如何读懂三视图——写在阅读高一教材之后，本文主要内容关键词为：高一论文,写在论文,读懂论文,教材论文,三视图论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
接触一些高一教师，普遍反映不少学生在将三视图还原成立体图时存在一些困难，本文就如何阅读三视图方面做了一点探讨，以助三视图的阅读。
一个几何体的三视图，能够反映这个几何体的真实面貌。但如何将三视图还原成这个几何体的原貌？这还要从三视图的原理说起。
一、成图原理
一个几何体的每个元素（元素是指几何体的点、棱、面等）在形成三视图的各个投影面中的投影（本文所指投影都是指正投影）往往是各不相同的（点和球的投影除外）。如图1，直线在投影面内的投影可能是直线，也可能是点；平面在投影面内的投影可能是平面也可能是直线。曲面的三视图至少在一个视图中出现曲线。
图1
为了方便，我们把几何体中的平面图形简称为平面，直线型的图形都称直线。于是，关于平面与直线在投影面的投影，有下面的“顺口溜”：
直线平行投影面，它的投影长不变；
平面平行投影面，它的投影原形现；
直线垂直投影面，它的投影成一点；
平面垂直投影面，它的投影成直线；
直线倾斜投影面，它的投影长变短。
平面倾斜投影面，它的投影原形变。
其中，平面倾斜投影面时，原来的形状虽要改变，但原来是几边形，它在投影面的投影仍是几边形。如三角形的投影仍是三角形，四边形的投影仍是四边形等。
三视图是从前后、左右、上下三个不同的方向对几何体投影的三个视图的总称。
画三视图时还要做到“长对正（主俯视图）、高平齐（主左视图）、宽相等（俯左视图）”。
二、阅读方法
那么，如何正确认识视图中出现的点、线、面并由三视图还原出几何体的真实原貌呢？我们就是通过上述三视图的形成原理，索本求原以探求几何体真貌。
通常情况下，如果我们能根据已有的生活与学习的经验，通过三视图直接想象出几何体的立体模型那是最好不过了，直接想象有困难时，可以尝试以下的办法。
1.轮廓削减法
就是利用三视图的前后、左右、上下三个方向的投影原理，先画出几何体的大轮廓，然后再对照各个视图逐步削减，最后得出几何体的立体模型。
例1 读三视图（图2），然后画出它的立体图形。
图2
解：由三个视图比较得知，这个几何体是正方体的一部分。我们先画出一个正方体（图3(1)），再根据主视图，把它削减成图3(2)的模样；再根据左视图把它削减成图3(3)的模样；再由俯视图把它削减3(4)的模样。这样，就得出该几何体的原貌了。为了检验其正确性，我们再用图3(4)这个模型按位置对着三个投影面投影，将得到的投影与三视图中的各个视图比较，不难得出结论，图3(4)就是这个几何体的立体图形。
图3
例2 看下面的三视图（图4）并画出其立体图形。
图4
解：这是正方体的一部分。我们先画出一个正方体（图5(1)），选择“
”的方向为其主视图的投影线的方向，使用轮廓削减法，对应主视图削减，得到图5(2)的模样；再对应左视图削减，又得到图5(3)的模样。之后对应俯视图看，已经与俯视图相吻合。
图5
最后，将图5(3)表示的几何体按对应位置向三个投影面再投影，这与我们看到的三视图完全吻合。结论是：图5(3)就是与题给三视图相对应的立体图形。
2.对比联想法
即“对应位置对比看，联想比照视图看”。一个几何体的某个确定的元素，在三个视图中都会有相应的表现，三个视图中表现几何体同一元素的部分就是对应位置。寻找对应位置可以是先确定一个视图中的某部分图形，再由“长对正、高平齐、宽相等”的原理确定该部分图形所表现的几何体的元素在其他视图中表现时的对应位置，将三个视图中的“对应位置”对比着看，看到的结果可由三视图的形成原理例如“顺口溜”等逆推返回而联想出该元素的形状、大小和相对于投影面的位置，最后将得到的联想比照三个视图看，以确定联想是否正确。
例3 读下面的三视图（图6），然后画出它的立体图形。
图6
解：从其投影的轮廓看就是一个正方体，但各个视图中除正方形外还有其他的轮廓线。因而这个几何体也是正方体的一部分。此时使用轮廓削减法还不能辨清几何体真貌，为了弄清几何体的真貌，需要使用对比联想的方法。为了讲解的方便，我们另画一个三视图（图7）。我们看到俯视图中的平面ADMN（选定了俯视图中的部分图形），由“长对正、宽相等”知，它在主视图、左视图中的对应图形都一定是一个左右贯通的四边形（与投影面不垂直时）或一条左右贯通的直线（与投影面垂直时）。现今在主视图、左视图中均看不到四边形，于是我们可以断定，俯视图中看到的平面ADMN在主、左两视图的投影都是左右贯通的直线。由于“平面垂直投影面，它的投影成直线”，可见，俯视图中看到的平面ADMN既垂直于主视投影面又垂直于左视投影面，即俯视图中的平面ADMN平行于俯视投影面。正因如此，所以在主视图、左视图中看它就是一条水平的直线。现在主视图中有上、下两条水平的左右贯通的直线，究竟哪一条才是平面ADMN在主视方向的投影呢？即平面ADMN究竟是几何体的上底面还是在几何体的下底面内呢？由于主视图中点
在俯视图看就是点A（长对正），从而我们可以肯定，四边形ADMN就是这个几何体的上底面。又由于“平面平行投影面，它的投影原形现”，可知上底面就是与俯视图中看到的平面ADMN一模一样的四边形。
图7
在确定了几何体的上底面之后，我们再来看主视图中的平面
（再次选定一个视图中部分图形），几何体的这个平面在俯视图中看到的只能是：一个顶点居中（点A或点M），另两个顶点分别在边线BE、CF上的一个三角形或一条左右贯通的直线（长对正）。现今俯视图中不存在这样的三角形，而贯通左右的直线只有直线BAC及直线EMF。因此，主视图中的平面在俯视图中能看到的就是直线BAC了，且主视图中的点
恰好分别对应俯视图中的点B、A、C，而主视图、俯视图中的点、A又对应左视图中的点
，几何体的这个平面在左视图中看到的就是直线
（高平齐）。且因平面在俯视投影面的投影是一条直线ABC，在左视投影面的投影也是一条直线，可见这个平面既垂直于俯视投影面（平面垂直投影面，它的投影成直线）又垂直于左视投影面。即平面ABC平行主视投影面。因而几何体的正面与主视图中看到的
一模一样（平面平行投影面，它的投影原形现）。
再看俯视图中的平面ADB，由于主视图中的点
对应俯视图中的B，所以平面ADB中的点B就是几何体的下底面的一个顶点，现在已知AD在上底面，B又是下底面的顶点。我们可以想象平面ADB，它应该就是如图8的模样（平面倾斜投影面，它的投影原形变）。这个想象对不对呢？这只需将几何体中的这个平面按位置对三个投影面投影，比较三个视图就知道这个想象的正确性了。
图8
图9
最后，我们从整个视图的对称性，不难联想出这个几何体的模样（如图9）。这个联想是否正确，我们仍要将它按位置向三个投影面投影，它与我们看到的三个视图完全吻合，从而可以知道联想的正确了。
在三视图中，我们还可以对几何体的元素间的关系进行定性分析，如：主视图中的平面ABC对应俯视图看就是直线BC，对应左视图看就是直线AB。从而我们可以知道，几何体的平面ABC平行于主视投影面。
从例2、例3我们还看到，对同一个几何体从不同角度投影时，得到的三视图可能是不同的。因此，在画三视图时，为了使视图简洁明了同时又便于阅读，选择投影面就需要仔细斟酌了。
例4 阅读下面的三视图（图10）并画出相应的几何体。
图10
图11
解：从三视图看，这个几何体的外形很像一个长方体，但长方体的视图除了矩形外，再没有其他的轮廓线，因此它不是一个长方体的全部。如图11，主视图中看到的几何体的轮廓线AB在俯视图中看是什么呢？难道是俯视图中的直线CB（长对正）？如果是，那么主、俯视图看到的直线就是同一条轮廓线在两个不同的投影面的投影，仔细观摩，这一轮廓线就是长方体的体对角线BP（如图12(1)），假如真是这样，那么我们看到的左视图就应该是图12(2)的模样。可是我们看到的左视图并非如此（对应位置对比看）。这说明在主视图、俯视图中分别看到的两条直线AB、BC是这个几何体的两条不同的轮廓线。那么它们到底是怎样的轮廓线呢？主视图中的轮廓线AB在俯视图中看既然不是CB那会是谁呢？这只有两种可能，要么与俯视图中的CD重合，要么与俯视图中NB重合（长对正）。但不会与CD重合，否则我们看到的主视图就是图12(3)的模样了。据此推定，这条轮廓线一定在长方体的平面AMBN内，从主视图可以看出，它就是这个面的对角线AB（图12(1)）。同样的道理，俯视图中的轮廓线CB在主视图中看就与直线NB重合在一起，它也是几何体的平面NBDC的面对角线CB。而左视图中看到的直线CA显然就是长方体的面CPAN的对角线CA了。到此，这个几何体的立体特征就显现出来了（如图12(4)），它与我们看到的三视图完全吻合（联想比照视图看）。
图12
结论，图12(4)就是与题目所给的三视图相对应的立体图。
对比联想的方法是我们阅读三视图的主要方法。请读者认真总结自己在阅读三视图时的体会（不同的读者可能会有不同的体会，哪一种体会都可以帮助读者理解三视图并正确想象相应的几何体）。
三、小结
要读懂三视图，首先要弄清三视图的成图原理（先学会并且能够准确的绘制三视图），然后通过已获得的经验，采用直接想象、轮廓削减、对比联想等方法，从三视图的成图原理入手，索本求原，探知几何体的真貌。还应注意将探知的结果与三视图对比，准确无误后才能算是将三视图读懂了。
标签：三视图论文;