几何作图教学的设计思路究竟在哪里？，本文主要内容关键词为：几何论文,思路论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《中学数学教学参考》（中旬）2009年第9期发表了李延林老师的《几何作图贵在思路》一文，文章对大家常见的几个经典问题从教学的角度进行了深入分析，读后让人很受启发。特别是作者在文中指出：“在课本中出现的几何作图题，基本上都是先给出作法，再给出证明。学生听教师讲或看书中的例题，然后模仿着解决类似问题，进而解决综合性的题，其实，这种学习方式是有缺陷的。”应该说，这种说法直击了数学课堂几何作图教学的要害，他的那句“会解决问题的重要标志是明白这种作法背后的思路”一定会引起很多教师的共鸣。
针对以上思考，笔者就北师大版九年级（上）“角平分线”的教学谈一些个人心得体会。
一、品读课本
“角平分线”是北师大版九年级（上）“证明（二）”最后一节，其前一节是“垂直平分线”。本节的教学知识点主要有：(1)角平分线的性质定理的证明；(2)角平分线的判定定理的证明；(3)用尺规作已知角的角平分线。
“还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？”这是本课教材的开头语。因为学生已经在以前的学习过程中探索过角平分线的性质，如此设问的目的在于引导学生回顾这一性质及其探索过程，并尝试证明它。
接着，课本给出了角平分线性质定理的详细内容。
接下来，又是设问：“你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请证明它。”不用说，如此设问是为了引出判定定理，课本采用留白的形式，而并没有给出判定定理的证明。
然后，教材设计了一个“做一做”：用尺规作角的平分线，并“请你说明OC为什么是∠AOB的平分线，并与同伴进行交流。”本课内容至此戛然而止——三、四百字，整篇内容一道例题也没有！
显然，教材内容分为三部分：角平分线的性质定理、判定定理及用尺规作角的平分线，从编者意图来看，这三部分内容不是简单铺陈，应该是层层递进关系，即
我们可以看出，角平分线的性质定理、判定定理是对学习尺规作角的平分线的知识起到铺路搭桥的作用。
细细品读，我们会发现本节内容虽然结构清晰明了，但还是有一定的难度。
二、教法评述及困惑
用尺规作角的平分线，这应该是众多版本数学教材的经典内容，对这个几何作图，凡是有过初中数学学习经历的人或多或少都有些记忆。作为基本作图，翻开任何一本数学教材或教辅资料，无一例外地是这样作出角的平分线的（笔者特称之为“经典作法”）：
已知：∠AOB（如图1）。
图1
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC。
作法：(1)在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；(2)分别以D、E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；(3)作射线OC。则OC就是∠AOB的平分线。
为什么要这样作？笔者调查过很多教师，都感到从角平分线性质定理、判定定理再到这个经典的作法，不只是学生觉得突然，不容易想到，就是教师也感到不容易在课堂上让学生“生成”这种作法。
至于教学方法，笔者曾经听过一些教师讲这节内容，也查阅了很多教学设计，正如李延林老师所说，一般都是教师直接给出作法，再给出证明。并且不止一次地看到“教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程”这样的字眼。
李延林老师说：“不知思路的作图方法是空中楼阁”，“介绍作法”显然就是建造“空中楼阁”，难道作为一名数学教师，我们这节课就是当一个解说员，把用尺规作角的平分线的方法介绍给学生就完事了？如果是，那编者为什么在尺规作角的平分线前先安排角平分线的性质定理和判定定理？如果不是，角平分线的性质定理和判定定理和尺规作角的平分线的关系在哪里？学生在这节课的学习过程中要经历怎样的探索过程才会发现这个经典的作图方法？这个几何作图的思路究竟在哪里？
三、教学实践
1.学生容易想到的一种作法
在学完角平分线的性质定理和判定定理后，总以为大功告成，学生肯定会想到怎样用尺规作角的平分线了，于是，提出问题：“同学们，大家知道了角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。你们能用尺规作出角的平分线吗？”
图2
问题一提出，学生陷入了思考，一会儿，有学生介绍了他的作法：(1)如图2，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OM、ON，使OM=ON；(2)分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P；(3)作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线。
图3
这显然不是笔者想要的答案。当我问他为什么要这样做时，他说他的思路来自教材P.23，如图3，用三角尺作角平分线。而恰好前一课学生也学了经过一点用尺规作已知直线的垂线。
把已学过的知识作为解决问题的工具，学生能得出这种作法，笔者认为是受到了前面知识的影响，受到了性质定理和判定定理的影响，是顺理成章的“生成”，但它不是课本给出的经典作法。这不由得让笔者想到，究竟如何才能引导学生想到课本中的经典作法呢？笔者继续了他的实践和探索。
2.学生能想到的其他几种作法
作法1：(1)如图4，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OD、OF，使OD=OE；(2)连接DE；(3)取DE的中点C；(4)作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。
因为OD=OE，C是DE的中点，所以OC是等腰△ODE底边DE的中线，也是高线，也是顶角∠AOB的平分线。这种作法和经典作法类似，但利用的是等腰三角形的性质，学生容易理解。在学习等腰三角形性质时，可插入该作图方法，使学生加深对等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一的理解。该作法中，取线段DE的中点C并运用线段垂直平分线的基本作法来解决，有利于培养学生的动手能力，提高基本作图技能。
图4
图5
作法2：(1)如图5，在∠AOB两边OA、OB上分别截取OQ=OP，OT=OS；(2)连接PT、QS相交于点C；(3)作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。
该作法源自教材三角形全等中的一道习题。用到了三角形全等的SAS、AAS、SSS等定理，需引导学生找出对应的三角形关系。这种作法学生较容易掌握，切实可行。
作法3：(1)如图6，过边OB上任意一点D作OA边的平行线DE；(2)在DE上取DC=DO；(3)作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。
图6
该作图联系了两直线平行内错角相等和等腰三角形两底角相等的性质，作法巧妙。
这几种来自学生实践发现的作法，激发了学生学习几何的兴趣，开拓了思路，增进了知识的横纵联系，巩固了基础，培养了他们的动脑动手能力，值得称道。这些作法的发现，符合学生认知的“现有发展水平”和“最近发展区”。
3.这样预设，学生总算很快想到了经典作法
为了让学生能想到角平分线的经典作法，笔者曾经做过这样的预设：
图7
如图7，用四根木条做的仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？这是学生在七年级（下）探索三角形全等的条件时就熟悉的一个情境，学生能很快作答。
接下来设问：由此，同学们能不能用尺规作角的平分线呢？
没用多少时间思考，很多学生都想到了课本上介绍的经典作法。显然，预设取得了成功！
四、几点思考
1.有限的教材，无限的思考
教材呈现给我们的文字、图片、例题、习题都是非常有限的，但是每一段文字、每一幅图片背后所蕴藏的深意值得我们去拓展、探求，它们留给我们思考的空间却是无限的。我们常说“创造性地使用教材”，要做到这一点，没有深度的思考是不行的。“角的平分线”这一课教材内容就几百字，但真正要上好这一堂课，值得我们思考的东西却很多！
2.有限的预设，无限的生成
教师的预设总是有限的，但在课堂上的生成却是无限的。李延林老师说：“解答作图问题不能只知道作法、而要能证明作法，解答相关习题，应当挖掘作法产生的原因，弄明白思路。不能凭感觉走，要重视思路，逐渐形成良好思维习惯。”为了达到这一点，在讲完角平分线的性质定理和判定定理后，为了让学生有尺规作角平分线的思路，不同的教师会有不同的预设。同时，学生的认知习惯和方式是不完全相同的，必然会有不同的生成。“存在即合理”，教师在课堂上要正视学生的每一次思考，每一种想法，合理引导，让学生思维的河流在教师合理的预设下最终归于“生成”的海洋！
3.有限的时空，无限的精彩
课堂给我们的时间空间都是有限的，但我们却可以让它散发出无限的精彩。每位学生都有巨大的探究潜能，我们的课堂要多创设发挥学生这种潜能的时间和空间。数学教育的最终目的并不是简单地教会学生如何解决课本中的习题，而是要让我们的学生能够学会思考，有了思考，你会发现数学其实并不冰冷。
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