中考结构性变式题的探究和启示，本文主要内容关键词为：结构性论文,中考论文,启示论文,变式题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2011年的中考已经结束，翻阅全国150多个地区的中考试卷，发现纯代数、纯几何和以函数为背景的结构性变式的压轴题大量涌现.为什么中考出现这种趋势？此类题有什么特点？对我们今后的教学有什么启示？笔者试着就这些问题进行探究.
一、问题的提出
1.现实的需要性
数学教学实质是问题教育，离不开解题.往往需要学生形成初步知识、技能后及时巩固、深化已获知识.那怎样的问题既可帮助学生深化理解、认识问题本质，又能避免“题海”战术呢？“变式教学”是很好的载体，符合素质教育大背景下“优质轻负”的时代要求.“变式教学”既让学生理解数学知识、数学思想与数学方法，同时又培养举一反三、灵活应用、独立思考等能力，也培养发散性思维和创新能力，能有效减轻学生的学习负担、提高学生的数学素养，是一个极富现实意义和迫切性的课题，值得研究.
2.结构性变式的涵义及分类
“数学问题结构性变式”顾名思义就是对数学问题的“结构特征”进行改变.每个数学问题可分解为表面形式特征和深层数学特征的双重结构特征.表面形式特征是指问题呈现的表述方式的浅层特征；数学结构特征指涉及问题本质的概念、关系与原则等的深层特征.数学问题结构性变式根据其改变的结构特征所涉及的深度又可分为水平变式和垂直变式.
在解决问题的过程中，都会涉及加工者的记忆容量和信息加工的负荷，这就是“认知负荷”.若学生能区分新问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，而认知负荷不变化，这种是水平变式；若学生不能区分新问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，认知负荷增加，则为垂直变式.其解决问题的过程中“认知负荷”变化情况是判断的标准.
例1 （2010年江苏淮安）（1）观察发现：
如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小.
做法如下：作点B关于直线l的对称点B',连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P再如图2，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小.
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为________.
（2）实践运用：
如图3，已知⊙O的直径CD为4，
的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.
（3）拓展延伸：
如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法.
“源问题”是“（1）观察发现：图1或图2”或以课本习题“将军饮马问题”为原型，考查了折线之和最小值问题，涉及的知识点主要有两点之间线段最短、轴对称变换、对称点的作法等.再加上三角形和勾股定理知识可解得BP+PE的最小值为
.
相对源问题，“（2）实践应用”是水平变式，其水平变式部分是：把BP+PE的最小值问题的背景由“在等边三角形ABC中”变为“在⊙O中”、“点E是AB的中点”改为“点B是的中点”.其中“⊙O的直径CD为4，的度数为60°，点B是的中点”是变换的新部分，而新部分并没有带来认知负荷的变化，这种变式就是水平变式.如图5所示，结合圆的知识易知BP=EP，△OAE为等腰直角三角形，可得AE=AP+BP=2
.
相对于“（2）实践应用”来说，“（3）拓展延伸”则是垂直变式，其垂直变式部分是：由“⊙O的直径上找一点P”改为“在四边形ABCD的对角线AC上找一点P”、由“求BP+AP的最小值”改为“使∠APB=∠APD”.其中“在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD”是变换的新部分.如图6，“求BP+AP的最小值”改为“使∠APB=∠APD”和所求点P“在一点与另一点的对称点所连接的线段中间”变成“在所连线段的延长线上”，明显地增加了学生的认知负荷.尤其是学生受“负迁移”影响，很难把线段最短与角相等联系起来.显然，对于初中学生已有的认识水平和思维结构来说，在区分这个问题的表面形式特征变化背后的结构特征变化时增加了认知负荷，为垂直变式.因此水平和垂直变式的区分是以学生的感知为标准，其“认知负荷”是分类的准绳.
可见，水平变式是在同一结构层次下对“源问题”的重复或称“量变”.但学生的思维发展是呈螺旋式上升，这就需要在水平变式教学后设置些突破“源问题”的垂直变式，实现学生的思维由“量变”到“质变”的飞跃.因此，数学问题结构性变式的“认知负荷”要在学生可承受的范围即最近发展区内.
二、中考典型的结构性变式载体
1.纯代数问题的结构性变式
例2 （2011年贵州贵阳）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图7①②③中的一种）.
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架.ABCD的面积s最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积s最大？最大面积是多少？
分析 问题（1）是源问题，是典型的用一元二次方程解面积的应用题.根据建构主义原理和学生已有的认知水平（已学一元二次方程的解法），学生都会想用AB的长为x来表示长方形的长，然后再根据长方形的面积公式列出一元二次方程求出未知数.源问题提供了利用一元二次方程求解的模板，其中包含了问题解决的关键因素：问题解决的思路、规则适用的条件等.
问题（2）是水平变式题，变式部分是：由“原来1根竖档”改为“2根竖档”和“矩形框架ABCD的最大面积”.由此引起的变化是表示长方形的长由（4-x）变成（4-
x）和一元二次方程变成函数.这个变化属于同一认知水平层次的变化.问题（3）是垂直变式题，变式部分是：不锈钢材料总长度为a米、n条竖档.新增加了“含字母系数的一元二次函数”，学生思维需由原先“解一元二次方程”跳跃到“列二次函数，并用顶点坐标式求最大值”.但通过反思问题（1）、（2）的解题思路，学生还是能抓住垂直变式（3）的问题本质是利用二次函数求最大值.
答案：（1）当AB为1或3米时，矩形框的面积为3平方米.
（1）如图8，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在
关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图9，设∠ABP=β.当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
分析 源问题（图8）主要考查了相似三角形的判断（有两个角相等的三角形相似），其中涉及的核心知识：旋转变换的性质，如旋转不改变图形的形状和大小、旋转角和等腰三角形的性质等.为后面的变式奠定了基石，是变式的主线，变式就是围绕这个“本质”和数学结构这个“中心轴”发展.
问题（2）是水平变式，其变式部分为：旋转角度由“0°＜α＜60°”改为“60°＜α＜180°”，和“△BEF与△AEP相似”变成“能否全等”.这些条件的变式，学生沿着源问题的解题思路仍然能轻易解决，不同之处是需在相似的基础上“增加一对边相等”即可.属于同一认知层次，没有增加学生的认知负担.
问题（3）是垂直变式，虽说是旋转到特殊位置α=60°，但其变式部分是：点E、F与点B重合.设DP=x，
的面积为S，求S关于x的函数关系式.其学生的思维由原先的“三角形相似、全等”突然跨越到“三角形的面积、函数关系式”，而且增加了辅助线的添加的技能，无形中拔高了学生的思维要求，给学生带来了认知负荷，是个典型的以“水平变式”为铺垫的“垂直变式”.
答案：（1）相似.
（2）存在.关系式：α=2β+60°.
3.函数背景下的结构性变式
例4 （2011年福建泉州）在直角坐标系中，已知点P是反比例函数y=
（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A.
（1）如图12，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由.
（2）如图13，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C.当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标.
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
.若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由.
分析 源问题（图12）主要是考查：以直角坐标系为载体的圆与直线相切的性质、反比例函数等知识.本题是个动点、动圆问题，问题（1）是当圆移动到特殊位置时，利用所学圆和反比例函数、特殊平行四边形等知识判定四边形OKPA的形状.这些解题思路是解决后面变式习题的“引线”，学生通过解决“源问题”获得的数学基本活动经验把思路“迁徙”到水平变式问题（2）①.其水平变式部分是：⊙P运动到与x轴相交，得两个交点B，C.当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标.其新增部分为“与x轴相交”和“四边形ABCP是菱形”.由于求“点A，B，C的坐标”，学生会根据平时和“源问题”获得的数学基本活动经验，顺利地添加辅助线PB、PG构造Rt△PBG.这些都是平时学生已有的认知和技能，学生并没有增加认知负担，是水平变式的典范“跳一跳，摘到桃”.
相对于问题（1）和问题（2）①，垂直变式问题（2）②则是在前两题的“量”积累上实现“质”的飞跃.垂直变式部分是：“在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.”新增部分不仅有“抛物线、同底等高的两个三角形面积相等、夹在两平行线间的距离处处相等“，还考查了分类讨论思想.学生要完整的解决需要很高的认知和思维水平，增加学生的认知负担，具备中考的选拔性功能.
答案：（1）四边形OKPA是正方形，理由略.
（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则纵坐标为.过点P作PG⊥BC于G.
三、关于中考题结构性变式的启示
1.命题的启示
为什么近些年在中考中大量的出现这些纯代数、纯几何和以函数为背景的结构性变式的压轴题？笔者研究发现，这些变式试题都是渐渐地增加认知负荷，注重题与题之间的变化，由水平变式到垂直变式，逐步区分表面形式特征并提取数学结构的元素，逐步区分题目中的数学结构的元素，发现“变中的不变”，同时培养“以不变应万变”的能力，从量变到质变，渐渐领悟，把握数学教学的规律.这样的命题既符合学生思维螺旋式发展的规律，又能培养学生的高层次思维；不但能起到很好的中考题“选拔性”功能，也对广大教师平时的“题海”式的应试教育起到一个标杆引导作用.
2.教学的启示
中考命题的老师们为什么共同喜欢这类题型呢？对我们的平时教学又有什么影响呢？笔者研究认为，命题老师在选择试题的时候要考虑的几个因素：1.选拔性功能；2.考查学生“四基”掌握的情况；3.中考的“风向标”作用.一道试题命制的过程，一般要经历“立意——情境——设问——修饰”的过程.考查的知识都限定在《数学课程标准》要求范围内，在考查基础知识、基本技能的同时，更注重基本思想方法和数学基本活动经验的积累.
这启发我们在日常的教学活动中，要加强对课程的研究，重视教材例题、习题的拓展，充分挖掘，从中让学生获得解决问题的新方法、新思想，只有学生和老师都重视课本资源的开发和利用，我们的教学才会走上素质教育的正轨，远离“分数教学”的怪圈.