高三数学复习高效教学的案例研究_数学论文

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一、问题提出

伴随着2012年第一届课改生的毕业，湖北省新课程改革推行的成果已得到了实践的检验，作为新课程改革能否成功的决定性因素——提高教学质量、推行高效课堂就显得尤为重要.数学课堂高效教学行为是指数学教师充分利用每一节课45分钟的时间，通过优化教学行为，将各个教学环节高效地整合到一起，促进学生高效地参与数学学习，并获得优秀的认知成绩、良好的认知结构、积极的数学学习情感，较强的效率意识、浓厚的理性思维、较强的数学学习能力的那些行为.概言之，数学课堂高效教学行为是指引发学生高效率数学学习的那些课堂教学行为[1].高三数学复习备考应力求“抓纲务本”，注重基础、能力、应用意识和创新精神的培养.通过对高三高效教学案例的剖析，探究在高考数学复习备考的教学过程中应注重的几个问题.

二、教学案例分析

教学案例为高三第一轮复习“定积分”（第一课时），案例教学详案见附录部分.

1.回归课本，激活教材，挖掘教材的深刻内涵

高三复习备考，应密切结合教材，紧扣考试说明，回避“重教辅，轻教材”的做法.案例在选材上源于教材，又不拘泥于教材，充分展示了数学味和数学美.以一道源于教材的高考题引入，层层剥离，回溯定义、公式、性质，紧扣教材，让学生体会“以直代曲”、“逼近”的思想方法，抽象出定积分的概念和几何意义，同时改变了知识罗列、范例讲解、巩固练习的传统的高三复习课模式，给人耳目一新的感觉.题3是3道定积分的计算，均取自于教材习题的类型；题4由教材选修2-2课本第57页例2改编，将函数

改为抛物线

=2x，深入引导学生学习探究；题5选自2013年的湖北高考题题7，其原型由教材选修2-2第60页习题1.7A组题6改编，首尾呼应.整节课不刻意追求新颖别致，只是做到正本清源，返璞归真，水到渠成，可以说这节课成功地跳出了题海战术，做到了回归课本，回归数学本质.

2.亲历亲为，强化体验，建构完善的知识体系

案例以例题为载体，通过设置问题让学生探索，从而让学生直接获取动手操作的经验，在“做数学”中感悟体验数学的魅力.引入部分让学生归纳用定义法求曲边梯形面积的方法，再现牛顿—莱布尼茨公式，从中体验精确与近似、无穷与有限、繁杂与简单的辩证关系，体验牛顿—莱布尼茨公式的奥妙，体验数学史的文化内涵，体验知识的发生、发展与形成过程.求法探索中，学生将公式法和几何意义应用于题3，体验数形结合的妙处，体验自主探究、合作交流的乐趣.应用举例中题4的一题多解，让学生在探索中出错，在错误中反思，在反思中提高，在提高中形成能力，从而体验思辨的逻辑性和解法的多样性.题5利用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活又服务于生活的特性.案例整节课处处体现学生自主探究，合作学习的教学理念，让学生关注数学本质，体验到“做数学”的乐趣.

3.学生主体，思维主线，打造开放的课堂教学

为了打造自主学习的课堂生态，课堂上要做到过程开放、问题开放、方法和手段开放.案例中这节课的重点是体会“以直代曲”、“逼近”的思想方法和定积分的计算及其几何意义的应用；难点是抽象出定积分的概念和几何意义，能力目标是通过定积分的应用，提高理性思维能力，了解微积分的科学价值、文化价值.为了实施过程的开放，让学生的思维之旅拾级而上，案例把知识回顾的过程分3个阶段完成：先是温习定义，然后再现公式，最后是重温性质，过程是由特殊到一般，同时案例把温习定义分4步完成，先是由学生计算题1（2012年湖北高考题题3）获得直观体验，然后通过学生探究指出“以直代曲”、“逼近”等关键词的真正含义，接着提炼出定义，最后通过对定积分记号的阐释加深学生对定义的理解与记忆，过程是由具体到抽象.为实施方法和手段开放，案例对整节课的安排都突出以学生为主体，教师只是充当了整个教学活动的设计者、组织者、引导者和促进者.总体看来，学生活动包括：举手回答、上台演板、分组讨论、展示讲解等环节，这些活动相应地解决了教师设计的问题，也就是说问题在活动中得以很好地完成.为了实施知识的生成与发展及问题之间的衔接过渡，案例也作了精心的设计，比如对定积分概念的复习是通过对一道高考题即题1的剖析引出定积分的概念，再通过对高考题进行变式即题2归纳出定积分与曲边梯形面积的关系，也就是定积分的几何意义，知识过渡自然，符合学生的认知及记忆规律.此外，对应用例举中的题5（2013年湖北卷题7）的概括与提炼，又回归和重温了定义，也为下节课即定积分在物理方面的应用埋下了一个伏笔.案例整节课中既考虑到突破这节课的难点，又点到为止，体现了全面把握教材的视野与能力.

4.依托史料，渗透文化，彰显丰富的文化底蕴

案例在教学过程中，恰当地引出数学史料，渗透数学文化，以培养数学素养为目的，让学生潜移默化地接受数学文化熏陶，实现了数学知识、方法、思想的统一.一方面案例适当拓展延伸，引入数学史知识，介绍牛顿、莱布尼茨生平，介绍

的含义，介绍牛顿—莱布尼茨公式为17世纪数学的三大成就之一，另一方面在教学过程中有意无意渗透整体与局部，有限与无穷，精确与近似的辩证关系，让学生在建构知识体系的同时，注重人文因素的培养，旨在培养学生的数学素养与数学思维习惯.

三、讨论与建议

鉴于上述对案例的剖析，在高三数学复习备考的教学过程中，为了提高复习的效率，研究者认为教师应注重以下几个方面.

1.理解新考纲要求，落实复习过程的“五篇章”

考纲与课本是高考数学命题的素材与依据，亦是复习备考的蓝本与源头.新考纲主要强调以下几个要求：3个考查层次——了解（知道、模仿）、理解（独立操作）、掌握（运用、迁移）；4个学科基础——基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验；5个学科特点——概念性强，充满思辨性，量化突出，应用广泛，解法多样；7种数学能力——空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理、应用意识及创新意识；7种数学思想——函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想.围绕上述要求，高三复习中应认真落实好如下“五篇章”.立足1本：教材（必修+选修）.紧扣2纲：课程标准与考试大纲.合奏3部曲：一是知识与方法，理顺知识体系的“根”与“叶”——建立知识链；二是思路与技巧，展现专题复习的“理”与“美”——构筑能力场；三是速度与精度，探寻数学问题的“源”与“流”——升华领悟度.抓好4个三：一是内容的三个方面：理论、方法、思维；二是解题过程的三个字：数、式、形；三是表述的三种语言：文字、符号、图形；四是复习的三条线：明线、暗线、主线.理顺5种关系：一是看与练；二是听与记；三是学与问；四是难与易；五是快与慢.

2.注重过程性教学，优化知识网络的建构方式

过程性教学有效实施的关键是“使学生清楚地领会到思维的全过程”.因而，在高三数学教学过程中，应注重精选具有探索价值的例题进行挖掘，并能灵活创设情境，恰当进行变式教学；注重讲解过程中向学生暴露解题思维与过程；注重数学思想和数学方法的渗透与总结，使学生体会到数学是一门讲究思维和方法的学科；注重最后的总结前后呼应，概括精炼，画龙点睛[2].另外，在过程性教学中，还应以“重视促进学生的深刻理解，帮助学生建立良好的数学认知结构，在非认知方面促进激发学生的数学求知欲与求识欲，在元认知方面给予学生必要的数学学习方法指导，恰到好处发挥数学的教育性，让学生适时沐浴数学精神、思想与方法，获得理性的数学思维的教育”[2]等高效数学教学行为的特征为指导标准，通过“温故”与“知新”、“立足”与“拔高”、“回望”与“启迪”等方式，对学生已有的知识网络结构进行整体的优化设计，做到探中抽知，串知成链，动态生成，从而达到有效建构的目的.即将以往静态知识结构图，设计成动态生成的知识结构库和思维导向图，改变过去题目与知识两者分离的传统做法，使学生经历知识结构的重现、再创和主动建构的过程，学会从题目的背景材料中去提炼对应的知识、思想和方法.

3.设计问题串的导学方式，强化学生的主体反思意识

在复习备考的过程中，要做到减负增效，关键是要以考纲与课本为中心，以考题研究与有效训练为着力点，设计问题串的变式导学方式：题组式串讲、发散式串讲与收敛式串讲.首先，在课本例习题的练习中，针对经常出现的相似错误题型或概念性题型，采用题组方式串讲，矫正常出现的错误.其次，对于一些重要例习题，使用一题多解、一题多变的方式进行串讲，培养求异思维，促进能力形成，强化重点题型、重要方法的理解与领悟，起到触类旁通的作用.最后，对一些解法相同或相近题型，采用多题一解的收敛方式串讲，侧重对通性通法进行归纳总结，力争做到“讲一课，学一法，会一类，通一片”，真正达到举一反三、事半功倍的教学效果.通过问题串的导学方式，高三学生数学学习的整体状况已得到了进一步的优化，在此基础上，为了最大限度地开发学生数学学习的潜能，教师还应在备考的全过程中，引导学生养成反思学习过程的习惯，形成进行有意识反思的能力[3-12].

王光明教授指出，高效数学学习的元认知方面的特征之一是：阶段学习后，能反思、总结数学的基本知识点；对所学的数学例题、习题、错题进行总结、分类，及时理清解题思路和方法；对待自己不明白的问题，弄清楚之后会反思自己不能解决问题的原因[13].因此，高三数学复习中的反思应主要包括对数学知识的反思、对数学思维过程的反思、对数学思想方法运用的反思及解题后的反思等.针对数学解题后的反思，在平时备考中，学生书写完了一道数学题的解答过程，还不算真正完成了该题目的解答，还需反思、归纳这道题的知识和数学思想方法考查点，在题目讲评结束后，还需反思自己在哪里丢分多，为何丢分了，然后在老师的指导下，发现自己学习的不足并明确后阶段的努力方向[14].这样，学生通过反思自身学习的各个环节，其反思意识得到强化的同时，复习备考也将更为高效.

附录：高三一轮复习《定积分》（第一课时）教学详案

一、教学设计

1.教学内容解析

《定积分》安排在普通高中人教A版选修2-2中.该部分是新课标的新增内容.依据本节内容揣摩教材意图，之所以把微积分引入高中教材，是因为微积分本身有着重要的意义，其价值并不仅仅体现在数学的发展史上（被恩格斯誉为17世纪三大数学成就之一），更在人类文明的发展史上有着里程碑式的重大意义.它从生产技术和理论科学的需要中产生，同时又反过来深刻影响生产和自然科学的发展.本节内容作为高三第一轮复习《定积分》的第一课时，正是立足于应用，从2012年一道湖北高考题出发，回溯先前学生掌握的知识网络，除了能用定积分求平面图形的面积之外，还想通过本节让学生体会到微积分在研究某些问题中的一般性和有效性，然后以2013年一道湖北高考题收尾，承上启下，回归定义，进一步引出下一课时定积分在物理中的应用.

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：

教学重点：体会“以直代曲”、“逼近”的思想方法，抽象定积分的概念及其几何意义，直观了解微积分基本定理的含义，能正确运用基本定理计算简单的定积分，应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程等问题，体验定积分的价值.

2.学生学情诊断

学生具备的知识及心理基础：定积分的概念及几何意义，微积分基本定理，能运用所学求定积分.

学生直观认知与准确理解以及灵活运用之间的矛盾：定积分概念的理解仅仅停留在感性认识的层面上；定积分与面积之间的关系含混不清；在应用数学知识解决实际问题时，缺乏主观能动性及独立分析、自主探究的能力.

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：

教学难点：建立定积分的概念，发现导数与定积分有内在联系，领会微积分基本定理的含义，将实际问题转化为定积分的问题.

3.教学目标分析

（1）知识与技能目标：

①了解定积分的概念及意义以及微积分基本定理的含义；

②会用牛顿—莱布尼兹公式求简单的定积分；

③会利用定积分的具体意义（几何、物理）解决实际问题.

（2）过程与方法目标：通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.

（3）情感、态度与价值观目标：

①通过定积分的应用，学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力；

②了解微积分的科学价值、文化价值.

4.教学策略分析

在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，教学设计主要采用探究式教学方法.即“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练、归”的结合.

引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的积极性，为学生提供自主学习的时间和空间.在教学过程中注重引导，充分发挥学生的主观能动性，着眼于学生创造性思维的培养和思维能力的提高.

（1）启发式教学始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识.

（2）互动式教学体现在提问、例题教学、课堂练习、学生演板、练习讲评、小结等方面，引导学生积极参与.

（3）分层次教学考虑到学生个体的差异和发展的不平衡，注意满足不同层次学生的不同的需求.突出①导——教师引导，循序渐进；②动——师生互动，共同探索；③练——学生练习，温故知新.

教学流程：

二、课堂实录

1.知识回顾

（1）真题导入

题1.已知二次函数图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（

）（2012年湖北高考题3）

（学生演板，写出算式）

师：为什么所求面积就是f（x）在[-1，1]上的定积分呢？同学们想想看.由于图形关于________对称，那么我们可只研究y轴右侧图形的面积.

均匀分割；

故所求面积为

，这就是定义法求曲边梯形的面积.这个过程分为哪几个步骤呢？

（生）均匀分割；近似代替（以直代曲）；求和；取极限.

（2）定义温习

注：

中的dx，是x的微分，相当于△x，一个微元的“宽度”；如果认为f（x）是同一微元的“高度”，那么f（x）与dx的乘积就是该微元的“面积”；而∫是拉长的s，最初的意思是sum，即求和的意思.

（3）公式再现

（回到黑板上演排，指着）这位同学是用定义来做的吗？为什么不用呢？（繁琐）他用的方法是——（牛—莱公式）

师：牛顿-莱布尼兹公式绝妙地把求定积分问题转换成求不定积分（原函数）的问题，从而避免了用定义来计算定积分这一极为繁杂的运算；揭示了求导与积分之间的互逆关系.被恩格斯誉为17世纪数学的三大成就之一.以后同学们将在大学学习其严格证明.那么，运用牛—莱公式求定积分关键是什么呢？（学生回顾常见的定积分公式）除了牛—莱公式，定积分还有哪些性质呢？

（4）性质重温