浅谈如何让数学学习从“误”到“悟”
翁作寨
摘 要： 学会把学生的错误当作一种宝贵的教学资源，对知识、道理、本质、数学思想等让学生经历从不理解到感知，再从感知到深刻感悟，经历从模糊到清晰的过程，继而再到深刻领悟。使得学生在析错中掌握数学方法，在析错中明了数学本质，在析错中巩固数学模型，在析错中落实数学思想。
关键词： 析错；辨析；感悟；教学资源
有人说：“课堂就是一个让学生可以犯错的地方。”从某种意义上来说，学习的乐趣就是一个从犯错到顿悟的过程。学生在数学学习活动中，往往会因为身体、心理、心智、习惯等原因出现学习上的错误，其错误的发生有普遍性，也有其必然性。面对各种错误，是直面错误，还是规避错误？其实，学生的学习需要在错误中积累经验，让生生之间在错误中讨论、交流、辨析、感悟，对知识、道理、本质、数学思想等让学生经历从不理解到感知，再从感知到深刻感悟，经历从模糊到清晰的过程，经历在学习中跌倒继而在思辨中爬起，经历思维的碰撞，心智的洗礼，继而再到深刻领悟，这样的学习过程往往记忆深刻，深入人心。
一、 数学方法在析错中掌握
有一种错误叫作我的直觉出了错。学生在学习中往往会受视觉、心智的影响，在析题、解题中的注意力只在视觉上信息的接收，凭视觉上的直观感觉做出解题方法、答案上的判断，忽视对题目的正确分析、理解。这种错误在小学学习中极其普遍，是学生心智不成熟的一种典型表现。如在三年级下册学习的铺地砖的知识学习中，学生在完成以下题目：“一房间的长30分米，宽24分米，用边长3分米的方砖铺地，需要方砖多少块？”学生的列式：“30×24÷3”。学生出现这样的错误，多数是因为对于周长与面积的本质内涵分不清。这时，我们教师可以引导学生通过画草图直观感知铺地砖的本质，就是把大面换成多少个小面，所以要知道的是房间面积(即大面的面积)及地砖面积(即小面的面积)。同时，还可以引导学生借助推导长方形面积公式的方法，借助草图思考：“房间的长30分米里面有多少个的3分米，表示一行可以铺几块地砖，宽24分米里面有几个的3分米，表示可以铺几行？这样一共铺了多少块？”学生在图形中直观感知，在独立思考、同伴交流中理解了铺地砖的本质，掌握了解决问题的方法。数学学习能力得到了提升。
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二、 数学本质在析错中明了
数学的学习除了教材中明面的知识、公式、方法等外，更多的还有知识其内在本质的理解与感悟。日常教学，我们习惯于将学生的错误简单的定位于粗心与不认真，对于学生的错误产生的原因缺少思考。其实学生的错误更多的是反映了他们在对于这一知识学习上认知的不足，是学生学习理解的盲区与模糊区，同时也可能反映的是教师教学中对于知识本质的教学是否到位。当教师对于知识的教学只停留于表面的浅层教学时，学生对于知识似懂非懂时，思维困顿时最易错。
图1
如，对于图形的周长和面积。教师习惯于让学生熟记周长与面积的计算方法，背、写，抄，以达到熟能生巧的程度。可是练习时，当学生面对同时求一个图形的周长与面积时，最经常出现的错误是单位的混淆，看似粗心，其实反映的是对于一维的周长与二维的面积其二者内在的本质的不明，分不清，理不顺。其实在学生学完面积及面积单位的知识后，我们可以借助面积单位实物让学生从中找到一维的线段及二维的面，感受二者的不同。如，借助1平方分米的小正方形纸片，引导学生思考：“在这个正方形中，1平方分米和1分米分别在哪？”“1平方分米与1分米有什么不同？”又如，图1中：“图形甲与乙的周长与面积，是什么关系？”部分学生会自然的根据视觉直觉认为：“甲图形的面积小于乙图形的面积，甲图形的周长小于乙图形的周长。”当学生出现这样的错误时，教师应可引导学生：“他的想法对吗？你有什么不同的想法?”“它们的面积分别指哪？周长呢？”“请你上来指出它们的面积与周长分别在哪。”生：“(上前比划出周长，并在相对的边上做出相同的记号)这是甲的周长，这是乙的周长，它们各有一条长，一条宽，还有一条公共边。所以它们的周长是相等的，面积……”在这样的师生对话中，在学生的思考辨析中，学生对于周长与面积的本质有了更进一步的体会。
三、 数学模型在析错中巩固
有一种错是学生的定向思维产生的错误，学生在学习新知的过程中会自然地受到一些旧知的影响。思考的方向，解题的方法，这些影响有些是积极的，有利的，有些则是负面的，不利的。
新的课程标准指出，要在学习活动过程中重视数学思想方法的落实。学生解题错误还有一个可能就是对于数学思想方法的理解与应用不准确。很多的实践证明，学生对于数学思想掌握的程度直接影响孩子解题的正确性与科学性。
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图3
四、 数学思想在析错中落实
如，学生学习了乘法分配律后，在解决如1.25×(40×8)这种相关计算时，常常会有学生写成1.25×40+1.25×8，这是一种负迁移。当学生出现这样的想法时，我们可以先出一道1.25×(40+8)，让学生说出计算的方法，学生根据经验写出1.25×40+1.25×8。师结合学生的方法引导：“1.25×(40+8)=1.25×40+1.25×8对吗？为什么可以这样转化？”生：“因为1.25×(40+8)它表示一共有48个1.25，1.25×40+1.25×8表示40个1.25再加上8个1.25，也是48个1.25。”教师继续引导：“你能结合下图(图2)说明这样做的道理吗？”生：“我们可以直接用长×宽，列式1.25×(40+8)，也可以分开求，然后再把两部分合起来，列式1.25×40+1.25×8，这两个算式都是求这个长方形的面积，结果是一样的，所以1.25×(40+8)=1.25×40+1.25×8。”这时，再出示1.25×(40×8)=1.25×40+1.25×8的方法，引导：“这位同学的做法对吗？”“怎样才能检验他做得对不对呢？”大部分学生认为可以把左右两个算式各算一遍，看看结果是否相等。这时教师要给予肯定。继续引导学生，可以从乘法的意义思考1.25×(40×8)表示320个的1.25，把1.25×(40×8)写成1.25×40+1.25×8，只算了48个的1.25，所以是错的。如果这时能够再引导学生画图表示出1.25×(40×8)的意义，如(图3)，引导学生在图形中观察，思辨，在数形结合中感悟乘法分配律计算的原理，领悟它的本质，进一步巩固乘法分配律的模型。
图2
图4
如，三年级学生在认识小数时，教材借助米尺图初步感知一位小数的意义。学生能初步感知十分之几米=零点几米。但对于从实物图形抽象到半抽象图形表征时，学生就常常出错(如图4)这个图形能表示0.3吗？有一些同学认为是0.3，问：“你是怎么想的？”学生：“因为涂了3格。”面对这样的错误，教师可以借助不同的图形表征0.3，如把线段图平均分成10份，表示其中的3份，长方形图平均分成10份，涂上其中的3份，引导学生用分数和小数怎样表示，当学生回答：“分数是
小数是0.3。”后，教师引导学生思考：“为什么图形不同，都能表示0.3？”学生观察思考后得出：“因为都是把图形平均分成10份，表示其中的3份，都是所以都是0.3。”当学生对小数的意义有所感悟后，再次出示上图，引导学生思考：“那这幅图能表示0.3吗？”“说说你的想法。”学生思考后说得出：“这个图形不能表示0.3，因为它没有平均分成十份，不是
在这一个个的图形中，学生感悟到了小数是十进分数的另一种表示方式的本质。在此基础上，引导学生思考：“平均分成10份，涂上8份是多少，涂上9份呢？”“为什么0.1，0.2，0.3……0.9这些小数的左边部分都是0呢？”“什么时候才到1？”在这样层层剥离中，引导学生思辨，感悟小数的“十进”思想。
总之，我们教师要学会直面学生学习的错误，理性分析原因，寻找错误本源，思考解决问题的办法，让错误成为有价值的学习资源。
作者简介：
翁作寨，福建省三明市，大田县赤岩小学。
考虑S-N曲线的存活率及提升系统的安全性，参考文献[14]引入16Mn的p-S-N曲线，p-S-N曲线表示不同存活率下的应力-寿命曲线，与S-N曲线相比具有更广泛的应用。绘制不同存活率下16Mn的S-N曲线，如图14所示。在设计中应根据可靠性和经济性要求来选择具体曲线。一般规定：若试样经107次循环仍不失效，则认为它能够承受无限次循环载荷的作用。