分形理论的科学和哲学底蕴，本文主要内容关键词为：底蕴论文,哲学论文,理论论文,科学论文,分形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在当今的世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为三大非线性科学的前沿。从上个世纪80年代以来，分形的新概念是全球科学家议论最为热烈和兴奋的热门话题之一，并形成了分形理论的研究和探索热潮。加入这个热潮的有各种门类的科学家（包括自然科学家和哲学社会科学家），甚至还有各类艺术家和电影制片工作者。这是因为，分形理论不仅具有广泛的应用前景，而且蕴藏着非凡的科学意义和哲学意义。
一、分形理论的产生和特性
分形理论的创立者是当代美籍法国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot），现在是美国IBM公司（国际商业机器公司）的高级研究员。他从小就受到了数学的熏陶，尤其擅长几何直觉。他倾心于形象的、空间的思维，能把复杂的问题化为简单的、生动的，甚至彩色的图像。
曼德布罗特独辟蹊径，在欧氏几何的0、1、2、3维之外提出了一个初看令人难以置信的分数维的概念。它成为一种新方法，可以度量舍此就无法定义的那些粗糙、破碎或不规则的客体的性质。从中使我们了解到，不规则程度能在不同尺度上重复叠合。随着尺度一次次变换，世界呈现出一种有规则的无规性。1975年冬天，曼德布罗特决定为自己正在研究的形体、维数和几何学命名。他杜撰了一个新词fractal，中文的意思就是分形或分数维。这样，一门新的学科——分形科学， 就宣告正式诞生。自此以后，“分形”一词成为一种新方法，可以用于描绘、计算和思考那些不规则的、凹凸不平的、零散分布的、支离破碎的图形，例如从雪花晶体的曲线到散落在星系中的繁星点点。而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏的复杂图形中的有序结构。
于是，分形的理论和方法被广泛采用。在那些最实用的水平上，它提供了一套工具，被各种门类的科学家所普遍接纳，公认非线性动力学提供良方的那些结构都证明是分形的。由于开辟了一条不寻常的学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康托尔齐名的少数科学家的名单上，因为这些科学家的工作在科学史上具有革命的意义。
分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎的几何形体，有着自己内在的规律和特性：这就是自相似性、层次性、递归性、仿射变换不变性。
自相似性就是局部的形态和整体的形态相似，或者说从整体中割裂出来的部分能体现整体的基本精神与主要特征。在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构的研究，还是对无限次重复形状的探讨，都贯穿着自相似性的基本观点。也就是说，分形就意味着自相似。例如，一个立于两面镜子之间的无穷反射，这是制作动画的最好方法。自相似性作为制作曲线的一种方法，同样的变换在越来越小的尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比的科契雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等图形。
自相似性是分形理论的核心，是所有特性中的基本特性。
层次性就是分形整体中存在的等级不同、规模不等的次系统，可以说整体中的任何点都是结构的一个分支点，整体中的任何部分又是一个自身的整体，依次重复，直至无限。埃菲尔铁塔就是它的类似物，它的小梁、构架和大梁不断分叉成构件更细的格式，层次性的网络结构浑然一体。
递归性就是结构之中存在着结构。由于自相似性是不同尺度的对称，这就意味着递归。对于分形的成长历史来说，它犹如“长江之水后浪推前浪”、“芝麻开花节节高”等一样的情节编织成的一部戏剧。
仿射变换不变性就是分形的局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，不仅相似，而且可以重叠。
曼德布罗特自己称为“一份宣言和一本手册”的《自然界的分形几何》一书，标志着分形思想的成熟。如今，它已成为人们用来描述不规则形态的几何特征的一个有力工具。伽利略曾把宇宙比喻为一本大书，这本大书是用数学的语言写成的。他说：“哲学是写在这部永远摆在我们眼前的大书中的——我这里指的是宇宙。但是，我们如果不首先学习用来写它的语言和掌握其中的符号，我们是不能了解它的。这部著作是用数学的语言写成的，其中的符号就是三角形、圆和其他几何图形。没有这些数学语言和数学符号的帮助，人们就不可能了解它的片言只语，没有它们，人们就会在黑暗的迷宫中徒劳地徘徊。”[1]正因为有了分形这一描述宇宙中不规则形态的数学语言，进一步帮助人们去读懂宇宙这本大书。正如曼德布罗特自己指出的那样：“这是一个美妙又极富有生命力的领域”，深深吸引着各种专业的科学家去展翅翱翔。
二、分形理论的分类和科学意义
按照分形理论，分形体内任何一个相对独立的部分（分形元或生成元），在一定程度上都是整体的再现和缩影。这种现象，无论在客观世界——自然界和社会领域，还是在主观世界——思维领域，都是普遍存在的。对此，仅仅从分形的初步分类中就可以得到应有的说明。尽管在现时严格标准的分类尚需继续研究，但以下分类却是有现实根据的。
1.自然分形
凡是在自然界中客观存在的或经过抽象而得到的具有自相似性的几何形体（对象），都称为自然分形。它涉及的范围极为广泛，内容极其丰富。从自然科学基础理论到技术科学、应用技术的研究对象，都存在着自然分形。例如，海岸线、云彩、闪电、地震等众多现象中的部分毫无例外地与整体相似。由此，还可以从中再细分出几何分形、功能分形、信息分形、能量分形，等等。
在形态和结构上存在着自相似性的几何形体，就是几何分形。诸如线状分形（科契曲线）、表面分形（谢宾斯基地毯）、体积分形（谢宾斯基海绵），它们分别与一维、二维、三维相对应，其中包括有规分形和无规分形。
在功能上存在着自相似性的几何形体，就是功能分形。在信息上存在着自相似性的几何形体，就是信息分形。一个胡萝卜的根细胞可以培养成一棵完整的胡萝卜植株，健康人的一个受精卵可以在母体中发育成一个人，这些都是人们熟知的事实。从信息上看，细胞就是一个分形体，它包含着整体的全部信息。从功能和信息上看，中医讲的穴位群，就是人体的缩影。所以，生物形体和人体病理，无不显示出分形现象，并由此产生了分形生物学的新学科，也为揭示传统医学的神秘色彩提供了新的解释。
在能量传播上存在着自相似性的体系，就是能量分形。这种分形主要表现在地震时地震波的传播，无线电通讯中电波的传播。
在自然分形中，谈论得较多的还有递归分形、多重分形、自仿射分形、自反演分形、“胖”分形等新概念，它们表征了自然界中不规则形体的非线性特征，颇具生命力和应用价值。
2.社会分形
凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来的自相似性现象，称为社会分形。这种分形几乎涉及以社会的各个层面为研究对象的所有社会科学部门。不论是使人明鉴的史学，还是促人灵秀的诗歌；不论是教人聪慧的哲学，还是令人善辩的辞学，都存在着、或在某一时期某一范围存在着自相似性的现象。如果加以深入研究，还可以详细分化并具体形成史学分形、语言分形、文艺分形、美学分形、社会结构分形、经济分形、管理分形等等众多的分支学科。社会分形表征了社会生活和社会现象中一些不规则的非线性特征，有着广泛的应用价值。
商品作为社会一个很小的相对独立的部分，包含着整个社会的信息，可以说是典型的社会分形元。在资本主义社会中，商品就是最简单的、最普通的、最基本的、最常见的、最平常的“细胞”（这五个“最”是列宁用以说明问题的原话）。马克思在《资本论》当中，就是从对资本主义社会的这个“细胞”的分析中，揭示了资本主义社会的一切矛盾及其胚芽，并进而揭示了资本主义社会乃至整个人类社会的发展规律。在《红楼梦》中，贾府是当时封建社会的缩影，它就是一个社会的分形元。通过贾府兴衰的描写，揭示了整个封建社会的各种矛盾，预示了封建社会行将灭亡的命运。在我国，已有一批从事写作的专家、学者，已兴起了“混沌、分形与写作学专题讨论”的热浪，引起了不小的震动，期望着形成良好的气候。当然，在社会生活和社会现象中，一个城市、一个乡村、一个工厂、一个学校，乃至一个小小的家庭，在一定的标度区间都是一个社会分形元，成为社会整体的再现和缩影。
3.思维分形
思维是人类特有的认识能力。思维分形是指人类在认识、意识活动的过程中或结果上所表现出来的自相似性特征。这包括两方面的情况：其一，作为思维形式之一的概念，它是逻辑思维最基本的分形元，反映了人们对事物整体本质的认识。认识是人对客观世界的反映，这种反映通过一系列的抽象，以概念的形式近似地描绘发展变化的客观现实。概念的形成和发展就是科学认识的主要成果。概念是人们用于认识和掌握自然现象之网上的纽结，是认识过程中的阶段。纽结对于纽结之网，阶段对于整个过程，都是整体中的部分，但它们却反映着整体，虽然只是近似地反映。思维要正确地反映客观现实的真实运动，概念就必须是辩证的，是主观性和客观性、特殊性和普遍性、抽象性和具体性的统一。其二，每个个人的思维都在某种程度上反映了人类整体的思维。可以说，人类的每一个健全个体的认识发生、发展过程，都是人类认识进化史的一个缩影，是其既简略而又迅速的重演。
思维分形不仅在科学认识中体现出来，而且也在日常认识中体现出来。例如，“无产阶级要最终解放自己，首先要解放全人类”，这是分形思想的体现。又如，“如果你要爱自己，那就爱人类吧！”这是情感分形得出的必然结论。
4.时间分形
凡是在时间轴上具有自相似性的现象或研究对象，称为时间分形。有人也把它称之为“一维时间分形”或“重演分形”、“过程分形”。生物学中的海克尔重演律是一条著名的定律，它表明生物个体的发育是生物种系进化过程的简短而又迅速的重演。例如，人的受精卵在母腹中变成新生婴儿的过程，在一定程度上近似于人类从水母、鱼类到猿猴、猿人，最后成为今天的现代人这整个进化过程的再现、重复。生物个体的出现是生物种系进化的缩影，他们在时间轴上具有自相似性。德国科学家魏尔说过一段耐人寻味的话：“在一维时间中，等间隔的重复是节律的音乐原则。当一棵苗生长时，人们可以说，它把一种缓慢的时间节律翻译成了一种空间的节律。”[2]恩格斯也曾经指出过，“整个有机界的发展史和单个机体的发展史之间存在着令人信服的一致”[3]。在人类社会的发展中，同样存在着类似的现象。
时间分形与在自然分形中谈到的几何分形（空间分形）是相对应的。在地震研究中，相应地产生出时间分维和空间分维的概念，它们有可能成为预报地震的实用手段之一。
以上分类之间是相互联系和相互渗透的。仅就时间轴上所具有的自相似性特征，不论在自然分形、社会分形，还是在思维分形中，都贯穿着时间分形。换句话说，在事物的发展和进化中，无不体现出时间分形的普遍现象。
仅就以上对分形分类的分析中，我们就已经体会到它所散发出来的浓烈的哲学韵味。
分形理论及其对各个学科所带来的冲击，代表了人类对自然界认识的新进展。也就是说，它的产生对于科学认识，具有不可估量的意义。
从19世纪和20世纪之交的物理学革命以来，层出不穷的科学发现代表着科学家们对复杂性事物的探索，认识的深度和广度向微观和宇观拓展。量子力学和相对论的建立，标志着人类对自然界这种认识的重要进展，但它们并不能因此为科学的发展画上句号。量子力学中关于确定性与不确定性的争论从它一经诞生就已开始，并为众多的科学家所关注。量子理论给人们提出了新的问题，也对一些现象给出了新的解释，但它毕竟只能对两粒子体系给出精确解，对多粒子体系的解完全是近似的，更不必说对包含了无数粒子的生物学体系了。
经典物理学确认时间与空间是分离的。相对论的创立，把时间与空间联系了起来，但它讨论的问题是宇观的，它的主要内容与人们的日常生活相去甚远。虽然我们拓展了认识，而我们的科学体系仍是不完整的，至少对于日常的、包括我们自身体系的理论在一定程度上还是空白。人们渴望在关于微观的量子论和关于宇观的相对论之间创造出新的理论，在普朗克常数和光速之间找到某个过渡的中间常数。此前的一些科学家尽管作过艰难的探索，偶尔也拾到过一二个“贝壳”，但问题远没有解决。
科学家们迄今为止之所以在解析大极限宇宙和小极限粒子上投入了很多的精力和热情，而对人们日常生活中所熟悉的中等大小现象关注不够，主要原因在于后者本质上是多体问题，彼此之间存在着复杂的相互作用，解剖学的方法在这方面几乎不起作用，如同手术刀和显微镜在了解人的复杂而微妙的心理方面无能为力的道理一样。曼德布罗特创立的分形理论，旨在探索自然界中常见的、不稳定的、变幻莫测的、很不规则的现象、过程和体系，试图找到介于无序——有序、局部——整体、微观——宏观之间的新秩序，有助于阐释无序中的有序、无规中的规则、不确定中的确定。因此，分形概念填补了微观与宏观之间的空白，架起了一道从微观通向宏观的桥梁，为寻找可能的“中间常数”鸣锣开道。
传统几何学研究的对象只是形状规则的、平滑的、简单的图形。在牛顿以后，由于微积分和几何学的结合，研究的形状，才变得更为复杂一些，但仍然是平滑的和可微分的。如今分形所研究的图形，就更加复杂了，它既不平滑又不可微分。因此，在这个意义上说，分形理论放弃了铺垫物理学大厦的微分学，它给出了全新的见解，可以认为是一个划时代的革命。
分形理论与耗散结构理论、混沌理论是相互补充和紧密联系的。耗散结构理论着眼于从热力学角度研究在开放系统和远离平衡条件下形成的自组织，为热力学第二定律的“退化论”和达尔文的“进化论”之间开辟了一条通道，把自然科学和社会科学置于统一的世界观和认识论之中。混沌理论侧重于从动力学观点研究不可积系统轨道的不稳定性，有助于消除对于自然界的确定论和随机论两套对立描述体系之间的鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些范畴的认识。而分形理论则从几何学角度，研究不可积系统几何图形的自相似性质，可能成为定量描述耗散结构和混沌吸引子这些复杂而无规现象的有力工具，进一步推动非线性科学的发展，并把科学发展从整体上推进到一个新的阶段。由此，进一步沟通了自然科学、社会科学和哲学之间的关系，极大地深化了对世界事物的认识。
三、分形理论的哲学底蕴
在哲学的层面上，对分形理论的初步分析表明，这是一片诱人的待开垦的沃土。对此，作者也曾有所涉及[4]。
首先，分形理论及其应用给哲学提出了一系列问题，并对相应问题的辩证认识及其深化作出了新的贡献。其中，仅就唯物辩证法而言，就给人以耳目一新的启迪。
1.部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等等，都是与分形理论密切相关的成对概念，分形与分维给它们注入了新的内容，或是给出了新的理解；有规分形与无规分形、标度不变与标度变换、时间分形与空间分形、时间分维与空间分维、信息分形与功能分形、平庸吸引子与奇怪吸引子等等，它们是分形理论新提出的成对概念，本身就具有新的指向和新的意义。不论是前一种情况还是后一种情况，都从纵横两个方面拓展了对立统一的辩证关系，或者说从共时态与历时态的两个维度上展示了这些成对概念及其相互关系的新意，进一步丰富并补充了马克思主义哲学的有关内容。
例如科契曲线，它的构造是取一等边三角形，尔后在每边中央加上一个原长1/3的等边三角形，如此变换，以至无穷，全周长为3×4/3×4/3×4/3……，其面积却小于原等边三角形的外接圆。这种曲线具有一些很有趣的特性。这是一条从不自身相交的连续的回线，因为每边上新的三角形总是足够小，得以避免相交。每次变换都在曲线内增加一小点面积，但总面积却有限，即比原来三角形的面积大不了多少。由此得出一个相互矛盾的结论：无限的长度填满有限的面积。这不仅使许多数学家感到困惑，而且对现有关于有限与无限相互关系的理论提出了挑战。
2.通常认为量变引起质变的形式基本上是两种，一种是由数量的增加或减少引起的质变，一种是由构成事物的成分在排列次序上的变化引起的质变。上述科契曲线的构造和形成告诉我们，事物形状的改变也可引起质变。这里所说的形状的改变而引起的质变，不仅是指具体事物的不同形状所引起的几何形体性质的不同（例如正方形有别于三角形），而且是指某一形体的边长经过重复变换，可以从有限变成无限，引起根本性质的改变。
物理学中的相变是量变转化为质变的典型表现。相变起因复杂，表现方式五彩缤纷，但它的微观机制究竟是什么？研究发现，各种物质在相变点附近的行为极为相似。热力学揭示，各种相变有一个共同的特点，那就是相互转变的两相的化学势相同。自然界中千差万别的相变，都可按化学势及其导数来进行分类。如在气液两相的变化中存在着一个临界点，在临界点以上，气液两相的区别不再存在。标度理论（标度假说）的基本思想告诉我们，关联长度是唯一决定各物理量在临界点附近奇异（突变）性质的量。分形理论（标度理论是它的内容之一）为揭示量变质变的微观机制提供了新的科学依据，对唯物辩证法基本规律的研究起了促进作用。
3.数学中的迭代，犹如一个连续反馈，即把得到的“输出”又作为“输入”引入原问题之中。如将输入作为“因”，输出作为“果”，则所构成的过程就是：因→果→因→果——→果，直到果不随因而变为止。取一个简单的抛物线方程y＝ux（1——x），若给定一个初始值xo，由此反复迭代下去。在一定情况下，经过几次迭代后，结果不再变化。于是就说，迭代达到了“不动点”。在不动点时，因果相同，即输入的值和输出的值相等。在这一方程式中，x（2）项是非线性项。二次或二次以上的函数都是非线性函数，由非线性函数所描述的系统称为非线性系统。非线性系统的方程可能有多个定态解，其中有的是稳定的，有的是不稳定的。随着调节参数u的变化，定态的稳定性也会改变，原来稳定的变得不稳定了，而某些原来不稳定的却变为稳定、或出现新的稳定定态。对这种现象的研究，往往引出许多引人入胜的结果，为现有关于因果关系的理论所始料不及。
在因果关系的问题上，奇怪吸引子上的运动对于初始原因十分敏感。进入奇怪吸引子的部位稍有差异，运动轨道就截然不同。也就是说，一个小小的原因，就能引起重大的后果。这就是所谓的“蝴蝶效应”，意思是说，今天一只蝴蝶在北京拍动一下空气，就足以使下个月纽约的一场暴风雨为之改观。在生活中（像市场经济的大潮），人们一个细小的要求，往往就能形成一个巨大的市场。不论是科学还是生活，一连串事件中都有一个能牵一发而动全身的临界点。像天气这样的系统，依赖于初始原因（条件）的敏感性是大小标度缠结在一起的必然结果。蝴蝶效应对哲学的呼唤，人们有理由期盼着对原因和结果的关系、对系统表现的随机性和内在的决定性的关系，作出新的阐释。[5]
其次，可以把分形的概念和思想升华为一种方法论——分形论。这是一种辩证的认识方法和思维方法。
部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴，而分形理论之自相似性的核心也是部分与整体的关系。把复杂事物分解为要素进行研究，已经成为科学方法论中的一条原则——简单性原则。在哲学史上，人们较早就认识到，整体由部分组成，可以通过认识部分来认识整体，人类对自然界和宇宙整体的认识总是从部分开始的。现代系统论认为，整体大于部分的总和，整体的性质和规律存在于组成整体各要素的相互联系和相互作用中。系统、整体具有各组成部分在孤立状态时所没有的新性质，这就揭示了宏观的整体规律。分形元是构成整体的部分和系统的要素，与整体相似，它反映和含有整个系统的性质和信息，即要素映现系统，但整体、系统的复杂性远远大于分形元。特别值得注意的是，分形理论指出了分形元构成系统整体所遵循的原则和规律，因此是对系统论的重要补充。
从认识事物的途径或思考问题的方法来看，分形论与系统论分别体现了从两个端点出发的思路。它们之间的互补，恰好完整地、全面地体现了辩证的思维方法。系统论由整体出发来确立各个部分的系统性质，它沿着从宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。而分形论则由部分出发来确立整体的性质，沿着从微观到宏观的方向考察部分与整体之间的相似性。也就是说，系统论强调了部分依赖于整体的性质，体现了从整体出发认识部分的方法；分形论强调了整体依赖于部分的性质，体现了从部分出发认识整体的方法。于是，两者构成的互补，即系统论和分形论相互辉映，极大地提高了人类对自然界认识的能力。
分形论作为认识世界的一种新方法，不仅在于从整体与部分之间的信息“同构”中，找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁，为人们从部分中认识整体、从有限中认识无限提供了可能和根据；而且，分形论使人们对整体与部分关系的认识方法、思维方法由线性阶梯进到非线性阶梯，揭示了它们之间多层面、多视角、多维度的联系方式。
分形理论作为非线性科学的前沿，又是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、文学艺术和工程技术等广泛领域，提供了一种新的科学方法和认识方法，具有远大的应用前景。
此外，分形理论所提出的哲学问题和它的哲学底蕴，例如，由于世界的本质是非线性的，而分形是非线性特征的几何表现，因此分形性应是自然界的一种基本属性；分形论的创立为关于事物的普遍联系和世界统一性的原理提供了最新的数理科学根据，……等等。对这些问题的详细分析，有待于以后逐步展开。