蔡新[1]2006年在《奇摄动方程和分数阶方程的计算方法》文中研究表明本文由二部分组成，第一部分研究奇摄动问题的数值方法，第二部分研究分数阶微分方程的数值方法。 本文主要考虑边界层型奇摄动问题，当小参数ε→0时，奇摄动问题的解作为小参数ε的函数，在边界层区域内变化很大，具有边界层奇性。 传统的差分方法不适合于这类问题的计算。特别地，基于中心或迎风差分方法的逐点误差在一致网格上是与ε的负次幂成正比，因此人们更感兴趣于与ε无关的数值方法，即一致收敛的数值方法。 近十年来最流行的差分方法是Shishkin网格法，为了提高其收敛阶，人们采用Bakhvalov思想，构造了Bakhvalov-Shishkin网格法。本文在Shishkin网格法的基础上提出了多过渡点方法。多过渡点方法是完全不等距的差分格式，具有Bakhvalov-Shishkin格式相同的计算精度，而计算复杂性与Shishkin格式相当，因此它是一个实用有效的方法。多过渡点方法的主要思想是：根据奇摄动问题边界层的性质，提出多过渡点的选取方法，然后构造多逐段离散网格函数作为闸函数，进一步估计截断误差，证明中采用了一些传统Shishkin网格法所没有的技巧。 整数阶微分方程数值方法的种种技巧早已应用于求解分数阶微分方程。然而直到最近3年，分数阶微分方程数值方法的理论证明才得到发展，尤其是稳定性和收敛性，其证明工作刚刚开始，有一定难度，急需进一步发展和完善。 目前分数阶偏微分方程数值解的工作皆以抛物型方程为主要研究对象，数值方法全部采用有限差分方法，并且要求分数阶导数项前的系数与时间t无关。本文的证明方法完全不同于前人，分数阶导数项前的系数可以是变量x和t的函数，差分格式按无穷大范数稳定和收敛。由于证明方法不同，本文数值方法的稳定性是指按初值稳定和按右端稳定，而前人所证明的稳定性是指按初值稳定。 第一章介绍了奇摄动问题常见的数值方法，介绍了分数阶微分方程在理论和数值方法的研究情况，并将本文的工作与前人的工作做了全面的比较。 第二章研究奇摄动对流-扩散问题，选取了多过渡点，构造多过渡点格式并证明格式是O(N~(-1))阶一致收敛，这里N是指网格剖分数目。 第叁章研究奇摄动对流 扩散弱奇性Robin问题和强奇性Robin问题。对弱奇性Robin问题构造Shishkin格式，证明格式是O(N~(-1)lnN)阶一致收敛；对强奇性Robin问题构造多过渡点格式并证明格式是O(N~(-1))阶一致收敛。 第四章研究二类奇摄动抛物型方程，一类是在空间导数项前含有小参数ε，我们在空间x上选取多过渡点；另一类是在时间导数项前含有小参数ε，我们在时间t上选取多过渡点。对这二类奇摄动问题分别采用多过渡点格式并证明格式是一致收敛的，改进了前人的结果。
蒋小惠[2]2014年在《两类单生物种群模型奇异摄动问题的渐近分析》文中研究指明Logistic模型是种群生态学的核心理论之一,是描述种群S型增长的主导数学模型。本文主要考虑含有小参数的Logistic模型,包括含小参数的Logistic收获时变模型以及广义的Logistic模型。模型分别为如下形式：和前言介绍了上述模型涉及到的生物数学背景和奇异摄动方法,第二章介绍了必要的预备知识；第叁章,讨论了含小参数的Logistic时变收获模型问题,接着通过两种奇摄动方法计算出了其近似解。一方面,先将这类含小参数的系统转化为快、慢系统,再通过匹配法构造其近似解,最后通过上下解法证明近似解的一致有效性,并给出近似解与精确解之间的误差估计；另一方面,运用非线性多重尺度法求出其渐近解,首先选取适当的两个时间尺度,将奇摄动Logistic时变收获模型问题由非线性常微分方程转化为偏微分方程,再通过对小参数的幂级数展开,将这个偏微分方程转化为两个线性的常微分方程,分别求出这两个解,再对这两个解进行合成,得到原模型的渐近解。第四章,讨论了一类奇摄动广义Logistic模型,首先构造了其外部解,其次应用伸缩变量得到了相应问题的内层解,再利用匹配方法给出了原奇摄动问题的近似解,最后,在适当的条件下,通过上下解法证明合成解的一致有效性,并给出了误差估计。
石岗[3]1995年在《一类奇异摄动问题的有限解析解》文中研究说明将有限解析法用于奇异摄动问题，建立了一类奇异摄动问题的离散格式，证明了格式的某些性质并作了误差分析．数值实验的结果表明格式的精度很高．
石兰芳[4]2002年在《奇摄动问题的数值解》文中研究说明本论文主要讨论了一类含双参数半线性常微分方程、一类具有转向点的椭圆型方程、半线性抛物型方程、二维半线性抛物型方程和双曲-抛物型偏方程奇摄动问题的数值解, 首先给出这些方程解的导数估计, 然后对不同问题构造了不同的差分格式, 最后我们证明了该差分格式关于小参数一致收敛.
白清源, 谢丽聪[5]1997年在《椭圆型方程双向转向点奇摄动问题的一致差分格式》文中研究说明讨论具有双向转向点的椭圆型方程奇摄动问题的一致数值解法，证明带指数型拟合因子的差分格式关于小参数ε的一致收敛结果．给出数值例子，计算结果表明了理论结果的正确性
宋亚洲[6]2016年在《两类具有内部层的奇摄动问题的研究》文中进行了进一步梳理近年来.具有内部层的奇摄动问题由于其实用性,受到了越来越多人的关注.随着内部层的复杂化：出现了非光滑,稳定性交换等有待于进一步解决的问题.首先.本文讨论了一类不满足Tikhonov系统的非光滑奇摄动问题.为了得到该问题的光滑渐近解.将其分成两个具有纯边界层的左：右子问题去考虑.利用边界层函数法构造了左.右问题的形式渐近解，并证明了边界层级数的指数估计式.接下来用“缝接法”对左,右问题的渐近解在不连续点处光滑缝接：在整个区间上证明了解的存在性及一致有效估计.最后借助于MATLAB编程作图结合具体的算例验证了结论.从而进一步推广了“缝接法”其次.研究了一类具有稳定性交换的奇摄动问题.分不同区间来考虑该问题的渐近解.在转点的很小邻域内.利用微分不等式方法证明了解的存在性及O((?))一致有效估计.在其它区间内,利用边界层函数法得到了一致有效的高阶渐近解.进而在整个区间上证明了解的存在性及一致有效估计.最后借助于MATLAB编程作图结合具体的算例验证了结论.
石岗[7]1994年在《两点边值奇异摄动问题的渐近数值解法》文中进行了进一步梳理本文根据方程εｙ＂＋Ｐ（ｘ）ｙ＇＋Ｑ（ｙ）＝０的渐近性质，提出了一种重点反映边界层的数值方法，并给出边界层厚度的近似估计式．数值实验的结果表明是有效的．
李驭繁, 周学良[8]1996年在《常微分方程奇异摄动问题的有限分析解法》文中研究表明给出了二阶导数带小参数的线性常微分方程两点边值问题的有限解析格式，证明了格式的截断误差为一阶
张蕊蕊[9]2017年在《具有奇性的奇摄动问题的渐近分析》文中研究表明本文主要研究了几类具有奇性的奇摄动初边值问题的渐近分析,大致分为两部分内容.第一部分研究了数值积分法求解奇异奇摄动两点边值问题;第二部分研究了具有高阶退化根的奇摄动微分方程解的渐近分析.第一章介绍了本文的研究背景及国内外研究现状,简要概述了奇异摄动问题以及奇异摄动理论方法的发展进程,并对本文的研究目的作简要介绍.第二章对本文所要用到的基本知识作简要概述.第叁章介绍数值积分方法求解具有奇性的奇摄动二阶两点边值问题,并给出相关实例,验证该方法的有效性.第四至六章研究了具有高阶退化根的奇摄动微分方程解的渐近分析.采用修正的边界层函数法获得具有多区现象的边界层刻画,继而得出该问题的形式渐近解.最后,利用形式渐近解构造问题的上、下解,并证明该形式渐近解的一致有效性.
张蕾, 史娟荣[10]2015年在《一类具有转向点的非线性奇摄动问题》文中指出讨论了一类具有转向点的非线性奇摄动问题,首先用渐近展开法构造出该问题的外部解,通过引入伸长变量,得到在x=x0附近叁种不同情形的内层解;利用Prandtl匹配原理,找到转向点的准确位置,并求出该问题的一阶一致有效的渐近展开式。最后将求得结果与数值解进行比较,得到较高的精度。
参考文献：
[1]. 奇摄动方程和分数阶方程的计算方法[D]. 蔡新. 厦门大学. 2006
[2]. 两类单生物种群模型奇异摄动问题的渐近分析[D]. 蒋小惠. 安徽工业大学. 2014
[3]. 一类奇异摄动问题的有限解析解[J]. 石岗. 武汉水利电力大学学报. 1995
[4]. 奇摄动问题的数值解[D]. 石兰芳. 安徽师范大学. 2002
[5]. 椭圆型方程双向转向点奇摄动问题的一致差分格式[J]. 白清源, 谢丽聪. 福州大学学报(自然科学版). 1997
[6]. 两类具有内部层的奇摄动问题的研究[D]. 宋亚洲. 华东师范大学. 2016
[7]. 两点边值奇异摄动问题的渐近数值解法[J]. 石岗. 武汉水利电力大学学报. 1994
[8]. 常微分方程奇异摄动问题的有限分析解法[J]. 李驭繁, 周学良. 武汉水利电力大学学报. 1996
[9]. 具有奇性的奇摄动问题的渐近分析[D]. 张蕊蕊. 安徽工业大学. 2017
[10]. 一类具有转向点的非线性奇摄动问题[J]. 张蕾, 史娟荣. 宿州学院学报. 2015