把握数学问题本质，提高课堂教学立意，本文主要内容关键词为：立意论文,本质论文,数学论文,提高课堂教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
众所周知，数学教学无论采取何种教学方式，教学时都力求深入浅出，尽可能将问题的本质揭示给学生，使学生看清本质，深刻领会，达到深度理解.然而，在现实的课堂教学中，部分教师对数学的理解不到位，以至于面对复杂的数学问题，无法透过现象看清本质，不能将问题所蕴涵的数学思想方法及内在的知识关联进行有效的揭示，从而在课堂教学时出现了浅入浅出、效率低下的现象.俗话说，教师跪着教，学生就爬着学，教师的高度，影响着学生的高度.为了让教师站到应有的高度去教，本文通过鲜活的典型案例从五个不同的角度阐述了如何把握数学问题的本质，提高课堂教学立意，从而高观点地开展数学课堂教学，实现数学教学的轻负担、高质量. 一、深刻领会数学问题所内隐的数学概念 一个好的数学问题常常有着丰富的内涵，尤其内隐着深刻的基本数学概念，教学时要抓住问题的本质，揭示数学概念. 例1 存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（ ）. （A）f（sin2x）=sinx
此题是浙江省2015年高考题，学生的答题普遍采取以下方法. 解：令x=0，可知f（sin0）=sin0，f（0）=0. 再令
，可知f（0）=1，矛盾， 所以选项A错误. 同理可知，选项B错误. 再取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0，矛盾， 所以选项C错误. 令t=｜x+1｜（t≥0）， 所以
. 所以
，符合题意. 所以选择选项D. 该解法通过赋值判断，获得正确选项，其解答当然是正确的，但从高观点的角度来看，解法还没有优化，解题的立意尚可提升.稍作观察，可发现此题的四个选项均为复合函数，而两个函数复合时，其周期性、奇偶性具有一定的不变性，当里层函数为周期函数时，复合函数也为周期函数且周期保持不变，这样同时排除了选项A和选项B；当里层函数为偶函数时，复合函数也为偶函数这样排除了选项C，于是答案选择选项D.这样解题把握了题目的本质，也揭示了题目的真面目，很显然该解法更胜一筹，这样的案例举不胜举，教师要善于发现. 例2 在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上异于点A的两个点，现沿EF将△AEF折起，记AC与平面BCD所成的角为
，AC与EF所成的角为
，试比较
与
的大小. 此题矩形等条件是非本质的，根据线面角定义时的最小性，显然有
小于
. 二、善于提炼出最本质的几何关系 许多数学问题通常从某一几何关系出发编拟而成，教学时理应将最本质、最核心的几何关系呈现给学生，使学生一目了然. 例3 如图1，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E，F分别是棱AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点M的轨迹是（ ）.
（A）一条线段 （B）一段圆弧 （C）抛物线的一部分 （D）一个平行四边形 此题是浙江省2015年学业水平考试题，难度系数为0.2，也是浙江省课堂教学评比时教师说题题目，从教师现场说的解法看，大多数人这样证明. 证明：如图2，过点E作AB的平行线交BC于点G.
连接EG，GF， 取GF中点N，EF中点M，连接MN， 得
为定值. 由平面几何知识，得点N是在过点B的直线上运动，因此线段EF中点M的轨迹是一条线段. 此为一个不错的解法，只可惜教师无法刻画此题的本质.事实上大家细心观察后，就会发现该题设的四棱锥、底面为平行四边形、AE=2BF是非本质的，抽象后的核心问题是点E，F分别是异面直线AD，BP上的动点，且AE=λBF线段EF中点M的轨迹为一直线，证明方法相同. 证明：如图3，过点B作BG平行AD，过点E作EG平行AB交BG于点G，连接GF，取GF中点N，连接MN.
得
为定值. 因为在平面BPC上，BG=λBF， 所以由平面几何知识，得点N是在过点B的直线上运动，因此线段EF中点M的轨迹是一条直线. 例4 已知a≥b≥c＞0，a+b+c≤1，求证：
此题是一个代数不等式，证明有一定的难度，其中的一种证法如下. 证明：由题意
， 即
. 因为a≥b≥c＞0， 所以
.
若教师教学时仅仅给出证法了事，就难免遗憾.事实上深入分析，就会发现问题的本质是在边长为a+b+c的正方形的边上，分别截取长度为a，b，c的九个矩形中，切出九个如下页图4的正方形，依据图中的面积关系显然有：
，因为0＜a+b+c≤1，所以
三、注意挖掘问题的高等数学背景 高等数学与中学数学是承接关系，是共同发展的关系，许多初等数学无法解释的问题都能在高等数学中找到答案.因此，高等数学思想的渗透能更好地解释许多中学数学问题.目前，以高等数学背景编拟的问题层出不穷，教师在教学时应高屋建瓴，力争注意挖掘问题的高等数学背景，阐明高等数学与初等数学之间的联系，刻画出问题的本质. 例5 已知函数
.设正实数k，使得
对任意的x∈（0，1）恒成立，求k的最大值. 此题是北京市2015年高考题，也是浙江省课堂教学评比说题题目，一半的教师通过构造函数
，然后求导分情况讨论，最后求得k的最大值为2，但说题教师却不知2的来历，也不知道题目所隐含的泰勒展开公式.
四、努力分析出题目的“源”与“流” 波利亚十分强调做完题目后要反思回顾，若教学时经常反思回顾就能看清题目的来龙去脉，分辨出题目的“源”与“流”，从而把握问题的本质. 例7 如下页图5，已知点P（1，3），Q（1，2）.设过点P的动直线与抛物线y=
交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为点C，D.记直线AB，CD的斜率分别为
时，
是否为定值？若是，求出该定值.
此题是浙江省2015年学业水平考试题，有一定的难度，学生做后并不清楚题目的“源”，事实上此题由以下的一个典型结论演变而成. 命题：已知点P（a，0），Q（b，0）.设过点P的动直线与抛物线
=y交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为点C，D.记直线AB，CD的斜率分别为
.则
的定值. 研究了该题的“源”后，还可进一步探究题目的“流”.例如，将抛物线换成椭圆是否有类似结论等. 五、充分揭示知识间的内在联系 数学知识常常是一环扣一环，紧密相连，教学时切忌就事论事，囫囵吞枣，要充分揭示知识间的普遍联系，达到“做一题、通一片”的效果. 例8 如图6，正方形ABCD的边长
，为动圆Q的半径为1，圆心在线段CB（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，设向量
（m，n为实数），求m+n的最大值与最小值？
这是一道典型的平面向量基本定理应用题，也是基向量应用题，点P的可行域为两个半圆与一个矩形组成，求解方法既可以建立直角坐标系，利用线性规划破题，也可以运用平面向量基本定理，借助几何意义直接破解，还可以转化为
（点O为正方形ABCD的中心）数量积后简化破题，下面给出较为常见的等值线法. 当点P在直线BD上时，由
，得m+n=1.由此，过点P作BD的平行线l，当l向上平移时，m+n增大；向下平移时，m+n减少，当点Q与点C重合，且点P为圆Q与AC延长线交点时，m+n最大值为3.同理，当点Q与点B重合时，直线l与圆Q相切且过点A时，最小值为0. 等值线揭示了平面直角坐标系中线性规划问题在斜坐标系中的推广，教学中可类比直角坐标系揭示此题所内隐的知识链.例如，如图7，设
（x，y为实数），
∥
∥
∥
∥l，则当点P在
上时，x+y＞1；当点P在
上时，0＜x+y＜1；当点P在
上时，x+y=0；当点P在
上时，x+y＜0.甚至可进一步揭示点P在其他区域内变化时x+y的取值范围，以及ax+by型的取值范围，只有这样学生对所学的知识才能融会贯通，深度理解，最终实现轻负担、高质量的教学目标.
标签：数学论文; 课堂教学论文; 高数论文;
