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1 日本数学开放题研究概述
1.1 概述
日本是数学开放题的发源地.1971年，日本国立教育研究所的岛田茂教授领导的一个包括桥本吉彦、泽田利夫、能田申彦等27人在内的数学教育研究小组，开发了一种在已知条件下探索其各种结论的“开放式结尾问题”（open-ended problem），并在全国六个地区的若干所中、小学进行了为期六年的研究.1977年，该小组发表了名为《算术、数学课的开放式问题--改善数学教育的新方案》的报告文集，标志着数学开放题的问世.
八十年代初，桥本吉彦进一步开创了“可发展性的问题”的研究.这类开放题要求学生自己去发展原问题、制作新问题.接着桥本吉彦又提出了“课题学习”（problem situation learning）.这种旨在让学生自己通过合适的“课题”操作和思维实验，在积极地追求过程中去获得数学思维方法和形成数学观念的开放题，本质上是一种策略开放题，它的产生使开放题研究又向前推进了一大步.
八十年代中后期，日本中、小学开始尝试以开放题为载体的开放式数学.日本的教师甚至在“国际数学学习心理学会议”（PEM-17，1993日本）这样的大型国际会议上，利用数学开放题上公开课[1].在这些活动中，一些著名的开放题，如“花坛设计问题”（能田申彦，1977），“弹子问题”（岛田茂，1977），“水槽问题”（桥本吉彦，1977），“牙签问题”（桥本吉彦，1977）等，开始向世界各主要教育发达国家传播.
2000年8月在第九届国际数学教育大会上，桥本吉彦教授指出：开放式数学教学--思维开放、题目开放、过程开放[2].
1.2 政府行为
1989年三月，鉴于当时社会对基础教育提出的改革要求和数学开放题研究的成果，文部省在修订数学教学大纲--《数学学习指导要领》时，正式将“课题学习”纳入该大纲.2000年，文部省已决定新的课程指导要领（2003年使用）要将开放式教学要求列入课程.
1.3 日本学者对开放题的认识
纵观三十年来日本学者对数学开放题的研究，认为：
1.3.1 开放题一般都具有明显的问题性质.所谓问题（problem）是那些对解题者来说还没有具备直接的解决方法，对他构成认知上的挑战，对于解题者来说解决的过程就是一个特殊的学习过程.这种学习不仅是如何将所学的知识灵活应用于各种现实世界的问题，而且使解决者从解决方法获得新的思维方法，提高自身处理各类现实问题的能力[3].
1.3.2 开放题的研究应具开创性、系统性.日本学者对开放题的分类以及它在数学教学中的作用等基本问题都有较深入的研究.早在1993年能田申彦就对开放题作过如下分类：第一类：有多个正确答案的问题（即开放式结尾问题），这类问题又可细分为：找关系、规则和模式的问题（如何找）；找测量方法的问题（如何测量）；寻找分类方法的问题（如何分类）.第二类：发展性问题.第三类：操作性问题.
关于数学开放题的教育价值，桥本吉彦认为它有助于增加鼓励和表扬学生的机会，有助于开阔学生的视野.泽田利夫认为数学开放题有以下教育价值：（1）学生能积极参加学习，发言次数增多；（2）学得的知识能得到综合利用的机会；（3）能力低的学生也能得到相应的答案；（4）学生增加了发现问题和为他人所承认的喜悦感.
1.3.3 日本教材中的开放题.日本教材中的开放题数量并不多，曾根畸和高志根据课题学习的总目的设计的“初中学数课题”只有二十一个，分布于初中三个年级，其中初一6个，初二8个，初三7个[4].
全日本有六家出版社出版初中算术、数学教材，下表1是1993年初中教材中习题数量和开放题的数量；表2则是初中各年级的数学教科书中常规习题和开放题的数量[5]：
各家公司分别是：
A：kerrin-kan，
B：kyoikn-synppan
C：dainihon-tosyo，D：tokyo-syoseki，
E：gakko-tosyo，
F：osaka-syoseki
由此可见，日本的开放题在总习题数中所占的比例很小，约0.42％，但这些开放题却都很精彩.如“星形五角形的内角和”[6].
2 欧、美、澳等国数学开放题研究概述
在美国，数学开放题的研究开始是以“问题解决”的面貌出现的.1980年，受波利亚问题解决思想的影响，美国数学教师联合会（NCTM）发表了《关于行动的议程--对80年代数学教育的劝告书》的文件，提出了“问题解决必须成为80年代学校教育的焦点”.
自《关于行动的议程》发表以后，问题解决的理论和实践在欧、美、澳的发达国家中逐渐展开.新的专著、新的论文和授课记录不断出现，其中最著名的专著莫过于美国数学教育家A.Schoenfeld的《数学问题解决》.该书汇集了当今欧、美问题解决的研究成果，从数学、教育学、心理学等方面对问题（包括开放题）解决作了深入的研究，提出了令人信服的问题解决的思维理论.
八十年代初，日本的数学开放题被介绍到美国，美国的数学教育工作者开始关注这类问题.1989年，NCTM发表的《美国学校数学课程和评价标准》（1989）（Curriculum and Evaluation standards for School Mathematics）在强调“问题解决应该是数学课程的中心”、“问题解决是全部数学教学的目标，也是所有数学活动的一个不可缺少的部分”的同时，把数学开放题也放在相当重要的位置[7].在这个课程标准中有许多开放式结尾问题，下面的开放题即选自该书.
教师给学生演示由弦和重物组成的一个摆，然后学生分小组来做摆，研究它是怎样工作的，由此提出自己的问题.这些问题可能包括：它的周期是多少时间？弦的长度、重物的重量、摆的初始高度分别对周期有何影响？它多长时间停止摆动？
世纪之交，开放题在欧美又有了新的发展.数学教育家们利用当代认知心理学的理论成果，提出了数学问题解决过程中的监控和反馈.有能力的问题解决者很清楚他们自己在做什么，并常常监控和自我评价，在问题解决过程中遇到问题时他们会调整解决的策略（元认知）.而教师则在帮助学生养成良好的问题解决的习惯中扮演重要的角色.如教师可以在学生解决问题时常提醒学生：“在解题前我们已理解问题了吗？”“我们有什么想法？”“我们有一个计划吗？”“为什么我们认为这是对的？”这样的问题可以帮助学生在解决问题过程中养成自我监控的良好习惯[8].
在澳大利亚，A.Bishop教授对数学开放题的研究最为著名，他编制的群论开放题为开放题进入高等数学树立了榜样.1998年8月，A.Bishop教授还曾在第一届东亚数学教育会议（EARCDME-1）上作了大会报告，在这个报告中他比较了东西方数学教育之后，指出：东亚国家应改革考试试题，试题中应有多于一个正确答案的问题、学生编制问题、现实中的开放题.
3.我国数学开放题研究概述
自从八十年代初日本的开放式结尾问题介绍到国内至今，我国的数学教育工作者对数学开放题的研究广泛而深入，形成了不同于日本风格的，具有中国特色的数学开放题，这里我们从五个方面概述国内学者对数学开放题的研究的主要成果及进展.
3.1 引进和介绍日本数学开放题
国内最早介绍数学开放题的文章是1980年《外国教育杂志》第4期刊登的泽田利夫的《从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学方案》.之后的十年间，只有王慧斌、王凝在1988年分别介绍了日本的开放式教学方法[9].在整个九十年代对日本的开放题研究介绍较多，方学荣、孙联荣、胡启迪分别介绍了日本、美国的开放题教学与研究进展情况[1][4][10].
1998年8月，张奠宙在出席了第一届东亚数学教育会议（EARCOME-1）之后撰文[11]指出“开放性”是当前世界数学教育的共同特点，他同时介绍了美国、英国和欧洲大陆对开放题的最新研究成果.
3.2 学生数学开放题解决能力现状的调查
国内数学教育界对数学开放题的正式研究是从对中学生数学开放题解决能力现状的调查开始的.
1984年，戴再平以三个开放题和几个封闭题，在浙江省镇海县三所学校进行了一次测试，此结果表明知识和技能的堆砌与学生创造能力的发展没有必然联系[12].
1990年，胡林瑞在安徽黄山市屯溪二中，对51名初三学生和高三学生用五道开放性数学题作了一次测试，得出“高中生解这类题的能力并不比初中生强，他们虽然多读了3年书，知识和技能上可能多一些，但发散性、创造性思维能力都无增长”的令人惊讶的结论.这些调查都说明，数学开放题对培养学生创造能力的必要性.
3.3 数学开放题的数学实验和开放题教学设计的形成
随着开放题研究的展开，数学开放题研究开始向数学课堂延伸.首先使开放题进入课堂的试验是1993年3月11日在杭州十四中进行的一节初三平面几何开放题的教学实验课；同年5月，林霄在湖州市第一中学的一个初一班，6月15日，德清县雷甸中学一教师用“钟面问题”分别做了教学实验；四天后，6月19日，单庆国在奉化一中以“正方体截面的形状”进行了同样的教学实验.上述三个实验都由戴再平设计.
赵雄辉、杨公立等以“花坛设计问题”分别上了一堂开放题课，并撰文谈开放题教学的必要性.笔者也于1994-1995年进行过为期一年的开放题教学试验，得出数学开放题解决在培养发散性思维及思维的深刻性、广阔性等方面都有积极的作用.
在这些实验开展的同时，一批优秀的开放题教学设计也随之诞生.
3.4 数学开放题的理论研究
数学开放题的理论研究成果主要有以下几个方面：
3.4.1 数学开放题的概念
虽然对数学开放题的研究已很广泛，但至今还未形成一致公认的定义，国内学者对数学开放题的描述主要有以下几种：
（1）凡是具有完备的条件和固定的答案的习题，我们称为封闭题；而答案不固定或条件不完备的习题我们称为开放题（戴再平《数学习题理论》1989）.
（2）封闭题是指条件恰当（不多不少），答案固定的习题；开放题是条件多余需选择，条件不足需补充的或答案不固定的题（王方祥，1992）.
（3）有多种正确答案、结果是开放的题，这类问题给予学生以自己喜欢的表达方式解答问题的体会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法（刘学质 1993）.
（4）具有多种不同的解法、或有多种可能的解答，……笼统地称之为问题的开放性（郑毓信 1994）.
（5）问题不必有解、答案不必唯一、条件可以多余（陈昌平 1995）.
（6）答案不唯一的问题称为开放题（俞求是 1999）.
（7）数学开放题是指那些答案不唯一、并在设问方式上要求学生进行多方位、多角度、多层次探索的数学习题（戴再平、龚雷 2000）.
3.4.2 数学开放题的特点
数学开放题有如下特点：
（1）问题的条件常常是不完备的.
一个开放题的条件可以不足，也可以多余，条件不足时要求学生予以补充，条件多余时要求学生进行选择，因而其组成要素是不完备的.
（2）答案不唯一、不确定、且具有层次性
开放题解答的唯一性被打破，可以有多种结论.即：对条件开放题而言，其所求条件是多种多样的；对结论开放题而言，其结论是不确定的；对策略开放题而言，其解题策略是不唯一的，因而开放题的答案是不唯一的、不确定的，这就决定了它能满足各种层次、水平的学生，具有层次性.
（3）开放题的求解方法具有非常规性、发散性和创造性
数学开放题的求解，既没有现成的模式，也没有固定的算法，要求解题者充分地联想、大胆地创造；要求学生能灵活运用所学知识，摆脱形式上的束缚，进入问题的深层，对问题的本质作深刻、细致的剖析.有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域.
（4）开放题的教学具有参与性与学生主体性.
没有学生的积极参与，不可能对开放题作出充分的解答；没有学生的积极参与，不可能有真正意义上的开放题教学.事实上，在开放题的教学中，若教师仍然采用“灌输”式的方法一个一个的介绍几十个答案，就违背了开放题的初衷，学生也肯定不喜欢听，而且，有的学生可能找到一些教师没有想到的答案，他们希望讲出来与大家一起分享这种成功的喜悦.任何一个成功的教师都不会压制学生的这种愿望，这就使课程教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的开放题教学.
3.4.3 数学开放题的教育价值
国内学者认为数学开放题有以下教育价值：
（1）解决数学开放题有利于培养创造能力.笔者从创造性能力运演维度的四个方面论证了解决数学开放题在培养发散性加工能力、评价、记忆和认知能力等方面的作用.
（2）能保障学生的主体地位，有助于学生主体意识的形成，有利于实现教育的民主性和合作性.刘萍认为，开放题的挑战性有利于激发学生的好奇心和求知欲，为学生的主动学习、培养学生的主体性创造了条件.范黎明则认为在开放题教学中，学生接触到许多实际问题，其中许多问题不能靠一个人的力量在有限的时间内完成，必须依靠大家的力量和集体的智慧合作进行.在这过程中学生不仅学到知识，而且学会与人合作.
（3）开放题的教学有利于学生体验成功，树立自信心，产生学习数学的兴趣.
3.4.4 开放度
由开放题的特点可知，数学开放题的答案不唯一、具有层次性.我们可以用开放度的概念来描述这种特性.在1998年11月的开放题教学学术会议（上海）上，俞求是等人首先提出开放度的概念、俞先生用解决问题的方法种数和解决问题的思维水平两个指标来定义开放度.也有人把开放度定义为数学问题所组成的集合到一个数集（如自然数集N）的一个映射.这个定义的优点是数量化、易度量，缺点是比较机械.开放度的研究才刚起步，是数学开放题研究领域中的新课题.
3.4.5 开放题的分类
对数学开放题分类的研究比较深入，最直接的分类是按命题要素分类，可分为：条件开放题、结论开放题、策略开放题、综合开放题.按解题目标分类可分为：寻找规律或关系、量化设计、分类与整理、举例、数学建模、提问题、情景题、评价.
也有研究者从答案的结构、问题的形式等方面对开放题进行分类，在此不再赘述.
3.4.6 开放题的教学原则
戴再平根据教学实验总结认为，开放题教学设计应考虑以下几点：
（1）在中学数学教学中，适当增加数学开放题是必要的.
（2）开放题和封闭题在数学教学中是并存的而不是互相排斥的.
（3）开放题中包含的事件，应为学生所熟悉，是可以通过现有的知识能够解决的可行的问题.
（4）开放题应使学生能获得各种水平的解答，这些解答可以是互不相同的.
（5）对数学开放题来说，获得多种答案固然重要，但更重要的是获得答案的过程.
龚雷进一步认为，开放题教学过程的设计要处理好五个关系.即教师与学生的角色关系、课堂教学中学生全体和个体的关系、认知与元认知的关系、智力因素与非智力因素的关系、课内学习与课外学习的关系.
3.4.7 数学开放题的编制
综合各种编制方法，主要有：弱化条件，添加猜测过程，隐去成题的结论，在既定条件下探讨多种结论；给出结论，寻求结论成立的条件，比较某些对象的异同点、类比、引入参数等等.
3.5 政府开始重视数学开放题及研究
1997年2月，全国教育科学规划办公室批准课题“开放题--数学教学的新模式”立项.该课题成为我国“九五”教育科学研究规划的重点课题.1998年7月开放题第一次进入全国高考数学试卷.2000年3月，教育部发布《关于2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》，明确指出：“数学考试应设计一定数量的开放性问题”.同一时期公布的《义务教育阶段国家数学教育标准（征求意见稿）》中，出现了开放题的内容.这表明我国教育领导部门已正式肯定数学开放题的作用和地位.