经济波动随机时间序列模型的比较研究，本文主要内容关键词为：序列论文,模型论文,时间论文,经济论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1003－5192(2001)06－0056－05
1 引言
经济波动是各国经济发展过程中普遍存在的现象[1]。研究经济波动，把握其规律性对于实现我国经济发展的战略目标具有重要意义。然而，对经济波动规律的把握和认识必须借助于一定的分析方法来实现。建立经济波动的随机时间序列模型就是从单变量时间序列的角度，通过研究经济序列各观测值之间的依赖关系或相关性来揭示经济波动的本质规律。一旦找出这种规律，就可根据经济序列现在和过去的值预测经济波动的未来发展趋势。
本文研究经济波动随机时间序列模型的目的，是希望通过对不同种类模型实际应用效果的分析和比较，确定那种模型更适合于表征经济波动的动态规律性。
2 经济波动的测定和时间序列模型的选择
2.1 经济序列的因素分解
设｛X[,t]｝是一按相等时间间隔观测到的经济序列，目前得到公认的是将其分解为4个要素[2]，即长期趋势因子(T[,t])、季节波动因子(S[,t])、周期波动因子(C[,t])）和随机波动因子(I[,t])。其中，季节波动的原因和规律是比较清楚的，而引起随机波动的随机性因素不能成为理论研究的主要对象。因此，研究经济波动就是结合长期趋势变化研究其中周期波动的特征与规律。
2.2周期波动的测定
由于经济波动是由上述4种因素构成的，因此，要确定反映经济波动本质的周期波动因素就必须采用一定的方法消除其它因素的影响。目前最为基本的测定周期波动的方法有两种即剩余法和直接法。这里采用国际学术界普遍采用的剩余法。
对于增长型经济波动，一般采用乘法模型来描述，即X[,t]=T[,t]·S[,t]·C[,t]·T[,t]。剩余法测定经济波动的方法是：首先确定季节波动因子，
对序列｛X[,t]｝进行季节调整；然后提取长期趋势因子。这样得到的序列为
其中C[,t]·I[,t]就作为反映经济波动本质的周期波动序列，在一般情况下可把它作为平稳的随机序列。
2.3 时间序列模型的选择
周期波动序列是反映经济波动本质的平稳随机序列，因此对经济波动时间序列模型的研究也是针对周期波动序列进行的，并应选择适合于平稳随机序列的随机时间序列模型对其进行描述。描述平稳随机序列的模型包括线性模型和非线性模型，究竟选择何种模型要根据周期波动序列的特点和相应模型的性质来确定，而那种模型更适合于描述周期波动序列，则应根据所选模型的实际拟合和预测结果通过比较分析来确定。根据周期波动序列的特点，本文选择线性的自回归滑动平均(ARMA)模型和非线性的门限自回归(TAR)模型。
3 ARMA模型的适用性及其建立
3.1 ARMA模型的适用性
首先，由于周期波动序列具有相关性、时变性、随机性、平稳性，可以看作是平稳的随机序列，而ARMA模型正是描述平稳随机序列的最常用的一种模型；其次，周期波动序列还具有一个重要的特点就是它的非线性特征，表现为具有不规则的周期波动性。ARMA模型可以近似描述序列的周期特性，因为ARMA模型特征根的幅角就是原始序列的周期在模型中的反映；最后，ARMA模型的建立有一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础，因此，以 ARMA模型来描述周期波动序列在理论上是可行的。
3.2 ARMA模型的建立[3.4]
对于具有有理谱密度的零均值平稳随机序列｛X[,t],t=1,…,n｝可用ARMA(p,q)模型来描述，表示为
X[,t]+a[,1]X[,t-1]+…+a[,p]X[,t-p]=e[,t]+b[,1]e[,t-1]+…+b[,q]e[,t-q](2)
其中｛e[,t]｝为白噪声序列。a[,1],…,a[,p],b[,1],…b[,q]为常数。当q=0时，此模型就是P阶自回归模型，记为AR(p)；当p=0，此模型就是q阶滑动平均模型，记为MA(q)。建立ARMA模型并实现预测可分为如下几个步骤：
3.2.1 模型识别
模型的识别是根据给定序列的样本均值、自相关函数、偏相关函数判别序列应属于 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)中的那一种。
若序列｛X[,t]｝的偏相关函数在P步以后截尾，则可判定该序列为AR(p)序列；若序列｛X[,t]｝的自相关函数在q步以后截尾，则可判定该
序列为序列MA(q)；若序列｛X[,t]｝的自相关函数、偏相关函数都是拖尾的，则可判定该序列为ARMA序列，模型的阶次P、q则要由定阶准则来判定。
序列｛X[,t]｝的自相关函数为
3.2.2 参数估计
ARMA(p,q)模型共有a[,1],…,a[,p],b[,1],…,b[,q],σ[2,t]共p+q+1个参数，对这些参数先采用矩估计法进行初步估计，再用最小二乘法进行精估计。
参数的矩估计是利用序列的自相关函数对模型参数进行估计。虽然这种估计没有精估计准确和有效，但对于AR模型，两种估计结果很接近。然后以矩估计的结果作为最小二乘估计的初始值。
ARMA(p,q)模型，利用逆转关系可将e[,t-i]表示为X[,t-i],X[,t-i-1],…的线性组合，因此可写为
使Q达到极小的β[,IS]就是ARMA模型参数的最小二乘估计。由于F不是β的线性函数，可将F(X,β)在β=β[,0]处做台劳展开。取它的线性部分，按线性最小二乘法求解。可得
3.2.3 阶次估计
对AR(p)或MA(q)序列，根据其偏相关函数
或自相关函数p(k)的截尾性，可初步判定阶次p、q。对于ARMA(p,q)序列，不能用自相关或偏相关函数来定阶。而应采用最准佳则函数法。这里选择最小AIC准则作为定阶准则，对于ARMA(p,q)模型，AIC函数定义为
这样，从低阶到高阶对p、q的不同取值分别建立模型，并进行参数估计，比较各模型的AIC值，使其达到极小的模型就确定为最佳模型。
3.2.4 模型检验
检验所建立的ARMA(p,q)模型是否合理，需要检验该拟合模型的残差序列｛e[,t]｝是否为白噪声序列，若是，则认为以上所确定的模型是合理的。
3.2.5 模型预测
ARMA模型采用最小方差预测。以
表示用t时刻及之前的全部观测值对未来t+m时刻的值所做的m步最小方差预测。
a.AR(P)序列的递推预测公式为
4 TAR模型的适用性及其建立
4.1 TAR模型的适用性
TAR模型是描述具有非线性特点的平稳随机序列的非线性模型。其基本思想是：把具有非线性特点的序列用门限来划分，按一定的规则选用不同的自回归模型来描述。这样，原来用一个线性模型无法表现的数据规律，用多个线性模型组合起来就可以成功地表现出来。TAR模型的一般形式为
个区间，当X[,t-d]落在第h个区间时，就取X[,t]满足第 h个模型AR(ph)。其中，对于不同的h,{e[(h),t]为相互独立的白噪声序列。这个r[,h]称为门限，而整数d称为门限迟后量。
TAR模型是具有广泛意义的一种非线性模型，因为一般的k阶非线性自回归模型都可以用高阶的TAR模型来逼近；另外，在稳定状态下，TAR具有一个极限点或极限环。其中模型的极限环正是原始数据中周期规律在模型中的反映。因此，TAR模型一般被认为较适合于描述具有复杂周期或非线性规律的数据序列。并且，在模型中无反映序列趋势的项，所以，TAR模型描述的序列必须是无明显趋势的平稳序列。由于周期波动序列是具有非线性周期特点的平稳序列，因此，从理论上说，TAR模型适合于描述周期波动序列。
4.2 TAR模型的建立
4.2.1 基本思路[3,4]
首先将观测序列{X[,t],t=1,…,n}按从小到大的顺序排列得到标号序列{i[,t],t=1,…,n}。即{Xi[,t],t=1,…,n}是按从小到大的顺序排列的。
如果门限值、分段数、门限迟后量给定，则问题便归结为如何建立与一对门限值t[,a]、t[,b]相对应的模型
(14)式是简单的回归模型，用线性回归模型的求解方法就可解决。
4.2.2 自回归阶数的确定
在给定分段数、门限值及门限迟后量时，(14)式所示的某段数据的自回归模型的最佳阶数可根据最小AIC准则确定。设自回归阶数的最大值为P[,max],选择使AIC(p)(l≤p≤p[,max])达到最小的阶数p作为该段自回归模型的最佳阶数ph。
其中σ[2,p]为p阶自回归模型拟合残差的方差，T为该段数据的长度。
4.2.3 分段数、门限值和门限迟后量的确定
在分段数H和门限迟后量给定的情况下，确定门限值的方法是：首先求出{X[,t],t=1,…,n}的概率分布F(x[,t])，然后根据F(X[,t])确定备选门限值。对于较长的序列，备选门限值可确定为r[,1],r[,2],…,r[,9]，使F(r[,1])=0.1,F(r[,2]=0.2,…,F(r[,9]=0.9，对于较短的序列，为使两门限值之间出现的观测数据不至过少，可适当减少备选门限值的个数，例如对于长度不超过50的年度周期波动序列，备选门限值可确定为r[,1],…,r[,4]，使F(r[,1])=O.2,F(r[,2])=0.4,…，F(r[,4])=0.8。H-1个最优门限值就从这些备选门限值中选出，即选择使H段自回归模型的AIC值之和为最小的那组个数为H-1的备选门限值作为最优门限值。
在实际应用中，分段数一般为H=2,3。首先取H=2，令迟后量d从l看到p[,max]变化，对每一个d值，确定最优门限值和相应TAR模型的AIC值，选择使AIC值为最小的d和相应的最优门限值作为2段TAR模型的最佳迟后量和门限值。然后取H＝3，如法进行。比较H=2和H=3时最佳TAR模型的AIC值，则AIC值小的那个TAR模型所对应的分段数、迟后量、门限值及各段自回归模型的参数值，便是所要确定的TAR模型的诸量的估计值。
4.2.4
门限自回归模型的预测
5 ARMA模型与TAR模型的比较分析
从理论上讲，ARMA模型与TAR模型都可以用来描述经济周期波动序列，但哪一类模型更能反映经济周期波动的本质规律，则应通过以周期波动序列分别拟合两类模型的实际效果来确定。所谓实际效果，一方面可由模型的AIC值来衡量，因为AIC值既包含有模型残差方差大小，也即模型对序列拟合程度好坏的信息，也包含有模型参数个数的信息。另一方面，由于建立模型的主要目的在于应用模型预测周期波动的未来值，因此利用模型进行外推预测所得到的预测值与实际值的相对误差的大小，也可用来衡量模型的实际应用效果。
这里选取反映天津经济波动情况的6个总量指标指数从1952～1999年的年度数据序列（以1952年为 100），应用上述周期波动测定方法，得到各自的周期波动序列，将各周期波动序列减去其均值，得到零均值的周期波动序列，通过对它们分别拟合ARMA模型和TAR模型的实际结果来比较两类模型对于描述周期波动的不同效果（1952～1995年的数据拟合模型，1995～1999年的数据用作检验预测结果）。这6个指数分别为：天津国内生产总值指数、三次产业的国内生产总值指数、
工农业总产值指数和工业总产值指数。
5.1 两种拟合模型AIC值的比较分析
TAR模型的AIC值是每段自回归模型的AIC值之和，比较每段自回归模型的AIC函数（(15)式）与ARMA模型的AIC函数（(17)式）的表达形式，可知它们是可比的。因此，对同一序列分别拟合两种模型所得到的AIC值，可以反映模型对序列的不同拟合程度。对6个指数的周期波动序列分别拟合两种模型的AIC值的比较结果列在表1中。
表l表明，每个序列拟合TAR模型的 AIC值均小于拟合ARMA模型的AIC值。因此可以说TAR模型对周期波动序列的拟合程度比ARMA模型对同一序列的拟合程度好。
5.2 三种模型预测误差的比较分析
用ARMA模型和TAR模型以及 BURG算法递推得到的AR模型[5]对 6个指数 1996～1999年的周期波动值进行预测，三种模型的平均预测误差的比较列入表2中。
从表2可以看出，TAR模型的平均相对预测误差最小．而ARMA模型的平均相对预测误差最大，以BURG算法递推得到的AR模型的平均相对预测误差则介于两者之间。这说明TAR模型比ARMA模型和AR模型能更有效地拟合经济波动的非线性规律，并能提供更高的预测精度。
6 结论
本文所研究的两种随机时间序列模型，从理论上讲，都适合于描述经济波动的规律。但从上述的比较分析可知，无论是从拟合模型的AIC值来衡量，还是从拟合模型的平均相对预测误差来衡量，TAR模型对描述经济波动的实际应用效果都优于ARMA模型。因此，可以得出结论，TAR模型比ARMA模型更适合于描述经济波动的非线性规律．
虽然上述结论是使用天津经济波动的年度数据序列，通过对中长期经济波动的描述得到的，但却不难将其推广到更为一般的情况，即对于任何中长期经济波动和短期经济波动的描述，TAR模型都是值得推荐的。
收稿日期：2001-03-28
标签：时间序列模型论文; 预测模型论文; 经济模型论文; 数据拟合论文; 线性拟合论文; 非线性论文; 经济学论文; ARMA模型论文;