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摘要：在高速公路工程施工测量过程中，会经常遇到复合型的回旋曲线，这些复合型的回旋曲线，有些是标准对称的平曲线，而有些是不标准不对称的平曲线（多出现在高速公路匝道线路中）。对于不标准不对称的平曲线，线路中边桩坐标计算是测量工程师很头疼的问题。本文将深入分析在高速公路匝道中经常出现的一种特殊复杂线形“卵形曲线”，并成功解决这种特殊线路的中、边桩坐标标准化计算问题。
关键词：高速公路及匝道；卵型曲线；中、边桩坐标；标准化计算程序
改革开放三十多年以来，我国高速公路建设从无到有，从少到多，经过无数工程技术人员和工人的辛勤劳动和付出，现在，我国高速公路纵横交错，已遍布全国各大城市与乡村，目前高速公路总里程已突破13万公里。
高速公路的迅速发展，促进了中国经济的腾飞。本人从1991年就参与到了高速公路建设大军中，直到现在，亲身见证了我国高速公路建设成果和经济发展成就。
高速公路建设从设计到施工均离不开测量工作，测量工作是公路工程建设的排头兵，先行者。工程测量工作自始至终贯穿于公路工程施工的全过程，每一段路基的填筑、路面的铺设，每一座涵洞、桥梁、隧道的施工均需要测量工作者精确计算出中、边桩坐标，然后运用测量仪器进行施工放样。所以线路的中、边桩坐标计算是测量工作的重中之重，只有准确计算出中桩坐标，才能进行准确的工程放样。只有工程及构造物位置准确，才能确保工程的质量与进度。下面就以本人在湖南省G5513长沙至益阳段高速公路扩容工程第一标段观音岩互通作为工程案例来解析平曲线，卵型曲线的组成及概念，以及特殊线路的中、边桩坐标计算方法。
1 平曲线的概念
1.1 标准平曲线的组成
平曲线一般由直线、缓和曲线和圆曲线三部分组成，现以长益高速复线观音岩互通C匝道为例，如下图一所示。
通过上图一可以分析得出：从CK0+856.4831至CK1+318.2096线路为标准的平曲线型，标准的平曲线型必须同时满足下列三个条件：
第一：LS1段缓和曲线在ZH点必须与T1切线相切。LS2段缓和曲线在HZ点与T2切线相切。且T1=T2。
第二：LS1缓和曲线与LS2缓和曲线必须对称分布在圆曲线两边，且LS1与LS2长度相等。
第三：A12=R?LS1，A22=R?LS2两个等式必须同时成立（注：A1，A2分别为第一、第二缓和曲线参数，R为圆曲线半径）。
同时满足上述三个条件的平曲线即为标准的平曲线。标准的平曲线型在高速公路主线及匝道线路中很常见，线路中、边桩坐标的计算方法以及计算器编程方法，大家都已掌握，在此不做解析。下面就特殊的平曲线类型“卵形曲线”作详细的解析。
1.2 卵形曲线的概念及组成
卵形曲线是特殊的平曲线，也是由直线、缓和曲线和圆曲线三部分组成，只是组合方式不同。现以长益高速复线第一标段观音岩互通A匝道为实例，如下图二所示。
通过上图二可以分析得出：从AK0+244.5558～AK0+579.8341不是标准的平曲线，因为LS1不等于LS2，且A12≠R?LS1，所以线路AK0+244.5558至AK0+579.8341不能用标准的平曲线通用程序来计算线路的中、边桩坐标。很多工程测量技术人员对该段中、边桩坐标的计算是采用内插法，即采用设计图表提供的每20m的中桩坐标进行内插计算，计算的坐标误差很大，严重地影响了工程放样精度和工程质量。众所周知，一般匝道的弯道半径较小，横坡纵坡又很大，如果工程放样的坐标误差很大，则会严重影响高速公路及匝道的使用功能。特别是当在该段有桥梁及构造物施工时，如果用于放样的桥梁或构造物的坐标和轴线方位不精确，则会引起桥梁及构造物对接不上，与设计不符，将会引起桥梁质量事故。所以，解决该问题将至关重要。
不能用标准的平曲线通用程序来计算线路中、边桩坐标，但是我们可以将不标准的平曲线分解开来解析。从上图二可知，虽然A12≠R?LS1，但A22=LS2，所以，第二段缓和曲线在HZ（AK0+579.8341）处与切线T2是相切的，也就是说可以通过交点JD2，运用T2切线长及方位角来精确计算HZ（AK0+579.8341）点的坐标与方位角。然后运用缓和曲线程序来精确计算AK0+579.8341至AK0+490.9399缓和曲线段中、边桩坐标，同理以圆曲线程序来精确计算AK0+490.9399至AK0+334.2990圆曲线段中、边桩坐标。现在的问题就只剩下LS1缓和曲线段中、边桩坐标将无法精确计算。
唯物辩证法告诉我们，任何复杂的问题既矛盾又统一，因此要求我们对事物由认识到再认识，从实践中来再回到实践中去，从感性认识上升为理性认识。对此，需改变思路和方法，现把缓和曲线LS1（AK0+244.5558～AK0+334.2990）段从平曲线AK0+244.5558～AK0+579.8341分离出来，再将它与之密切相关联的前后两个圆曲线组成新的图形。如下图三所示。
从上图三可以看出，由R1，LF，R2组成的新图形象一个鸡蛋的外轮廓线，俗称为卵形线，测量学上称之为卵形曲线。卵形曲线是平曲线的特殊形式，并且必须同时满足下列两个条件：第一，R1必须大于R2；第二，R1与R2和LF必须同向。从上文的解析可知，以R1，LSAB，R2组成的卵形曲线中，其中R1及R2圆曲线段中、边桩坐标的计算问题已经解决，要解决卵形曲线中、边桩坐标计算的问题，其实质是要解决LSAB缓和曲线中、边桩坐标的计算。
1.3 卵形曲线中桩坐标计算公式的推导分析
从上文分析可知，LSAB段缓和曲线其所以不能计算出中桩坐标，是因为它不满足A12≠LF?R2，也就是说LSAB缓和曲线段曲率半径的变化是由R1渐变至R2，而不是从∞渐变至R2，现假设顺着缓和曲线BA的方向，延长缓和曲线至O点，让LAO=k并让A12=(K+LF)?R2等式成立，则我们就找到了缓和曲线的起点（R为∞）。即：
3002=(K+89.744)?520，
K=83.333（m）
则O点的里程为：LO=LA－k=AK0＋244.5558－83.333=AK0＋161.2228
缓和曲线长度为：LS=LF＋k=173.077m
以O点作缓和曲线LOA的切线为Ox轴，垂直于Ox的垂直线为Oy。设A点在xOy坐标系中的坐标为（M，N），以A点作与R1圆曲线相切的切线并与Ox相交于J，并连接OA。设∠AJx为C，∠OAJ为G，αJA为γ。根据标准的缓和曲线计算公式，则有：
1.4 卵形曲线中LSAB缓和曲线起点要素的标准化计算程序
本计算程序仅适用于CAS10 fx-4800p计算器，路线左转时T取“﹣1”，右转时T取“﹢1”，且R1＞R2，如R1＜R2，则从B点沿LSAB方向延长缓和曲线长度k，以找到LSAB的起点，则起点里程为LB+K，其余可类推。
程序一
1.5 卵形曲线中LSAB缓和曲线段中、边桩坐标标准化计算程序
以LSAB缓和曲线的起点要素LS、LO、XO、YO以及切线方位角为依据，运用标准的缓和曲线计算公式，计算LSAB缓和曲线段任一里程的中、边桩坐标。路线左转时T取“﹣1”，右转时T取“﹢1”。
程序二
2 卵形曲线中、边桩坐标计算的案例验证
上文已对卵形曲线的中、边桩坐标计算进行了详细的论述和公式的解析，并编制了运用CAS10 fx-4800p计算器进行坐标计算的标准化程序。为了论证公式和程序的准确与否，下面以实际工程案例长益高速复线观音岩互通A匝道卵形曲线进行坐标计算来验证程序一和程序二的正确性。
第一步：上文图二，观音岩互通A匝道由AK0+000→AK0+244.5558→AK0+334.2994→AK0+490.9399组成的卵形曲线。路面宽度为12.25m，左、右偏距为6.125m。首先运用程序一求解LSAB缓和曲线的起点各要素，XA=3129617.130，YA=517176.316，R1=1080m，R2=520m，LF=89.744m，R1在A点的切线方位角R＝109°07′28.72″，线路右转T取“﹢1”，输入程序一后解算得出LSAB缓和曲线的起点要素如下表1所示。
表1 起点要素表
其中：s为左偏距或右偏距，（x，y）为中桩坐标，w为中桩切线方位角，
（xz，yz）为左边桩坐标，（xr，yr）为右边桩坐标。
通过上述实际工程案例的验证计算得知：采用本程序计算的卵形曲线中、边桩坐标与设计值完全相等，没有计算误差存在。并充分验证了程序和公式的正确性、合理性。
3 结束语
本文通过对高速公路及匝道线路的分析，圆满的解决了精确计算特殊平曲线类型卵形曲线的中、边桩坐标问题，并编写了CAS10 fx-4800p计算器，坐标计算程序。希望能给广大工程测量技术人员参考使用，如有错误之处，敬请批评指正。
论文作者:陈海青
论文发表刊物:《防护工程》2017年第19期
论文发表时间:2017/12/12
标签：曲线论文; 坐标论文; 卵形论文; 匝道论文; 程序论文; 切线论文; 高速公路论文; 《防护工程》2017年第19期论文;