高，他的才力发展越快。该师信奉这样的理念，并且以他的学生为例做了说明。该师认为努力提高数学的审美意识和审美能力是激励学生的一项重要措施。数学是一门艺术，有着可意会不可言传的美，显示人的一种本质力量，需要心灵深处体验的一门学问。该师认为教师的楷模作用对学生兴趣孕育、保持和加深息息相关。教师自身数学修养高，对数学问题的思维过程洞若观火，教学艺术娴熟，一定会使学生“亲其师，信其道”，从而增强学生的兴趣。并对这种现象用心理学术语“移情”给予了解释。
从文化的视角对教学的本质进行分析，我们首先看到的是教育是“成人”的活动，不能不考虑学习者心理发展的阶段性、思维特点、情趣、情绪、意志、价值观等心理因素，不能不正确处理知识、技能、情感、态度、价值观之间的关系，不能不考虑师长的言传身教。青浦经验的第一条就是“情意原理”，情意状态是促进认知发展的支柱和动力。该师在这方面的知识集中表现在对学生心理的充分了解上，且能结合学科特点，以学科为载体实施情意原理。该师对学生困难的认识不但考虑了思维发展的阶段性，也考虑了知识发展的阶段性。该师对学生认知困难的认识符合认知的历史相似性原理。[10]皮亚杰认为儿童思维的发展要经历感觉动作、前运算、具体运算和形式运算四阶段。但该师在实践教学中总结出来的经验，比皮氏理论更贴近教学实际。该师的思想源于对数学活动的深刻认识，该师不但看到了数学活动中的困难，数学活动的两个侧面，数学活动的阶段性，而且还看到了数学活动中人的作用。数学是人做出来的，在做数学的过程中必然要克服不少艰难险阻，数学家“不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志”。同样在学习数学家劳动成果的过程中，也要求学习者具有一定的智商和情商。高明的教师总是设法通过各种途径调动学生的学习积极性，发展学生的情商、发展学生的个性品质，而且“从主要依靠教到主要依靠学是基础教育的根本改革。”[11]数学知识是一代又一代数学家智力传承的结果，一代又一代数学家生活的时代不同，其思想观点烙上了时代的痕迹，可从知识中探幽抉微式地找到这些痕迹，表现了数学发展的阶段性，思维发展的阶段性。在教学中，思维的培养也应是分阶段的，由形象到抽象，由直觉到逻辑，由经验到理论，在学生发展的不同阶段应有不同的侧重，正如俗语所说“万物生长皆有时”。数学活动有两个侧面，既有经验科学的特点，又有逻辑演绎的特点。经验科学和逻辑演绎对思维的要求是不一样的，所以在教学中显然不能“目中无人”，要把学生的心理置于首要的地位。一线教师都能理解并接受这些道理，但却不能结合具体的内容在课堂上有效地运用。究其原因是没有从数学发生发展的角度理解这些教育理论，不知道这些教育理论其实是数学科学学科化的诉求。该师对数学本身有深刻的理解，自然能在实践中悟出这些教育理论。要做到教书与育人的和谐统一，一方面要对学生心理有充分了解、有育人的理念，另一方面还要有与学科特点相匹配的实施育人理念的机智，更要教师自身垂范。
（四）教学的知识拟合了做数学的过程
该师说“正如实践所表明的，在数学课堂教学中，作为主要方式，把包括概念的引入、定义、性质探讨、应用在内的各种数学材料经过精心规划，组织成系列问题作为出发点，以解题为中心进行教学，受到了学生的普遍欢迎，取得了好的效果。”在怎样组织问题序列上该师更是见解独到。要把握教学目标的阶段性和层次性，围绕不同阶段的教学目标，根据学生的实际情况组织好问题，不可偏、怪，也不宜过难；要利于向纵、横方向发展，有代表性，并切合学生实际水平的要求。在问题提出阶段，该师遵循了“序进原理”，在解决问题阶段也如是。在解决问题的过程中，思维是按层次展开的：一般性解决、功能性解决、特殊性解决。一般性解决是对问题进行概略思考，以明确解题的大体方向；功能性解决力求明确解题中所运用的基本解题方法；特殊性解决主要明确解题的具体方法、程序。该师认为作为数学教师，亟待加强学生对所学思想方法和知识应用于实际问题的指导。教学的基本目的应当是让学生在反映实际应用的情境中使用数学工具。这是一个方向性问题。中学生不仅要在数学课程上体验使用数学，同样也需要在其他学科上使用数学。该师认为要让解题规律的概括成为学生学习活动的一项重要内容。数学是用数学符号语言对周围客观世界的空间形式和数量关系进行的概括，学生对解题规律的概括、总结则是一种特殊的再概括。要求学生在问题解答后，进一步把特例纳入一个一个已知的更一般的范围，加深对已知的有关规律的认识或从孤立、特殊的解法中看出更一般的尚未为他所知的规律，从特殊推广到一般。该师认为在教学时要突出数学观念，要求学生优先考虑高位层次的思考方法，不局限于具体的技巧及其应用，“实际上，整个数学教学的目的之一就在于建立符合数学思维要求的具有哲学论、数学方法论意义上的心理定势。这种心理定势是数学观念系统的重要组成部分，而且是数学思维能力的具体体现，是数学素养的重要标志”。
该师的教学方式突出了问题在数学教学中的地位，与数学本身的特点相切合，挖掘了数学本身的特点。一般说来，教学理论、教学模式追求的是普适模式，这在一般中学教师眼中显得很“空泛”，怎样选择对教学有指导作用的教学理论和教学模式要有自己独特的见地。这见地来源于教师对所教学科的深刻理解。数学的实质在于有一套提出问题及解决问题的普遍理论及方法。[12](p7)以问题为出发点、以问题解决为中心的教学方式突出了数学教学是数学活动的教学，是知识发生发展过程的教学，正是“事怎么做，就怎么学”这一主张的践行，和“问题解决”的理念不谋而合。青浦经验的“序进原理”指出要组织好有层次的问题序列。该师在组织问题时紧紧抓住教学目标的层次性，学生心理的层次性，以这两个层次性为出发点，从技术层面上保证了“序进原理”的实施。这种有序思考模式与“自顶而下，逐层细化”的结构化程序化设计方法别无二致，充分体现了数学思维的条理性、逻辑性与严密性。该师对数学的来源及目的非常了解。数学源于现实。当问题提出——问题解决后，的确可以得到一系列概念、定律、定理、公式、算法及图表等，可以构建完美的公理化、形式化的理论体系，但这并不是数学的初衷。数学最终要回到现实中，接受现实的检验并解决实际问题。虽然数学本身并不等同于数学学科，但数学教学的目的是为了掌握数学。数学发展到一定程度后，就要构建形式化、系统化的知识系统。这种诉求反映在教学上就要求学生能够梳理知识，形成体系。所以，该师认为要使学生学会归纳总结，形成具有数学素养标志的心理定势。从上述分析中，不难看出该师教学的知识，是在对数学自身特点有着深刻理解的基础与形成的。类比是建构理论的重要方法，本质上不是要制造实在的知识，而是要促进意义理解。[13]问题提出、问题解决、问题应用和数学活动的三个方面“经验材料的数学化、数学材料的逻辑化、数学理论的应用化”具有同构性，该师教学的知识可以看作是数学活动经验水平推演的结果。就连解题规律的概括，也深深烙上了数学思想的痕迹。该师对数学本身有深切的了解，故见识深邃。提高教师的学科素质能促进对教学理论的认识。
四、结论
综上所述，该师在深刻理解数学的基础上形成了文化取向的学科知识；课程的知识体现了数学知识的发生发展和结构特点，并考虑了学生的认知特点；学情的知识切合了学生心理发展的特点，并能以具体内容为载体推动学生心理的发展；教学的知识拟合了做数学的过程。该师的学科教学知识既体现数学知识的认知属性，也体现数学知识的文化属性。提高教师的学科素养能促进教师对教学理论、课程编排及学生认知心理的认识，充分考察认知的文化性，也能促进教师对上述三者的认识，从而有效地发展学科教学知识。