教法创新引发解决问题策略多样化——“三角形面积计算公式推导”教学案例及分析，本文主要内容关键词为：角形论文,教法论文,解决问题论文,计算公式论文,教学案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
学生用什么方法推导出三角形的面积计算公式？是否就采用教材上提供的思路——用两个完全一样的三角形拼成长方形或平行四边形后，再推导出三角形的面积计算公式？带着这些问题，我们进行了教学实践，以下是一些教学片断。
［教学片断］
师：你们已经学习了哪些平面图形的面积计算公式？
生：我们已经学习了长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式。长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，平行四边形的面积＝底×高。
师：这些公式又是怎样推导出来的？
：长方形的面积计算公式是通过摆面积单位推导出来的。正方形是特殊的长方形，它与平行四边形的面积计算公式是根据长方形的面积计算公式推导出来的。
：这三种图形的面积计算公式都可以用摆面积单位的方法来推导，平行四边形还可以用割补法把它变成与它面积相等的长方形，由长方形的面积计算公式推导出平行四边形的面积计算公式。
：我认为长方形的面积计算公式是这些公式的祖宗。（众生大笑）
：他的意思是正方形和平行四边形的面积计算公式都可以由长方形的面积计算公式推导出来。因此，正方形和平行四边形的面积计算公式是长方形面积计算公式的子孙。（众生又大笑）
师：从大家的笑声中知道，你们已经同意了这些说法，看来大家已经掌握了用摆面积单位、割补转化等方法来推导出长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式。现在，我们来学习三角形的面积计算，看你们能否从学过的这些方法中得到启发，先设计一种推导方案，再推导出三角形的面积计算公式。
［教学片断］
教师组织学生合作探索、研究，然后上台作适当的演示，并进行汇报、交流。
：我们组采用摆面积单位的方法来推导三角形的面积计算公式：先在三角形上摆1平方厘米的小方格（如图1），再数方格数，不满一格的都按半格计算，得到三角形的面积。比较每个三角形的底、高与面积，发现三角形的面积正好等于底乘高的一半。
附图
图1
：我们组觉得把一个个面积单位的小方格摆在三角形上太麻烦了，改为把三角形纸片放在方格子上，再数出格子数，数的方法与他们一样，得到的面积也等于底乘高的一半。
：他们两组的方法都不好！第三个三角形的面积等于底乘高的一半是6平方厘米，用数方格的办法得到6.5平方厘米，他们的方法是有问题的！不满一格的怎么都能按半格计算呢？我们组是用割补的方法来推导的（如图2）：把一个直角三角形沿高的一半剪开，拼成一个长方形，这样图形的形状就发生了变化，但是面积大小没有变，并且长方形的长等于三角形的底，宽等于三角形高的一半，又因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积＝底×高÷2。
附图
图2
：他们这一组只研究直角三角形，不全面。我们小组还把锐角三角形、钝角三角形都割补成平行四边形（如图3），直角三角形也可以割补成平行四边形，三角形的面积就等于平行四边形的面积。
附图
图3
：你们组还没推导出三角形的面积计算公式呢！我们是用折的方法进行推导的：把三个角往里折，成为两层的长方形，所以三角形的面积＝一个长方形的面积×2=（底÷2）×（高÷2）×2=底×高÷2。
：我们组把三角形放在方格子上，开始时用数格子的方法计算面积，觉得很麻烦。再仔细看格子图，在图上描一描，发现两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形，也可以拼成一个平行四边形；两个完全一样的锐角三角形可以拼成一个平行四边形；两个完全一样的钝角三角形也是这样的。我们就认为一个三角形的面积＝平行四边形的面积÷2＝底×高÷2。
：我们组直接用两个完全一样的三角形纸片拼成一个平行四边形，平行四边形与三角形的底相同，高也相同，所以平行四边形的面积是一个三角形面积的2倍，即三角形的面积＝底×高÷2。
师：大家都很能干！想出了这么多的推导方法。现在我们回头看看，这些方法有什么相同的地方？
：这些方法可以分为两类：一类是通过数方格；另一类是把三角形转化成已经学过的会求面积的图形，再推导出公式。两类方法的结果都是一样的，三角形的面积＝底×高÷2。
师：我们不但推导出了三角形的面积计算公式，更重要的是掌握了解决问题的方法：把一个“新”的问题转化为一个“旧”的问题来解决。
课后调查统计，占全班总人数12%的少数学生按照教材提供的思路进行公式推导（直接用两个完全一样的三角形拼成平行四边形）。大部分学生采用其他方法：用摆面积单位（或将三角形放在方格图上）的方法先测量出几个三角形的面积，再比较分析归纳出三角形面积计算公式的，占28%；由平行四边形面积计算公式的推导方法悟出用“等积变形”的方法来推导的，占30%；先将三角形放在方格图上数方格，再观察发现两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，由此推导出公式的，占22%；其他方法占8%。
综观统计结果及以上教学片断不难看出：学生没有单一地按照教材提供的思路进行公式推导，而是“八仙过海，各显神通”，调动大脑中已有的知识储备和方法经验，运用自己喜欢的思维方式解决问题，形成班级群体解决问题策略的多样化。本节课教学成功的主要因素是教师创造性地教引发学生创造性地学！教师处理教材时，没有死板地去“教教材”——指令学生按照教材提供的思路去推导公式，而是创造性地“用教材教”，给学生提供学习的时空，让他们自己选择解决问题的策略，设计问题解决的方案，通过实验操作、分析推理，总结出解决新问题的一般办法。课始，开掘认知资源（即与问题有关的数学知识），激活学生大脑的知识储备和方法储备。教师以学生已有的数学知识为背景，组织复习长方形、正方形和平行四边形的面积计算公式及推导过程，当学生知道这些公式的来龙去脉之后，揭示课题并提示学生可以把已学过的摆面积单位和割补转化这两种方法运用到新的学习情境中去，给学生提供学习的动力，使学生有解决问题的兴趣。在此兴趣的作用下，学生们积极探索，将已有的方法和策略进行新的分化和组合，灵活运用已有的知识和策略解决问题。学生通过小组合作探究，已基本形成解决问题的方法。由于学生的个体探究、小组合作准备充分，他们有话可说、有话想说，在班内汇报中发言踊跃，对各小组“再创造”的过程进行审视、质疑，同时对自己的思维过程进行反思，并借鉴、丰富、完善各自解决问题的策略。这样，学生不仅获取了知识，而且在主动获取知识的过程中掌握了解决新问题的策略性知识——把一个“新”的问题转化为一个“旧”的问题来解决，从而使学得的知识策略化。