公理化思想与科学知识的增长，本文主要内容关键词为：公理化论文,科学知识论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
提要 公理化思想的发展始终伴随着整个知识的起源和增长。本文概述了公理学从实质公理化阶段到形式公理化阶段的发展过程，论述了二者的不同特征及其对自然科学知识增长的推动作用，同时还分析了公理化思想在科学思维方法和社会科学领域的渗透性应用。
关键词 实质公理学 形式公理学 科学知识的增长
科学知识是人类孜孜不息追求的目标，它的增长过程与公理化思想结下了不解之缘。我们知道，每一项知识的获得，人们都希望有充足的理由来支撑、证明它。这种证明的工具就是逻辑，逻辑是“证明的学科”。但是对一切知识都加以证明是不可能的，否则会导致两种后果：一是无限逆推，二是循环的或交相替换的证明。前者会造成对知识的不可信，后者则几近于“A就是A，B就是B”的强词夺理，难以使人信服。总之，无限逆推与循环论证在逻辑上是站不住脚的。因此，人们不会追求这种无限境的理由，而会在倒退的某个环节停止，找到一些不需要再找理由、不证自明的命题，做为知识推理的最初根据。正如亚里士多德所宣称的：“并非一切知识都是证明的知识，相反，直接前提的知识是独立于证明的。”〔1〕这种“独立于证明的”的“直接前提的知识”就是不证自明的命题，我们称之为公理。可见，公理思想的产生和知识的起源几乎是同步的。亚里士多德是公理方法的首创者，他认为，每一知识领域都有若干不证自明的基本定理，也就是公理，由这些公理出发，运用三段论可演绎出该领域的全部定理，其总和即构成一知识体系，一门学问就是由公理法这种逻辑方法构造的知识体系。
所谓公理化方法（或公理方法），就是依照某门科学所提供的理论知识从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本公理）出发，利用逻辑规则演绎出其它一系列命题，构成理论系统。运用公理化方法构造起来的演绎体系，称为公理系统。符号化的公理系统则称为形式（公理）系统。所谓基本概念与公理，必须反映该科学实体对象的最单纯本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造。公理化思想就是上述公理学内容在科学认识活动中的思维反映和运用，因而带有更大的普遍性。
科学是一种系统的知识，科学理论则是按逻辑原则构建的知识系统。任何一门科学在其发展过程中，当积累了大量经验数据和理论知识，具备了一定数量的范畴、原理和规律以后，就要求给予整理，构成系统的理论。其中，公理方法以其显著系统性特征而成为科学理论系统化的一种重要手段。
最早的公理系统可以追溯到古希腊的欧几里德几何学体系。公元前七世纪之后，由于丈量土地和建筑的需要，几何学不断发展，积累了大量关于各种几何图形的计算技术与计算规则，但如何把它整理为一个严密的理论系统呢？欧几里德选取了少数不加定义的原始概念和不需证明的几何命题为公理、公设，使它们成为全部几何学的出发点和原始前提，然后应用亚里士多德的演绎逻辑，推演出一系列的几何定理，从而把关于几何的知识整理为一个严谨的几何学理论体系，这就是《几何原本》。欧几里德对公理方法的创造性运用，第一个在具体知识领域内实现了亚里士德的“三段论产生科学知识”的愿望。
公理方法应用最成功的是数学体系，此外，物理学也是它大显身手的主要领域，牛顿的力学体系就是其中代表。在《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿第一次有系统地运用公理化方法表达了经典力学的体系，成为科学史上第一个把公理化方法运用于经验科学领域的典范。在该书中，牛顿总结概括了以往的力学成就，对“质量”、“动量”、“惯性”等做了定义后，提出著名的运动三定律。由此出发，结合万有引力定律，运用严谨的数学手段，演泽出整个经典力学体系。系统中不同概念联系紧密，以致人们难以做到不破坏整个系统而改变其中任何一个概念。它堪称一部理化公的完美杰作。
如果说，欧几里德几何学，牛顿的经典力学体系所运用的公理化方法还处于低级发展阶段——实质公理化阶段——的话，那么，建立在现代数理逻辑基础上的形式公理化则属于公理方法发展的高级阶段。实质公理化是按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的，其论域须先于公理而具体给定，其“公理”含义乃是古典的接近常识经验的不证自明的命题。这种公理化主要用于经验知识的系统整理。形式公理化则不同，它不预先给定任何论域，对初始概念经过不同解释，一个形式公理系统可以有许多论域。例如，布尔代数（逻辑代数）的公理系统就是形式公理系统，它在不同的论域可解释为类，或命题，或电路上的开关。此外，形式公理系统内公理的选择主要依据于作为公理的命题集的某些特定的性质，虽然比古典意义的公理更远离常识，且带有明显的假设性质，但却更具有逻辑上的严格性和可靠性，人们选择公理的自由度也大大增加。
在形式公理系统（广义）中，逻辑概念还有意义，没有完全符号化，公理还表现为某种关系结构。到了完全形式化的公理系统即形式语言系统（或逻辑形式系统）阶段，概念都成了符号，联结词成为逻辑常项，命题都成了公式，公理都是重言式，推导都成了公式的变形，一切意义都被抽象掉，只有在语义解释后才能获得意义。这样，形式系统方法不仅在现代逻辑和数学被广泛应用，而且扩渗到其他自然科学（经验科学）甚至某些社会科学领域，为这些学科提供了强有力的研究工具。因此，形式系统方法具有重要的科学方法论意义，它甚至被塔尔斯基称为“演绎科学方法论。”
正因为形式（公理）系统具有如上区别于实质公理系统的优点，它对科学知识的增长具有更重要的意义。首先，它是用以整理知识体系的一种锐利工具。逻辑实证主义认为，科学知识是逻辑形式，科学理论是形式系统，科学活动的最后步骤就是建立理论的形式系统。形式系统是用人工语言构造的公理化系统，它的精确性和严密性使我们能够把现有的科学知识构造成精密的理论，最大限度地发挥科学理论的逻辑力量，正如黑格尔曾天才指出的：“在任何一门科学里，都是从公理开始的，这些公理当初都是特殊事物的结果；等到科学完备了，就从公理开始了。”〔2〕形式公理化比实质公理化在理论系统性方面具有更大适用性。
其次，形式（公理）系统的建立不仅是整理知识的程序，还是发展认识的重要和必要一步。形式系统只是对科学理论的精要概括和总结，它不必也不可能将该理论所有知识包罗无遗。但是通过形式系统构建的理论能够揭示出各学科对象领域中丰富的逻辑联系，对该领域中的事物和现象作出合乎逻辑地预言和猜测。它可以使研究者在现有的知识框架和体系范围内，从深度、广度两方面对理论作进一步的探索和完善，从而发展知识，使科学认识趋于进步和完美。例如，英国生物学家吴杰（J.H.Woodger ）在《生物学中的公理化方法》一书中致力于用罗素和怀特海的《数学原理》中的语言，对孟德尔的遗传学进行公理化处理。一位同事对此感到奇怪，吴杰回答说：“为了发现新东西。”
最后，形式（公理）系统的建立为科学理论的元理论研究创造了条件。元逻辑是以形式化的逻辑为研究对象的一门科学，它主要研究形式语言、形式系统和逻辑演算的语法和语义，中心是有关逻辑系统的一致性、完备性，可判定性及公理之间的独立性等问题。现代逻辑的元逻辑研究一方面促进了证明论、模型论、逻辑句法学、逻辑语义学、逻辑语用学等与其相关的逻辑分支的建立和发展。另一方面，元逻辑概念做为工具广泛应用于各个知识领域，引导了各学科开展“元理论”研究的热潮。如“科学理论的结构”是一种元科学理论的研究，其主要内容是科学理论的形式结构。美国学者纳格尔（E.Nagel ）运用现代逻辑的工具对科学理论作元逻辑研究后得出，科学理论由形式系统、对应规则和概念模型等三部分组成。又如，冯·诺曼1932年关于量子力学形式系统及其元逻辑结论——完备性定理的工作，就给量子力学哥本哈根学派提供了有力的支持。
由于形式（公理）系统是一种符号系统，人们既希望公理系统的推演能力愈大愈好，又希望作为出发点的公理愈简单、愈经济愈好，彼此之间最好是相互独立不能互相推出。因此，逻辑学家提出了公理系统必须具备的几个要求或曰特征：
一致性或无矛盾性。这是公理系统的最基本性质和最基本条件。它要求在公理体系中不能演绎出互相矛盾的命题，如果不满足这一要求，则该理论系统就会有谬误，从而失去科学的意义。
完备性或完全性。也就是说，该系统所选定的公理是足够的，任何定律均可从这些公理推演出来，如果缺少了必要的公理，则难以建立充足的科学理论体系。
独立性或不可推演性。即公理之间不存在推导关系。对于构造一个理想的公理化系统来说，应该具有最大的简单性，每一个公理都不能从其余公理推导出来。否则，该公理就是一般的定理，没有独立存在的必要了。只有满足公理独立性的要求，才能使公理化理论系统具有最大的简单性。
上述“三性”特征不仅是形式公理系统成立的基本要求，也是一般理论体系的建立所应努力的方向。因为，科学进化史可以说是无数的知识理论系统的集合与更新史，如何辨别各知识系统的正确性、合理性及优越性，一致性等特征将提供判断的重要标准。
以独立性特征为例，尽管它不是公理系统成立的必要条件，但它是判定公理系统优劣的重要标准。作为独立性特征内在要求的简单性原则，在科学知识的增长过程中扮演着重要角色。在科学知识日新月异的今天，学习者希望接受内容精而简的理论知识，研究者希望选择少而高效用的信息，以充分利用大脑的容量。由于知识在广、深度方面急剧扩展，各学科研究领域越来越狭窄，“隔行如隔山”状况日趋明显，象亚里士多德和狄德罗“百科全书”式的人物已不可能再出现。如何摆脱或减少这些困境？知识的简化——即根据简单性原则，用最少、最经济、最方便的形式系统来表现更多的知识内容和信息量——将是最有效的途径之一。此外，简单性程度是理论自身完善的一个主要标志，“科学的实际进展是受着经济和简单这一准则支配。”〔3〕新理论要是不具有一定程度的简单性和美观，也决不会被接受。”〔4〕恩斯特·马赫则提出思维经济原则作为科学事业的调节原理。他指出，“科学本身……可以看作是一个尽可能用最少的思维最全面的描述事实的极小值问题。”〔5〕而达到描述经济的一个特别有效的方法， 就是提出一些内容广泛的理论，在这些理论中，经验定律从几条一般原理中推演出来。
公理化思想对科学知识增长的重要功能不仅表现于公理方法、公理系统在科学知识领域的应用有很大的普适性，而且也表现于公理原则对其他科学思维方法的渗透，并成为其中的有机组成部分。这里我们仅考察两种典型的科学发现的思维模式。
我们知道，科学进步的主要趋势是提出高层次的科学理论。那么高层次的科学理论如何获得？在科学方法论上，弗·培根应用的是归纳主义发现观。他说：“我们不能让理智从特殊连跳带飞地到达遥远的和最一般的公理（如所谓的艺术和事物之原理），并把它们当作不可动摇的真理，据之证明和构成它们的中间公理。……我们只有沿着一条真实的阶梯和逐次的步骤，从特殊的事例进到较低公理，再上升到一个比一个高的中间公理，最后上升到最普遍公理，…”〔6〕其科学发现模式如图1：科学认识发端于经验事实，再逐渐概括为较低公理， 中间公理，最后上升为普遍公理。
爱因斯坦则提出一种假设主义发现观（见图2）。 “由经验材料作为引导，研究者宁愿提出一种思想体系，它一般地是在逻辑上以少数几个所谓公理的基本假定建立起来。我们把这样的思想体系叫做理论。”〔7〕图中∑（直接经验）是已知的，A是假设或公理，由A 通过逻辑道路推导出各个个别的结论S，S然后可以同∑联系起来（用实验验证）。在A同∑之间，S同∑之间不存在任何必然的逻辑联系，它依据逻辑的直觉，是“思维的自由创造”。
培根模式是归纳上升，逐步概括真理的模式。爱因斯坦的模式则相反，由经验事实，通过直觉飞跃得到假设公理，再演绎导出命题，然后再由经验事实证明。这是两种截然不同的获得理论的途径，却都承认公理在理论中的核心、统帅作用，都把公理做为科学研究的目标和进一步发展的出发点。科学知识的发现和增长过程就在于找到一些能反映普遍规律，解释大量经验现象的基本公理（“普遍公理”或“公理体系”），并逐渐积累之，这一过程遵循着一致性、完备性、独立性等符合知识系统内在结构的要求。可见，公理化思想已渗透于两种科学发现模式之中，其原则起直接或间接的支配作用。
不仅在自然科学领域，社会科学领域也受到公理化思想的极大影响。笛卡尔曾用公理演绎法构造他的哲学体系，从“我思故我在”的唯心主义命题中（公理）推演出他的全部哲学结论。唯物主义哲学家斯宾诺莎写了《伦理学》，用公理化方法表述他的哲学观点。这种运用公理化思想考察哲学等社会科学领域的基本规律有它一定的积极启发作用。如果我们承认社会科学领域也有它们自己的客观研究对象，有其自身的变化发展运动的规律，那就存在应用公理化方法的前提条件。马克思从“商品”这一初始概念出发，按照商品生产和资本主义经济关系的规律进行推演，构建了《资本论》这一庞大而严密的体系。这一逻辑思维过程被普遍称作从抽象上升到具体的辩证思维方法。但我们进一步研究就会发现，上升法与公理化方法有惊人相似之处。在上升法中，逻辑起点实际上就是公理，逻辑中介相当于变形即推导规则，逻辑终点则类似于定理、定律。我们可以把上升法看作是马克思对公理化方法在政治经济学领域内的辩证的也是成功的应用。也许是基于同样的考虑，逻辑学专家元孙显教授认为，马克思主义哲学应该是一个严密的逻辑体系，我们可从少数几条公理出发，建立马克思主义哲学的公理演绎体系，以克服目前马克思主义的哲学体系混乱的状况。〔8〕 这不失为一条合理可取的研究建议。
总之，现代科学知识的发展趋势是日益走向定量化和精确化，形式公理化方法已成为一种科学的普遍方法，公理化思想成为各门学科研究的指导思想之一。正如形式化公理学创始人希尔伯特所说：“的确，不管在哪个领域里，对于任何严肃的研究精神来说，公理化方法都是并且始终是一个合适的不可缺少的助手。”〔9〕如果说， 实质公理法哺育了整个近代经验科学的话，那么形式公理法则哺育了现代科学。形式化公理思想在现代数学、计算机、控制论、数理语言、机器翻译和信息加工等诸多领域起着重要作用，成为现代科学知识与技术增长的一股不可忽视的巨大推动力量。
注释：
[1]《工具论》，广东人民出版社1984年版，第162页。
〔2〕黑格尔：《哲学史讲演录》第4卷，商书印书馆1976年版，第21页。
〔3〕〔4〕P·弗兰克：《科学的哲学》，上海人民出版社1985 年版，第366、50页。
〔5〕转引自约翰·洛西著，《科学哲学历史导论》，华中工学院出版社1982年版，第169页。
〔6〕培根：《新工具》，商务印书馆1984年版，第81页。
〔7〕《爱因斯坦文集》第1卷，商务印书馆1976年版，第115页。
〔8〕参见《社会科学报》（沪）1990年8月23日第4版。
〔9〕克莱因：《古今数学思想》第4册，上海科技出版社1981年版，第100页。